初級中學幾何輔助線全套匯編

,.初中數學輔助線的添加淺談人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的，當問題的條件精品文檔放心下載不夠時，添加輔助線構成新圖形，形成新關系，使分散的條件集中，建立感謝閱讀已知與未知的橋梁，把問題轉化為自己能解決的問題，這是解決問題常用精品文檔放心下載的策略。一．添輔助線有二種情況：按定義添輔助線：如證明二直線垂直可延長使它們 ,相交后證交角為 90°；證線段倍半關謝謝閱讀系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關系也可類似添輔助線。精品文檔放心下載按基本圖形添輔助線：每個幾何定理都有與它相對應的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，感謝閱讀添輔助線往往是具有基本圖形的性質而基本圖形不完整時補完整基本圖謝謝閱讀形，因此“添線”應該叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有精品文檔放心下載規(guī)律可循。舉例如下：（1）平行線是個基本圖形：當幾何中出現平行線時添輔助線的關鍵是添與二條平行線都相交的等謝謝閱讀第三條直線（2）等腰三角形是個簡單的基本圖形：當幾何問題中出現一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角感謝閱讀形。出現角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三感謝閱讀角形。（3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：,.出現等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現角平分線與垂線謝謝閱讀組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段 的基本圖形。謝謝閱讀（4）直角三角形斜邊上中線基本圖形出現直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現線段倍半關謝謝閱讀系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三精品文檔放心下載角形斜邊上中線基本圖形。（5）三角形中位線基本圖形幾何問題中出現多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明精品文檔放心下載當有中點沒有中位線時則添中位線，當有中位線三角形不完整時則需補完精品文檔放心下載整三角形；當出現線段倍半關系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點謝謝閱讀則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當出現線段倍精品文檔放心下載半關系且與半線段的端點是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半感謝閱讀線段的平行線得三角形中位線基本圖形。（6）全等三角形：全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉形與平移形等；如果出現感謝閱讀兩條相等線段或兩個檔相等角關于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形精品文檔放心下載全等三角形：或添對稱軸，或將三角形沿對稱軸翻轉。當幾何問題中出現感謝閱讀一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形精品文檔放心下載全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連結或過二端點添平行謝謝閱讀線（7）相似三角形：,.相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉感謝閱讀型；當出現相比線段重疊在一直線上時（中點可看成比為 1）可添加平行線謝謝閱讀得平行線型相似三角形。若平行線過端點添則可以分點或另一端點的線段謝謝閱讀為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。（8）特殊角直角三角形當出現30，45，60，135，150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，謝謝閱讀利用45角直角三角形三邊比為 1：1：√2；30度角直角三角形三邊比為 1：謝謝閱讀2：√3進行證明（9）半圓上的圓周角出現直徑與半圓上的點，添 90度的圓周角；出現90度的圓周角則添謝謝閱讀它所對弦---直徑；平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子不外有感謝閱讀一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。二．基本圖形的輔助線的畫法1.三角形問題添加輔助線方法方法1：有關三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利謝謝閱讀用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結論恰當的轉移，很容易地解決了精品文檔放心下載問題。方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質精品文檔放心下載和題中的條件，構造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。謝謝閱讀方法3：結論是兩線段相等的題目常畫輔助線構成全等三角形，或利用關于精品文檔放心下載平分線段的一些定理。方法4：結論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采感謝閱讀用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分感謝閱讀等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。2.平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有精品文檔放心下載某些相同性質，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、謝謝閱讀垂直，構成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方感謝閱讀形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂點作對邊的垂線構造直角三角形（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構造精品文檔放心下載線段平行或中位線（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造三角形相似或等精品文檔放心下載積三角形。（5）過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等.精品文檔放心下載3.梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加謝謝閱讀適當的輔助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的謝謝閱讀添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內平移兩腰（4）延長兩腰（5）過梯形上底的兩端點向下底作高（6）平移對角線（7）連接梯形一頂點及一腰的中點。（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。（9）作中位線當然在梯形的有關證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單感謝閱讀一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來謝謝閱讀解決，這是解決問題的關鍵。4.圓中常用輔助線的添法在平面幾何中，解決與圓有關的問題時，常常需要添加適當的輔助線，架起精品文檔放心下載題設和結論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活感謝閱讀掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高學生分析問題和解決問題的能力是謝謝閱讀大有幫助的。（1）見弦作弦心距有關弦的問題，常作其弦心距（有時還須作出相應的半徑），通過垂徑平分精品文檔放心下載定理，來溝通題設與結論間的聯(lián)系。（2）見直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用"直徑所對的精品文檔放心下載圓周角是直角"這一特征來證明問題。（3）見切線作半徑,.命題的條件中含有圓的切線，往往是連結過切點的半徑，利用"切線與半徑精品文檔放心下載垂直"這一性質來證明問題。（4）兩圓相切作公切線對兩圓相切的問題，一般是經過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通感謝閱讀過公切線可以找到與圓有關的角的關系。（5）兩圓相交作公共弦對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以謝謝閱讀把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。,.作輔助線的方法一：中點、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延精品文檔放心下載長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應謝謝閱讀用某個定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而感謝閱讀旋轉180度，得到全等形，，這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的感謝閱讀平分線。三：邊邊若相等，旋轉做實驗。