高考數(shù)列總復(fù)習(xí)(完整)

高考數(shù)列總復(fù)習(xí)(完整)在數(shù)列高考知識(shí)點(diǎn)大掃描中，我們首先需要了解數(shù)列的基本概念。數(shù)列是一種特殊函數(shù)，我們需要討論它的定義域、值域、增減性和最值等方面的性質(zhì)，以便將數(shù)列分類。根據(jù)這些性質(zhì)，我們可以將數(shù)列分為有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、有界數(shù)列和無界數(shù)列、遞增數(shù)列、遞減數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。數(shù)列有多種表示方法，包括列表法、圖象法、解析法（通項(xiàng)公式法及遞推關(guān)系法）。其中，通項(xiàng)公式是非常重要的，比如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，其中d為公差，而等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1q^(n-1)，其中q為公比。對于等差數(shù)列，我們還需要了解它的前n項(xiàng)和公式，即Sn=n(a1+an)/2，以及一些性質(zhì)，比如任意兩項(xiàng)之和相等，前n項(xiàng)和、前2n項(xiàng)和與前3n項(xiàng)和成等比數(shù)列等。對于等比數(shù)列，我們也需要了解它的前n項(xiàng)和公式，即Sn=a1(q^n-1)/(q-1)，以及一些性質(zhì)，比如任意兩項(xiàng)之積相等，前n項(xiàng)積、前2n項(xiàng)積與前3n項(xiàng)積成等比數(shù)列等。此外，我們還需要了解等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的概念，以及它們的計(jì)算方法。1、如果列且2n=p+q（n、p、q∈N），則有an*2=ap*aq。2、對于等比數(shù)列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比數(shù)列。3、前n項(xiàng)和公式為Sn=a1+a2+...+an，qSn=a2+a3+...+an+an+1，兩式相減得a1(1-q^n)/1-q=a1-anq，當(dāng)q≠1時(shí)，S=n(a1+an)/2(1-q)，當(dāng)q=1時(shí)，S=na1。4、關(guān)于前n項(xiàng)和公式，需要注意公比q≠1時(shí)的條件，以及推導(dǎo)過程中使用的“錯(cuò)位相消法”只能用在相減后所得式子能夠求和的情形。5、題目中給定等差數(shù)列{an}中，a6+a9+a12+a15=20，求S20，可以利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=n(a1+an)/2，結(jié)合已知條件求得a1和公差d，進(jìn)而求得S20。6、變題1中，給定等差數(shù)列{an}共10項(xiàng)，a1+a2+a3+a4=20，an+an-1+an-2+an-3=60，可以利用Sn公式推導(dǎo)方法，得到a1=5，d=5，進(jìn)而求得Sn=5n。1.在等差數(shù)列{an}中，已知前n項(xiàng)和為18，且S3=1,an+an-1+an-2=3，求項(xiàng)數(shù)n。根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，S3=a1+a2+a3=3a1+3d，代入S3=1可得a1+d=1/3。又因?yàn)榍皀項(xiàng)和為18，可得n(a1+an)/2=18，即a1+an=36/n。將an用an-2和d表示，可得an=a1+(n-1)d=a1+2d，代入已知式子可得3a1+3d=3。聯(lián)立三個(gè)式子求解，可得n=6。2.在等差數(shù)列{an}中，已知Sn=a，Sm=b，(m>n)，求Sn+m的值。由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，Sn=(a1+an)n/2，Sm=(a1+am)m/2，Sn+m=(a1+an+am)m/2。將an和am用a1和d表示，代入已知式子可得：Sn=(a1+a1+(n-1)d)n/2=a1n+(n(n-1)d)/2=a1n+n(n-1)d/2=a1n+Sn-1d/2Sm=(a1+a1+(m-1)d)m/2=a1m+(m(m-1)d)/2=a1m+m(m-1)d/2=a1m+Sm-1d/2Sn+m=(a1n+a1m+(n+m-2)d)(n+m)/2=a1(n+m)+(n+m)(n+m-1)d/2因此，Sn+m=Sn-1d/2+Sm-1d/2+a1(n+m)+(n+m)(n+m-1)d/2。3.在等差數(shù)列{an}中，已知S6=15，S9=55，求S15。根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，S6=(a1+a6)6/2=3a1+15d，S9=(a1+a9)9/2=5a1+36d。將兩個(gè)式子聯(lián)立，可得a1=1，d=2。因此，S15=(a1+a15)15/2=8a1+14d=29。4.在等差數(shù)列{an}中，已知a1+a2=3，a3+a4=6，求a7+a8。根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a7+a8=2a4+2d=2(a3+d)+2d=2a2+6d=12。5.已知等比數(shù)列{an}，a5=4，a7=6，求a9。根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，a7/a5=(a5r^2)/(a5)=r^2，代入已知條件可得r=√2。因此，a9=a7r^2=12。6.在等比數(shù)列{an}中，a1+a2/a1>0,q=2，a3+a4+a5=6，求a10+a11+a12。根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，a3=a1q^2，a4=a1q^3，a5=a1q^4，代入已知式子可得：a1q^2+a1q^3+a1q^4=6a1(q^2+q^3+q^4)=6a1(q^2(1+q+q^2))=6因?yàn)閍1+a2/a1>0，所以a1>0，可得q^2(1+q+q^2)>0，即q>0。因此，a10+a11+a12=a1q^9+a1q^10+a1q^11=a1q^9(1+q+q^2)=7a1q^2。一、題目分析：本文主要介紹了常見數(shù)列求和方法，包括直接法、公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、合并求和法、倒序相加法和其它求和法等。每種方法都有相應(yīng)的例題分析，幫助讀者更好地理解和掌握數(shù)列求和的技巧。