2 1單調(diào)性與最大小值課時(shí)課件2021 2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教版2019必修第一冊(cè)

第三章

函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2.1

單調(diào)性與最大（?。┲担ǖ谝徽n時(shí)）漳州市龍海區(qū)港尾中學(xué)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過期教學(xué)目標(biāo)函數(shù)單調(diào)性的概念及判斷（重點(diǎn)）0102

函數(shù)單調(diào)性概念的形成（難點(diǎn)）掌握證明簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)性的方法（重點(diǎn)、難點(diǎn)）03能夠正確使用區(qū)間表示數(shù)集04函數(shù)的單調(diào)性學(xué)科素養(yǎng)函數(shù)的單調(diào)性概念數(shù)學(xué)抽象通過觀察函數(shù)局部圖像的變化，判斷函數(shù)的單調(diào)性直觀想象利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性邏輯推理函數(shù)定義域的求解數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)建模函數(shù)的單調(diào)性01知識(shí)回顧Retrospective

Knowledge函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的三種表示：解析法:對(duì)應(yīng)關(guān)系清楚、簡(jiǎn)明、全面;通過解析式可求出任意自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，便于研究函數(shù)性質(zhì).列表法:不用計(jì)算，看表就知道函數(shù)值;但當(dāng)自變量較多時(shí)，列表不易實(shí)現(xiàn).圖像法:形象、直觀地表示出函數(shù)的變化情況;但求函數(shù)值比較困難，只能求近似值，且誤差較大.02新知探索New

Knowledge

explore前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義和表示法，知道函數(shù)y=f(x)，x∈A是描述了客觀世界中變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，也就是事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模．這樣，我們就可以通過研究函數(shù)的變化規(guī)律來把握客觀世界中相應(yīng)事物的變化規(guī)律．因此，研究函數(shù)的性質(zhì)，如隨著自變量的增大函數(shù)值增大還是減小，有沒有最大值或最小值，函數(shù)圖像有什么特征等，是認(rèn)識(shí)客觀規(guī)律的重要方法．在初中，我們利用函數(shù)的圖像研究過函數(shù)值隨著自變量的增大而增大（或減?。┑男再|(zhì)，這一性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)．接下來我們進(jìn)一步用符號(hào)語言刻畫這種性質(zhì)．觀察函數(shù)y=x，y=-x，y=x2的圖像，分析自變量變化時(shí)，函數(shù)值有什么變化規(guī)律？先研究f

(x)=x2的單調(diào)性．圖像特征：從左往右看，y軸左側(cè)部分是下降的，y軸右側(cè)部分是上升的；兩變量的變化關(guān)系：當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；符號(hào)語言描述：任意取x1，x2∈(-∞，0]，得到f

(x1)=x

2，f

(x

)=x

2，當(dāng)x

<x

時(shí)，有f

(x

)>f

(x

)．1

2

2

1

2

1

2這時(shí)我們就說函數(shù)f

(x)=x2在區(qū)間(-∞，0]上是單調(diào)遞減的．任意取x1，x2∈[0，+∞)，得到f

(x1)=x

2，f

(x

)=x

2，當(dāng)x

<x

時(shí)，有f

(x

)<f

(x

)．1

2

2

1

2

1

2這時(shí)我們就說函數(shù)f

(x)=x2在區(qū)間[0，+∞)上是單調(diào)遞增的．函數(shù)f

(x)=|x|，f

(x)=-x2各有怎樣的單調(diào)性？y=-x2y=|x|設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I，?x1，x2∈D，且x1<x2，如果都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；如果都有f

(x1)>f

(x2)，那么就說函數(shù)f

(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減．xy0x1x2f

(x1)f

(x2

)y

=

f

(x)如果函數(shù)y＝f

(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f

(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．我們說一個(gè)函數(shù)f(x)的增函數(shù)或減函數(shù)，一定說在定義域上某個(gè)區(qū)間上的增（減）函數(shù)．特別的，函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們稱它是增函數(shù)；函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們稱它是減函數(shù)．設(shè)A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合，而且?x1，x2