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉一定精品文檔放心下載的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心，因題而異，有謝謝閱讀時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉兩種。四:造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形精品文檔放心下載有關。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；精品文檔放心下載第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見?！敝x謝閱讀托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）謝謝閱讀五：兩圓若相交，連心公共弦。,.如果條件中出現兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。謝謝閱讀六：兩圓相切、離，連心，公切線。如條件中出現兩圓相切（外切，內切），或相離（內含、外離），那么，輔助線往往是連精品文檔放心下載心線或內外公切線。七：切線連直徑，直角與半圓。如果條件中出現圓的切線，那么輔助線是過切點的直徑或半徑使出現直角；相反，條件謝謝閱讀中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點的切線。即切線與直徑互為輔助感謝閱讀線。如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，精品文檔放心下載條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角——直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。謝謝閱讀八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。精品文檔放心下載如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。感謝閱讀如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助謝謝閱讀線，反之，亦成立。有時，圓周角，弦切角，圓心角，圓內角和圓外角也存在因果關系互相聯(lián)想作輔助線。感謝閱讀九：面積找底高，多邊變三邊。如遇求面積，（在條件和結論中出現線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或感謝閱讀高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關鍵。,.如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。另外，我國明清數學家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種，感謝閱讀大多數為“面積找底高，多邊變三邊”。,.三角形中作輔助線的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，若直接證不出來，可連接兩點精品文檔放心下載或延長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再運用三謝謝閱讀角形三邊的不等關系證明，如：1：已知如圖1-1：D、E為△ABC內兩點,求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.精品文檔放心下載證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE;（1）在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋ECAAGFDEMNDEB圖11CB圖12C,.（法二：）如圖1-2，延長BD交AC于F，延長CE交BF于G，謝謝閱讀在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB＋AF＞BD＋DG＋GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）精品文檔放心下載GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………（2）謝謝閱讀DG＋GE＞DE（同上）……（3）感謝閱讀由（1）＋（2）＋（3）得：AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE感謝閱讀∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連感謝閱讀接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，謝謝閱讀小角處于這個三角形的內角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為△ABC內的任一點，求證：∠BDC＞∠BAC。感謝閱讀分析：因為∠BDC與∠BAC不在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系， A感謝閱讀可適當添加輔助線構造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠ G E謝謝閱讀DBAC處于在內角的位置；B F C圖2 1證法一：延長BD交AC于點E，這時∠BDC是△EDC的外角，謝謝閱讀∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC精品文檔放心下載證法二：連接AD，并延長交BC于F,.∵∠BDF是△ABD的外角∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD即：∠BDC＞∠BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角謝謝閱讀放在這個三角形的內角位置上，再利用不等式性質證明。三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構A造全等三角形，如：NEF例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠1234CBD4,求證：BE＋CF＞EF。圖31分析：要證BE＋CF＞EF，可利用三角形三邊關系定理證明，須感謝閱讀把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的兩邊截取相精品文檔放心下載等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把EN，FN，EF移到同一個三角形中。謝謝閱讀證明：在DA上截取DN＝DB，連接NE，NF，則DN＝DC，感謝閱讀在△DBE和△DNE中：DNDB(輔助線的作法)12(已知)EDED(公共邊)∴△DBE≌△DNE （SAS）,.∴BE＝NE（全等三角形對應邊相等）同理可得：CF＝NF在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形兩邊之和大于第三邊）謝謝閱讀∴BE＋CF＞EF。注意：當證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，然后感謝閱讀用全等三角形的性質得到對應元素相等。四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。感謝閱讀例如：如圖4-1：AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：BE＋CF＞EF謝謝閱讀證明：延長ED至M，使DM=DE，連接ACM，MF。在△BDE和△CDM中， E FBDCD(中點的定義)1234C∵1CDM(對頂角相等)BDEDMD(輔助線的作法)圖41M∴△BDE≌△CDM （SAS）又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定義）∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90°∴∠FDM＝∠EDF＝90°,.在△EDF和△MDF中EDMD(輔助線的作法)EDFFDM(已證)DFDF(公共邊)感謝閱讀∴△EDF≌△MDF （SAS）∴EF＝MF（全等三角形對應邊相等）∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形兩邊之和大于第三邊）謝謝閱讀∴BE＋CF＞EF注：上題也可加倍FD，證法同上。注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形，精品文檔放心下載使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構造全等三角形。精品文檔放心下載例如：如圖5-1：AD為△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD。感謝閱讀分析：要證AB＋AC＞2AD，由圖想到：AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC謝謝閱讀＋BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左邊比要證結論多BD＋ACD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD，即精品文檔放心下載加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去。B D C證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE謝謝閱讀E＝2AD,.∵AD為△ABC的中線 （已知）∴BD＝CD （中線定義）在△ACD和△EBD中BDCD(已證)ADCEDB(對頂角相等)圖51ADED(輔助線的作法)感謝閱讀∴△ACD≌△EBD （SAS）∴BE＝CA（全等三角形對應邊相等）∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形兩邊之和大于第三精品文檔放心下載邊）