二、常見數(shù)列求和方法：1.直接法：使用等差、等比數(shù)列的求和公式直接求和。2.公式法：使用特定公式求和，如平方數(shù)列、立方數(shù)列等。3.錯(cuò)位相減法：將等差數(shù)列和等比數(shù)列錯(cuò)位相減，得到一個(gè)新數(shù)列，再求和。4.裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)之差，正負(fù)相消，剩下首尾若干項(xiàng)。5.分組求和法：將數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和。6.合并求和法：將數(shù)列的相鄰項(xiàng)合并，化為等差或等比數(shù)列，再求和。7.倒序相加法：將數(shù)列倒序排列，再相加，得到新的數(shù)列，再求和。8.其它求和法：如歸納猜想法、奇偶法等。三、例題分析：1.求等差數(shù)列的和，直接使用等差數(shù)列的求和公式。2.求等比數(shù)列的和，使用等比數(shù)列的求和公式。3.求等比數(shù)列的和，使用錯(cuò)位相減法將等比數(shù)列變?yōu)榈炔顢?shù)列，再使用等差數(shù)列的求和公式。4.求等差數(shù)列的和，使用裂項(xiàng)相消法將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)之差，再使用裂項(xiàng)相消公式求和。5.求等比數(shù)列的和，使用分組求和法將等比數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，再使用等差數(shù)列的求和公式。6.求數(shù)列的和，使用合并求和法將數(shù)列的相鄰項(xiàng)合并，化為等差數(shù)列，再使用等差數(shù)列的求和公式。7.求數(shù)列的和，使用倒序相加法將數(shù)列倒序排列，再相加，得到新的數(shù)列，再使用等差數(shù)列的求和公式。8.求等差數(shù)列的和，使用歸納猜想法和奇偶法，得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再使用等差數(shù)列的求和公式。四、總結(jié)：數(shù)列求和方法很多，每種方法都有其適用的場景和技巧，需要根據(jù)具體情況選擇合適的方法。同時(shí)，掌握數(shù)列求和的基本公式和技巧，能夠幫助我們更好地解決數(shù)學(xué)問題。求證：Cn+3Cn+5Cn+…+(2n+1)Cn=(n+1)2n解法：通過數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。當(dāng)n=1時(shí)，左邊為C4=35，右邊為(1+1)2=4，等式成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即Ck+3Ck+5Ck+…+(2k+1)Ck=(k+1)2k。則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊為Ck+4Ck+6Ck+…+(2k+3)Ck，將其寫成(Ck+3+Ck)+(Ck+5+Ck+1)+…+[(2k+1)+Ck+k]的形式，根據(jù)等式左邊的式子，可以得到Ck+3Ck+5Ck+…+(2k+1)Ck=k(2k+1)，代入原式得到左邊為(k+1)2(k+1)，即證明了等式成立。求值：5.其他求和方法除了數(shù)學(xué)歸納法外，還可以采用歸納猜想法、奇偶法等方法進(jìn)行求和。例5.已知數(shù)列{an}，其中an=-2[n-(-1)^n]，求Sn。解法：首先列出前幾項(xiàng)的值，可以得到a1=-2，a2=2，a3=-4，a4=4，a5=-6，a6=6，…，可以看出an的值為(-1)^(n+1)*2，代入Sn的公式得到Sn=2[1-(-1)^(n+1)]。第四節(jié)遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和綜合例1.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1，2Sn=(n+1)an。（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求和Tn=1/2+2a1/3a2+1/(n+1)an。解法：（1）根據(jù)題意，可以列出Sn=a1+a2+…+an，2Sn=2a1+4a2+…+2nan，將2Sn帶入公式得到2a1+4a2+…+2nan=(n+1)an，化簡得到an=2a(n-1)/(n+1)，代入a1=1得到an=2^(n-1)/(n+1)，即為通項(xiàng)公式。（2）將Tn的式子拆開，得到Tn=1/(n+1)an+2a1/3a2+1/(n+1)a2+…+1/(n+1)an，代入通項(xiàng)公式和a1=1，化簡得到Tn=(n+3)/(n+1)。例2.已知數(shù)列{an}，a1=1，點(diǎn)P(an,2an+1)(n∈N*)在直線x-y=1上。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）函數(shù)f(n)=1/(yn+1)+1/(an+1)在n≥1時(shí)取得最小值，求該最小值。解法：（1）由題意可知an+2-2an=1，即an+2=2an+1+1，代入a1=1得到an=2^n-1，即為通項(xiàng)公式。（2）將f(n)的式子拆開，得到f(n)=1/(an+1)(yn+1+an+1)/(yn+1)，由于yn+1+an+1=an+2=2an+1+1，代入得到f(n)=2/(2an+1+1)，要使f(n)最小，即要使2an+1+1最大，根據(jù)通項(xiàng)公式可知an=2^n-1，代入得到2an+1+1=2^(n+2)，所以最小值為1/2^(n+2)。例3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=c+1-ca(n)，其中c是不等于-1的實(shí)常數(shù)。（1）求證：{an}為等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列{an}的公比q=f(c)，數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn=f(bn-1)(n∈N，n≥2)，寫出{bn}的通項(xiàng)公式，并求b1b2+b2b3+…+bn-1bn的結(jié)果。解法：（1）根據(jù)題意，可以得到Sn=c(1-a(n)+1)+1，即Sn+1=c(1-an+2)，又因?yàn)镾n=c+1-ca(n)，所以Sn+1/Sn=c。即證明了{(lán)an}為等比數(shù)列。（2）由于{an}為等比數(shù)列，所以an=a1q^(n-1)，代入Sn的公式得到Sn=a1(q^n-1)/(q-1)，又因?yàn)镾n=c+1-ca(n)，所以可以得到a1=(c+1