∈A，當(dāng)x1<x2時(shí)都有f(x1)<f(x2)，我們能說函數(shù)f

(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增嗎？你能舉例說明嗎？3214答：不能，如圖，取A={1，2，3，4}，D=[1，4]，?x1，x2

∈[1，2]且x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，但f

(x)在區(qū)間[1，4]不是單調(diào)函數(shù)．函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，你能舉出在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增（減）的函數(shù)例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？如f

(x)=2x-1，在(-∞，+∞)上為增函數(shù)；如f

(x)=

-x

+1，在(-∞，+∞)上為減函數(shù)；如f(x)=x2

-2x，在(-∞，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞)上單調(diào)遞增；

如f

(x)=-x2-2x，在(-∞，--1]上單調(diào)遞增，在[-1，+∞)上單調(diào)遞減．若y＝f(x)為R上的減函數(shù)，則f(0)>f(1)．(√)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均單調(diào)遞增，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增．(×)函數(shù)f(x)＝x2-4x+1在區(qū)間[3,+∞)上單調(diào)遞增．(

√

)(5).函數(shù)f(x)＝x2-4x+1的單調(diào)遞增區(qū)間為：[3,+∞)．(

×

)(6).若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則y＝-f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.(√)練習(xí)1

判斷下列說法是否正確(1).若f(-1)<f(2)，則函數(shù)y＝f(x)在[－1,2]上單調(diào)遞增．(

×

)練習(xí)2

如圖是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y＝f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間．【解析】y＝f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為：[－5,－2)，[1,3)；單調(diào)遞增區(qū)間為：[－2,1)，[3,5]．思考：能不能說的單調(diào)遞減區(qū)間為：[－5,－2)∪[1,3)？特別提醒：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間D?定義域I；函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單獨(dú)一點(diǎn)不存在單調(diào)性問題，所以單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)若屬于定義域，則該點(diǎn)處區(qū)間可開可閉，若區(qū)間端點(diǎn)不屬于定義域則只能開；遵循最簡(jiǎn)原則，函數(shù)單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大；函數(shù)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增（減），在區(qū)間[c,d]上也單調(diào)遞增（減），該函數(shù)在[a,b]∪[c,d]上不一定單調(diào)遞增（減），故在作答函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間的時(shí)候通常不能用“∪”這個(gè)符號(hào)．例題1

根據(jù)定義,研究函數(shù)f(x)=kx+b(k≠0)的單調(diào)性．【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，需要考察當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)<f(x2)還是f(x1)>f(x2).根據(jù)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，只要考察f(x1)-f(x2)與0的大小關(guān)系.證明："x1，x2

?

R，且x1

<x2，則f

(x1

)

-

f(x2

)

=

(kx1

+

b)

-

(kx2

+

b)因?yàn)閤1

<x2，所以x1

-x2

<0,(1)當(dāng)k

>0時(shí)，f

(x1

)-f

(x2

)<0,即f

(x1

)<f

(x2

),所以f

(x)=kx

+b是R上的增函數(shù).(2)當(dāng)k

<0時(shí)，f

(x1

)-f

(x2

)>0,即f

(x1

)>f

(x2

),所以f

(x)=kx

+b是R上的減函數(shù).例題2

物理學(xué)中的玻意耳定律

p

=

k

,(k為正常數(shù))告訴我們，對(duì)于一定量V的氣體，當(dāng)其體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.試對(duì)此用函數(shù)的單調(diào)性證明．【分析】根據(jù)題意，只要證明函數(shù)

是減函數(shù)即可.證明：設(shè)"

V1，V2

?

(0,+￥

)，且V1

<

V2，則21V1

V2

V1V2=

k

-

k

=

k

(V2

-V1

)p

-

p因?yàn)閂1，V2

?

(0,+￥

)，且V1

<V2，所以V1V2

>0，V2

-V1

>0又k

>0所以p1

-p2

>0，即p1

>p2

.V所以p

=k

,V

?

(0,+￥

)是減函數(shù).即當(dāng)其體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大．例3

根據(jù)定義證明函數(shù)f

(x)=x

+1在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增．x證明：設(shè)"x1，x2

?