EFAB D C圖52∴AB＋AC＞2AD。（常延長中線加倍，構造全等三角形）練習：已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰精品文檔放心下載直角三角形，如圖5-2，求證EF＝2AD。六、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P精品文檔放心下載A為AD上任一點。求證：AB－AC＞PB－PC。12NPCDB圖61M,.分析：要證：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三邊關系定理證之，因為欲證的是線段謝謝閱讀之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構造第三邊AB－AC，故可在AB上截取AN等謝謝閱讀于AC，得AB－AC＝BN，再連接PN，則PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：精品文檔放心下載AB－AC＞PB－PC。證明：（截長法）在AB上截取AN＝AC連接PN, 在△APN和△APC中謝謝閱讀ANAC(輔助線的作法)12(已知)APAP(公共邊)∴△APN≌△APC（SAS）∴PC＝PN（全等三角形對應邊相等）∵在△BPN中，有PB－PN＜BN（三角形兩邊之差小于第三邊）謝謝閱讀∴BP－PC＜AB－AC證明：（補短法） 延長AC至M，使AM＝AB，連接PM，謝謝閱讀在△ABP和△AMP中ABAM(輔助線的作法)12(已知)APAP(公共邊)∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB＝PM （全等三角形對應邊相等）,.又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形兩邊之差小于第三邊)感謝閱讀∴AB－AC＞PB－PC。七、延長已知邊構造三角形：例如：如圖7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B， 求證：AD＝BC謝謝閱讀分析：欲證AD＝BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：△ADC與△BCD，精品文檔放心下載△AOD與△BOC，△ABD與△BAC，但根據現有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可感謝閱讀設法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明：分別延長DA，CB，它們的延長交于E點，感謝閱讀∵AD⊥AC BC⊥BD （已知）

