《全稱量詞與存在量詞》 全省一等獎 市賽獲獎

全稱量詞與存在量詞典例精析類型一全稱命題與特稱命題的判定[例1]指出下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷它們的真假．(1)?x∈N,2x＋1是奇數(shù)；(2)存在一個x0∈R，使＝0；(3)存在一組m、n的值，使m－n＝1；(4)至少有一個集合A，滿足A{1,2,3}．[分析]首先判斷命題中含有哪種量詞，進而確定是哪種命題，然后正面推理證明或舉反例說明命題的真假．[解]

(1)是全稱命題．因為?x∈N,2x＋1都是奇數(shù)，所以該命題是真命題．(2)是特稱命題．因為不存在x0∈R，使＝0成立，所以該命題是假命題．(3)是特稱命題．當m＝4，n＝3時，使m－n＝1成立，所以該命題是真命題．(4)是特稱命題．存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以該命題是真命題．[點評]

1.要判定命題是全稱命題還是特稱命題，主要方法是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞，要注意的是有些全稱命題的敘述中并不含有全稱量詞，這時我們就要根據(jù)命題涉及的意義去判斷．2．要判定一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，卻只要能舉出集合M中的一個x0，使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”)．3．要判定一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個x0使p(x0)成立即可；否則，這個特稱命題就是假命題．遷移體驗1指出下列命題是全稱命題，還是特稱命題，并判斷它們的真假．(1)對任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立．(2)至少有一個整數(shù)，它既能被2整除，又能被5整除．(3)對數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)．(4)?x∈R，x2－3x＋2＝0.解：(1)全稱命題，因為x＝0時，x2＋x＋1＝1≠0，故是假命題．(2)特稱命題，是真命題，比如10既能被2整除，又能被5整除．(3)全稱命題，是真命題．(4)全稱命題，是假命題，因為只有x＝2或x＝1時滿足．類型二全稱命題與特稱命題的表述[例2]

(1)設(shè)集合S＝{四邊形}，p(x)：內(nèi)角和為360°.試用不同的表述寫出全稱命題“?x∈S，p(x)”．(2)設(shè)q(x)：x2＝x，試用不同的表達方法寫出特稱命題“?x∈R，q(x)”．[分析]由題目可獲取以下主要信息：①第(1)小題是全稱命題，第(2)小題是特稱命題；②要求分別用不同的方式表示各自的命題．解答本題應(yīng)先分清是全稱命題還是特稱命題，再選取合適的量詞用不同的方式來表述．[解]

(1)依題意可得以下幾種不同的表述：對所有的四邊形x，x的內(nèi)角和為360°；對一切四邊形x，x的內(nèi)角和為360°；每一個四邊形x的內(nèi)角和為360°；任一個四邊形x的內(nèi)角和為360°；凡是四邊形x，它的內(nèi)角和為360°.(2)依題意可得以下幾種不同的表述：存在實數(shù)x0，使x＝x0成立；至少有一個x0∈R，使x＝x0成立；對有些實數(shù)x0，使x＝x0成立；有一個x0∈R，使x＝x0成立；對某一個x0∈R，使x＝x0成立．遷移體驗2用全稱量詞或存在量詞表示下列語句．(1)n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)×180°；(2)兩個有理數(shù)之間，都有一個有理數(shù)；(3)有一個實數(shù)乘以任意一個實數(shù)都等于0.解：(1)一切n邊形的內(nèi)角和都等于(n－2)×180°；(2)任意兩個有理數(shù)之間，都有一個有理數(shù)；(3)存在一個實數(shù)x，它乘以任意一個實數(shù)都等于0.類型三全稱命題與特稱命題的真假判斷[例3]給出下列四個命題．①?x∈R，x2＋2>0；②?x∈N，x4≥1；③?x0∈Z，x<1；④?x0∈Q，x＝3.其中是真命題的是________(把所有真命題的序號都填上)．[分析]由題目可獲取以下主要信息：①四個命題中有兩個全稱命題，兩個特稱命題；②要求判斷命題的真假．解答本題首先正確理解命題的含義，再采用舉反例等方法給予判斷．[解析]