(1,+￥

)，且x1

<x2，則21

21

2

1xxf

(x

)

-

f

(x

)

=

(x

+

1

)

-

(x

+

1

)1

21221

2

1

21

1x

xx

xx

-

x=

(x

-

x

)

+

(

-

)

=

(x

-

x

)

+)111

21

21

21

2x

xx

xx

x

-1=

(x1

-

x2

)(1

-

)

=

(x

-

x

)(所以x1x2

-1

>0,因?yàn)?

<

x1

<

x2

所以x1

-

x2

<

0,

x1x2

>1,所以f

(x1

)-f

(x2

)<0,即f

(x1

)<f

(x2

).x所以f

(x)=x

+1

在(1，+￥

)單調(diào)遞增.假設(shè)作差變形定號(hào)定論用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:設(shè)x1，x2是某個(gè)區(qū)間上任意兩個(gè)數(shù)且x1＜x2;作差：f(x1)－f(x2);化簡(jiǎn)變形：①分解因式,得出因式乘積；②配成同號(hào)的式子和；判斷f(x1)－f(x2)的符號(hào)；作結(jié)論．判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法（1）圖象法:看圖象從左向右是上升還是下降；（2）定義法；（3）性質(zhì)：若函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)都在區(qū)間D上單調(diào)遞增（減），則函數(shù)y＝f(x)+g(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增（減）．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增（減），則函數(shù)y＝-f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減（增）．03拓展提升Expansion

And

Promotionxa時(shí)，?-x

+3aa

>

0所以a

?-1

+3a,1所以0

<

a

￡

.2是定義在(0,+∞)上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a

-

x

+

3a,

x

?1的取值范圍為

.【解析】因?yàn)閒

(x)是定義在R上的減函數(shù)0

<

x

<1

a

,【拓展1】若f

(x)=

x所以f

(x)在(0,1)單調(diào)遞減,在(1,+￥

)也單調(diào)遞減，且當(dāng)x

=1已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的值【解析】（1）因?yàn)閒(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的圖像開口方向向上，對(duì)稱軸方程為x＝1－a，所以f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1－a]，又f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，4]，所以4=1－a，所以a=－3.已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的值【拓展2】(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞,4]，則實(shí)數(shù)a的值為：

.【解析】(1)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的開口方向向上，對(duì)稱軸方程為x＝1－a，所以f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1－a]，又f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上單調(diào)遞減，所以(－∞，4]?(－∞，1－a]，所以4≤1－a，所以a≤－3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3].x

=1

-

a【拓展2】(2)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.注：函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)遞增（減）,則該區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間的子區(qū)間.已知函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。河勺宰兞看笮”容^函數(shù)值大小【拓展3】(2)已知f(x)是定義在R上的減函數(shù)，記a=f(x2

-2x),b=f(-x2+2x-2),c=f(-1),則a，b，c的大小關(guān)系為：

.【解析】因?yàn)閤2

-

2x

=

(x

-1)2

-1

?

-1,

-

x2

+

2x

-

2

=

-(x

-1)2

-1

￡

-1,即-x2

+2x

-2

￡-1

￡

x2

-2x,又f(x)是定義在R上的減函數(shù)，所以f

(-x2

+

2x

-

2)

?

f

(-1)

?

f

(x2

-

2x),

即b

?

c

?

a

.應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。阂阎瘮?shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增（或減），若x1,x2∈D,且x1<x2，則f(x1)<f(x2)[或f(x1)>f(x2)].應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解不等式：由函數(shù)值大小比較自變量大小【拓展4】已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(x2－2)<f(－x)，則x的取值范圍是

.【解析】因?yàn)閒

(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f

(x2

-2)

<f

(-x)所以x2

-2

<-x，即x2

+x

-2

<0所以(x

+2)(x

-1)<0,所以-2

<x

<1,即x的取值范圍為（:

-

2，1）.應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解不等式：已知函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增（或減），若x1,x2∈D,且f(x1)<f(x2)則x1<x2，（或x1>x2）.04歸納總結(jié)SumUp1、增函數(shù)與減函數(shù)的定義:設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I,?x1,x