EAB∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定義）O在△DBE與△CAE中DC圖71EE(公共角)DBECAE(已證)BDAC(已知)精品文檔放心下載∴△DBE≌△CAE （AAS）∴ED＝EC EB＝EA（全等三角形對應邊相等）∴ED－EA＝EC－EB即：AD＝BC。,.（當條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）謝謝閱讀八、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉化成為三角形來解決。感謝閱讀例如：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC 求證：AB=CD。謝謝閱讀分析：圖為四邊形，我們只學了三角形的有關知識，必須把它轉化為三角形來解決。精品文檔放心下載證明：連接AC（或BD）∵AB∥CD AD∥BC （已知）∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （兩直線平行，內錯角相等）精品文檔放心下載A3D在△ABC與△CDA中112(已證)42∵B圖81CACCA(公共邊)34(已證)∴△ABC≌△CDA （ASA）∴AB＝CD（全等三角形對應邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延長于E。感謝閱讀求證：BD＝2CEF分析：要證BD＝2CE，想到要構造線段2CE，同時CE精品文檔放心下載A ED12B C圖91,.與∠ABC的平分線垂直，想到要將其延長。證明：分別延長BA，CE交于點F?！連E⊥CF （已知）∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定義）在△BEF與△BEC中，12(已知)BEBE(公共邊)BEFBEC(已證)∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=1CF （全等三角形對應邊相等）謝謝閱讀2∵∠BAC=90° BE⊥CF（已知）∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°感謝閱讀∴∠BDA＝∠BFC在△ABD與△ACF中BACCAF(已證)BDABFC(已證)AB＝AC(已知)∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF（全等三角形對應邊相等）∴BD＝2CE精品文檔放心下載十、連接已知點，構造全等三角形。例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠謝謝閱讀,.D。分析：要證∠A＝∠D，可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和對精品文檔放心下載頂角兩個條件，差一個條件，，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB＝DC，感謝閱讀AC＝BD，若連接BC，則△ABC和△DCB全等，所以，證得∠A＝∠D。感謝閱讀證明：連接BC，在△ABC和△DCB中ADOABDC(已知)∵BCACDB(已知)圖101BCCB(公共邊)∴△ABC≌△DCB(SSS)∴∠A＝∠D (全等三角形對應邊相等)十一、取線段中點構造全等三有形。例如：如圖11-1：AB＝DC，∠A＝∠D求證：∠ABC＝∠DCB。感謝閱讀分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中點N，連接NB，NC，再由SAS公理有△謝謝閱讀ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需證∠NBC＝∠NCB，再取BC的中點精品文檔放心下載M，連接MN，則由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。問題得證。精品文檔放心下載證明：取AD，BC的中點N、M，連接NB，NM，NC。則NADAN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中∵ANDN(輔助線的作法)BMCAD(已知)圖111ABDC(已知),.∴△ABN≌△DCN （SAS）∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC（全等三角形對應邊、角相等）謝謝閱讀在△NBM與△NCM中NB＝NC(已證)BM＝CM(輔助線的作法)NM＝NM(公共邊)∴△NMB≌△NCM，(SSS)∴∠NBC＝∠NCB（全等三角形對應角相等）∴∠NBC＋∠ABN＝精品文檔放心下載∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。,.巧求三角形中線段的比值1.如圖1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。感謝閱讀解：過點D作DG//AC，交BF于點G所以DG：FC＝BD：BC因為BD：DC＝1：3 所以BD：BC＝1：4DG：FC＝1：4，FC＝4DG因為DG：AF＝DE：AE 又因為AE：ED＝2：3感謝閱讀所以DG：AF＝3：2即

所以AF：FC＝

：4DG

＝1：62.如圖2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD感謝閱讀解：過點C作CG//DE交AB于點G，則有EF：GC＝AF：AC感謝閱讀因為AF＝FC 所以AF：AC＝1：2即EF：GC＝1：2，因為CG：DE＝BC：BD所以BC：BD＝1：2