①由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0.所以命題“?x∈R，x2＋2>0”是真命題．②由于0∈N，當x＝0時，x4≥1不成立．所以命題“?x∈N，x4≥1”是假命題．[答案]①③③由于－1∈Z，當x＝－1時，x3<1成立．所以命題“?x0∈Z，x<1”是真命題．④由于使x2＝3成立的數(shù)只有±，而它們都不是有理數(shù)．因此，沒有任何一個有理數(shù)的平方等于3.所以命題“?x0∈Q，x＝3”是假命題．[點評]

1.全稱命題的真假判斷要判定一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，卻只要能舉出集合M中的一個x＝x0，使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”)．2．特稱命題的真假判斷要判定一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可；否則，這一特稱命題就是假命題．遷移體驗3判斷下列命題的真假．(1)?x∈{1,3,5},3x＋1是偶數(shù)；(2)?x0∈R，x－6x0－5＝0；(3)?x0∈R，x－x0＋1＝0；(4)?x∈R，|x＋1|>0.解：(1)∵3×1＋1＝4,3×3＋1＝10,5×3＋1＝16均為偶數(shù)，∴是真命題．(2)∵x－6x0－5＝0中，Δ＝36＋20＝56>0，∴方程有兩個不相等的實根，∴是真命題．(3)∵x－x0＋1＝0中，Δ＝1－4＝－3<0，∴x－x0＋1＝0無解，∴是假命題．(4)∵x＝－1時，|－1＋1|＝0，∴是假命題．類型四全稱命題與特稱命題的應(yīng)用[例4]函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x、y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.(1)求f(0)的值；(2)在(0,4)上存在實數(shù)x0，使得f(x0)＋6＝ax0成立，求實數(shù)a的取值范圍．[解]

(1)由已知等式f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)·x，令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2，又因為f(1)＝0，所以f(0)＝－2.(2)令y＝0，則f(x＋y)－f(y)＝f(x)－f(0)＝f(x)＋2＝(x＋2×0＋1)x＝x2＋x，∴f(x)＋6＝x2＋x＋4.∴要使在(0,4)上存在x0使f(x0)＋6＝ax0成立，只需在(0,4)存在x0使a＝x0＋＋1.而x＋＋1≥4＋1＝5，等號當且僅當x＝2時成立．故所求的取值范圍a≥5.[點評]全稱命題真，意味著對限定集合中的每一個元素都能具有某性質(zhì)，使所給語句真．因此，當給出限定集合中的任一個特殊的元素時，自然應(yīng)導(dǎo)出“這個特殊元素具有這個性質(zhì)”(這類似于“代入”思想)．而特稱命題為真，則只需在給定的集合中，找到一個元素具有某性質(zhì)，使該語句為真即可．解決有關(guān)存在性命題的參數(shù)取值范圍問題，應(yīng)盡量分離參數(shù)，若得到g(a)＝f(x)成立，則只需求f(x)的值域B，進而確定使g(a)∈B的a的值即可．若g(x)>f(x)，則只需確定g(a)>f(x)的最小值即可．類似地，對于全稱命題(特別是恒成立)的問題，也應(yīng)盡量用分離參數(shù)法來求解．遷移體驗4已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在實數(shù)m，使不等式m＋f(x)>0對于任意x∈R恒成立，并說明理由．(2)若存在一個實數(shù)x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求實數(shù)m的取值范圍．解：(1)不等式m＋f(x)>0可化為m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4對于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在實數(shù)m，使不等式m＋f(x)>0對于任意x∈R恒成立，此時，只需m>－4.(2)不等式m－f(x0)>0可化為m>f(x0)，若存在一個實數(shù)x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求實數(shù)m的取值范圍是(4，＋∞)．思悟升華1．一般地，設(shè)p(x)是某集合M的所有元素都具有或都不具有的性質(zhì)，那么全稱命題就是形如“對M中的所有x有p(x)成立”的命題，用符號簡記為?x∈M，p(x)．2．一般地，設(shè)q(x)是某集合M的有些元素x具有或不具有的某種性質(zhì)，那么特稱命題就是形如“存在集合M中的元素x，使q(x)成立”的命題，用符號簡記為?x∈M，q(x)．3．應(yīng)當指出，同一個全稱命題、特稱命題，由于自然語言的不同，可能有不同的表述方法．現(xiàn)列表總結(jié)于下，在實際應(yīng)用中可以靈活地選擇：命題全稱命題“?x∈A，p(x)”特稱命題“?x∈A，p(x)”表述方法①所有的x∈A，p(x)成立②對一切x∈A，p(x)成立③對每一個x∈A，p(x)成立④任選一個x