又因為BC＝CDCG：DE＝1：2

即DE＝2GC因為FD＝ED－EF＝ 所以EF：FD＝小結：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現的兩條已知線段的交點處，且所作的輔助線與結論中出現的線段平行。請再看兩例，讓我們感受其中的奧妙！感謝閱讀,.3.如圖3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。謝謝閱讀解：過點B作BG//AD，交CE延長線于點G。謝謝閱讀所以DF：BG＝CD：CB因為BD：DC＝1：3 所以CD：CB＝3：4即DF：BG＝3：4，因為AF：BG＝AE：EB又因為AE：EB＝2：3所以AF：BG＝2：3 即所以AF：DF＝4.如圖4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。感謝閱讀解：過點D作DG//CE，交AB于點G所以EF：DG＝AF：AD因為AF＝FD所以AF：AD＝1：2圖4即EF：DG＝1：2因為DG：CE＝BD：BC，又因為BD：CD＝1：3，所以BD：BC＝1：4即DG：CE＝1：4，CE＝4DG精品文檔放心下載因為FC＝CE－EF＝所以EF：FC＝ ＝1：7,.練習：如圖5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。感謝閱讀如圖6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。感謝閱讀答案：1、1：10；2.9：1,.初中幾何輔助線一初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。謝謝閱讀還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。謝謝閱讀角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。感謝閱讀線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。感謝閱讀線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。感謝閱讀三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現，對稱中心等分點。梯形問題巧轉換，變?yōu)椤骱汀?。謝謝閱讀平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現腰中點，細心連上中位線。感謝閱讀上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習慣。謝謝閱讀等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。感謝閱讀斜邊上面作高線，比例中項一大片。圓形半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。感謝閱讀切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。精品文檔放心下載是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。感謝閱讀,.圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。感謝閱讀要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內接圓，內角平分線夢圓精品文檔放心下載如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內外相切的兩圓，經過切點公切線。謝謝閱讀若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。謝謝閱讀注意點輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。感謝閱讀基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經?？偨Y方法顯。謝謝閱讀切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。精品文檔放心下載虛心勤學加苦練，成績上升成直線。二由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角謝謝閱讀平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。感謝閱讀角平分線具有兩條性質：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離謝謝閱讀相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①從角平分線上一點向兩邊作垂線；②利用角平分線，構造對稱圖形（如作法是在一側的長邊上截取短邊）。謝謝閱讀通常情況下，出現了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下謝謝閱讀考慮構造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。謝謝閱讀,.與角有關的輔助線EA（一）、截取構全等ODC幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與F猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學們能圖1-1B掌握相關的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。感謝閱讀下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。如圖1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△感謝閱讀OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條AE件。例1．如圖1-2，AB//CD，BE平分∠BCBFD，CE平分∠BCD，點E在AD上，求證：BC圖1-2=AB+CD。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構造全等三角形，即精品文檔放心下載利用解平分線來構造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證謝謝閱讀明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段謝謝閱讀或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線感謝閱讀段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的精品文檔放心下載線段與某條線段相等，進而達到所證明的目的。簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達到精品文檔放心下載證明的目的。這里面用到了角平分線來構造全等三角形。另外一個全等自已證明。精品文檔放心下載此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。感謝閱讀

DC,.例2．已知：如圖1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DC⊥精品文檔放心下載AC分析：此題還是利用角平分線來構造全等三角形。構造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。 ACEDB 圖1-3例3．已知：如圖1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：AB感謝閱讀-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明A中還要用到構造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的E線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的BCD延長來證明呢？圖1-4練習1． 已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC感謝閱讀2． 已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=謝謝閱讀2AC，求證：AE=2CE3．已知：在△ABC中，AB>AC,AD為∠BAC的平分線，M為AD上任一點。求證：BM-CM>AB-AC精品文檔放心下載,.4． 已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分線AD上的任一點，連接D謝謝閱讀B、DC。求證：BD+CD>AB+AC。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明謝謝閱讀問題。例1．如圖2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=精品文檔放心下載BC。

ADE FB求證：∠ADC+∠B=180C圖2-1分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角。謝謝閱讀例2．如圖2-2，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。精品文檔放心下載求證：BC=AB+ADA分析：過D作DE⊥BC于E，則AD=DE=CE，則構 D謝謝閱讀造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分 B C謝謝閱讀E圖2-2問題，從中利用了相當于截取的方法。例3．已知如圖2-3，△ABC的角平分線BM、CN相交于精品文檔放心下載點P。求證：∠BAC的平分線也經過點P。 A分析：連接AP，證AP平分∠BAC即可，也就是證P到精品文檔放心下載NAB、AC的距離相等。 D MFB

P圖2-3 C,.練習：1．如圖2-4∠AOP=∠BOP=15，PC//OA，P精品文檔放心下載D⊥OA，如果PC=4，則PD=（ ）

BCPOA圖2-4DA 4 B 3 C 2 D 12．已知在△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，CD=感謝閱讀1.5,DB=2.5.求AC。3．已知：如圖2-5,∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，謝謝閱讀

A1AE=2（AB+AD）.求證：∠D+∠B=180。精品文檔放心下載

DEB C圖2-54.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點，F為BC感謝閱讀上的點，∠FAE=∠DAE。求證：AF=AD+CF。謝謝閱讀5．已知：如圖2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH。精品文檔放心下載AD

CEEFHB圖2-6FCADB圖2-7,.（三）：作角平分線的垂線構造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，感謝閱讀垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質與等腰三精品文檔放心下載角形的三線合一的性質。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一精品文檔放心下載邊相交）。例1．已知：如圖3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD感謝閱讀于D，H是BC中點。求證：DH=1（AB-AC）謝謝閱讀2

A分析：延長CD交AB于點E，則可得全等三角形。問題可證。DCEBH圖示3-1F例2．已知：如圖3-2，AB=AC，∠BAC=90，AD為∠精品文檔放心下載ABC的平分線，CE⊥BE.求證：BD=2CE。

AD EB分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的圖3-2C垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構造出等腰三角形。謝謝閱讀3．已知：如圖3-3在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的內、外角平分線，過頂點B作BFAD，交AD的延長線于F，連結FC并延長交AE于M。謝謝閱讀

AMBDCE求證：AM=ME。FN圖3-3分析：由AD、AE是∠BAC內外角平分線，可得EA⊥AF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。,.例4．已知：如圖3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD精品文檔放心下載交AD延長線于M。求證：AM=1（AB+AC）感謝閱讀2分析：題設中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對稱變換，作△謝謝閱讀ABD關于AD的對稱△AED，然后只需證DM=1EC，謝謝閱讀2另外由求證的結果AM=1（AB+AC），即2AM=A謝謝閱讀2B+AC，也可嘗試作△ACM關于CM的對稱△FCM，精品文檔放心下載然后只需證DF=CF即可。

AEFDnCB圖3-4練習：1．已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點，AE是∠BAC的平分線，且CE⊥AE于E，連接DE，求DE。謝謝閱讀2． 已知BE、BF分別是△ABC的∠ABC的內角與外角的平分線，AF⊥B謝謝閱讀F于F，AE⊥BE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=1BC謝謝閱讀2（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構造等腰精品文檔放心下載三角形。或通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，謝謝閱讀從而也構造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。精品文檔放心下載CAHIDFECGBAB圖4-2圖4-1,.例4 如圖，AB>AC,∠1=∠2，求證：AB－AC>BD－CD。謝謝閱讀CA 1 D2B例5 如圖，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求證：∠A+∠C=180。謝謝閱讀AB DC例6 如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB精品文檔放心下載D C+CD。EA B練習：,.已知，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。求證：△ABC是直角三角形。精品文檔放心下載CAB2．已知：如圖，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求證：DC⊥AC精品文檔放心下載A12CB D3．已知CE、AD是△ABC的角平分線，∠B=60°，求證：AC=AE+CD感謝閱讀AEB D C4．已知：如圖在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，求證：BC=AB+AD謝謝閱讀ADB C,.三由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。謝謝閱讀遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：謝謝閱讀1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等感謝閱讀于另一條；2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線謝謝閱讀段等于長線段。對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第感謝閱讀三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。精品文檔放心下載一、 在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證不出來，可謝謝閱讀連接兩點或廷長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，精品文檔放心下載再運用三角形三邊的不等關系證明，如：例1、已知如圖1-1：D、E為△ABC內兩點,求證:AB+AC>BD+DE+CE.感謝閱讀證明：（法一）A將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，M D E N在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）感謝閱讀B C圖1 1,.在△BDM中，MB+MD>BD；（2）在△CEN中，CN+NE>CE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE謝謝閱讀∴AB+AC>BD+DE+ECA（法二：圖1-2）G延長BD交AC于F，廷長CE交BF于G，在△ABFDEB圖12和△GFC和△GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）…（1）精品文檔放心下載GF+FC>GE+CE（同上）（2）ADG+GE>DE（同上）（3）G由（1）+（2）+（3）得：DAB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+BF圖21DE

FCEC∴AB+AC>BD+DE+EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內角位置上，再利用外角定理：感謝閱讀例如：如圖2-1：已知D為△ABC內的任一點，求證：∠BDC>∠BAC。謝謝閱讀分析：因為∠BDC與∠BAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添精品文檔放心下載加輔助線構造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內角的位感謝閱讀置；,.證法一：延長BD交AC于點E，這時∠BDC是△EDC的外角，感謝閱讀∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC謝謝閱讀證法二：連接AD，并廷長交BC于F，這時∠BDF是△ABD的感謝閱讀外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+精品文檔放心下載∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。精品文檔放心下載注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常將大角放在某三角形的外精品文檔放心下載角位置上，小角放在這個三角形的內角位置上，再利用不等式性質證明。謝謝閱讀三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，謝謝閱讀如：A例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且∠1=N∠2,∠3=∠4,求證：BE+CF>EF。EF分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關系定1234CBD理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由圖31已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把EN，FN，EF移到同個三角形中。謝謝閱讀證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，感謝閱讀在△DBE和△NDE中：DN=DB（輔助線作法）∠1=∠2（已知）ED=ED（公共邊）∴△DBE≌△NDE（SAS）,.∴BE=NE（全等三角形對應邊相等）同理可得：CF=NF在△EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）謝謝閱讀∴BE+CF>EF。注意：當證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構造全感謝閱讀等三角形，然后用全等三角形的對應性質得到相等元素。四、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P為AD謝謝閱讀上任一點求證：AB-AC>PB-PC。分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN，感謝閱讀即：AB-AC>PB-PC。證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN,在△APN和△APC中感謝閱讀AN=AC（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形對應邊相等）感謝閱讀∵在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）謝謝閱讀,.∴BP-PC<AB-AC證明：（補短法）A延長AC至M，使AM=AB，連接PM，12PNCD在△ABP和△AMP中MB圖61AB=AM（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB=PM（全等三角形對應邊相等）又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊)感謝閱讀∴AB-AC>PB-PC。1．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD精品文檔放心下載A D+BE。E CB2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=感謝閱讀2AE，求證：∠ADC+∠B=180oDCA E B,.3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分A感謝閱讀BC。求證：BC=AB+DC。ADB C4如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分線，DM⊥感謝閱讀1 AAB于M，且AM=MB。求證：CD=2DB。 M謝謝閱讀C D B1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+C感謝閱讀D。D CEA B,.2.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，精品文檔放心下載C在AE的異側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求證：BD=DE+CE感謝閱讀四由中點想到的輔助線口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。感謝閱讀在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應該聯(lián)想到感謝閱讀三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關性質（直角三角形斜邊中線性質、謝謝閱讀等腰三角形底邊中線性質），然后通過探索，找到解決問題的方法。精品文檔放心下載（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD= SΔABC（因為ΔABD與精品文檔放心下載ΔACD是等底同高的）。1．如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是精品文檔放心下載ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。精品文檔放心下載,.解：因為AD是ΔABC的中線，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中線，故SΔCDE=SΔACD=1，謝謝閱讀DF是ΔCDE的中線，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。感謝閱讀∴ΔCDF的面積為。（二）、由中點應想到利用三角形的中位線例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。謝謝閱讀證明：連結BD，并取BD的中點為M，連結ME、MF，感謝閱讀∵ME是ΔBCD的中位線，∴ME CD，∴∠MEF=∠CHE，∵MF是ΔABD的中位線，∴MF AB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，從而∠BGE=∠CHE。,.（三）、由中線應想到延長中線3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。感謝閱讀解：延長AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。感謝閱讀在ΔACD和ΔEBD中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，從而BE=AC=3。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，精品文檔放心下載∴BD= = = ，故BC=2BD=2 。4．如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。謝謝閱讀證明：延長AD到E，使DE=AD。仿例3可證：ΔBED≌ΔCAD，EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。精品文檔放心下載,.（四）、直角三角形斜邊中線的性質5．如圖6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：謝謝閱讀AC=BD。證明：取AB的中點E，連結DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。精品文檔放心下載∵AB//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，在ΔADE和ΔBCE中，∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。感謝閱讀（五）、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線精品文檔放心下載6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。精品文檔放心下載證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，感謝閱讀∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，謝謝閱讀∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。謝謝閱讀又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，感謝閱讀,.∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。精品文檔放心下載注：此例中BE是等腰ΔBCF的底邊CF的中線。感謝閱讀（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結，便可精品文檔放心下載得到全等三角形。例一：如圖4-1：AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+C精品文檔放心下載F>EF。A證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接CM，EFMF。在△BDE和△CDM中，234BD=CD（中點定義）1CBD∠1=∠5（對頂角相等）ED=MD（輔助線作法）圖41M∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定義）∴∠3+∠2=90°即：∠EDF=90°∴∠FDM=∠EDF=90°在△EDF和△MDF中ED=MD（輔助線作法）,.∠EDF=∠FDM（已證）DF=DF（公共邊）∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF=MF（全等三角形對應邊相等）∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）感謝閱讀∴BE+CF>EF上題也可加倍FD，證法同上。注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構感謝閱讀造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。感謝閱讀分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去謝謝閱讀證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE感謝閱讀A∵AD為△ABC的中線（已知）∴BD=CD（中線定義）DB在△ACD和△EBD中BD=CD（已證）E∠1=∠2（對頂角相等）圖51AD=ED（輔助線作法）∴△ACD≌△EBD（SAS）

C,.∴BE=CA（全等三角形對應邊相等）∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）感謝閱讀∴AB+AC>2AD。練習：如圖，AB=6，AC=8，D為BC的中點，求AD的取值范圍。謝謝閱讀A6 8B D C2 如圖，AB=CD，E為BC的中點，∠BAC=∠BCA，求證：AD=2AE。感謝閱讀AB E C D3 如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點，∠BAC=∠DAE=90°。求證：精品文檔放心下載AM⊥DC。AB M CD D EDD,.4，已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。感謝閱讀EFAB D C圖5 25．已知：如圖AD為△ABC的中線，AE=EF，求證：BF=ACA精品文檔放心下載EF五全等三角形輔助線BDC找全等三角形的方法：（1）可以從結論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可精品文檔放心下載能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；謝謝閱讀（3）從條件和結論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；謝謝閱讀（4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。感謝閱讀三角形中常見輔助線的作法：①延長中線構造全等三角形；②利用翻折，構造全等三角形；,.③引平行線構造全等三角形；④作連線構造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”．感謝閱讀遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”．感謝閱讀遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理．謝謝閱讀過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”感謝閱讀截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．感謝閱讀特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．謝謝閱讀（一）、倍長中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是謝謝閱讀A_________.B D C,.2：如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比感謝閱讀較BE+CF與EF的大小. AEFB D C3：如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BA感謝閱讀E.AB D E C中考應用（09崇文二模）以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和精品文檔放心下載等腰RtACE，BADCAE90,連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探感謝閱讀究：AM與DE的位置關系及數量關系．（1）如圖①當ABC為直角三角形時，AM與DE的位置關系是精品文檔放心下載，線段AM與DE的數量關系是 ；（2）將圖①中的等腰RtABD繞點A沿逆時針方向旋轉(0<<90)后，感謝閱讀如圖②所示，（1）問中得到的兩個結論是否發(fā)生改變？并說明理由．謝謝閱讀,.（二）、截長補短1.如圖，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求證：CD⊥謝謝閱讀ACACBD2：如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,感謝閱讀

∠DBA，CD過點A

DE，求證;AB＝AC+BDEB C,.3：如圖，已知在VABC內，BAC600，C400，P，Q分別在BC，C謝謝閱讀A上，并且AP，BQ分別是BAC，ABC的角平分線。求證：BAQ+AQ=AB+BPBQPC4：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求證：謝謝閱讀AC1800 ADB C5:如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點，求證;AB-A感謝閱讀C＞PB-PCA12PBCD中考應用（08海淀一模）,.（三）、平移變換1.AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點，△ABC周長記為PA，△EBC周長記為PB.求證PB＞PA.謝謝閱讀2：如圖，在△ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+精品文檔放心下載AE.AB D E C（四）、借助角平分線造全等,.1：如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：精品文檔放心下載OE=OD AEOB CD2：（06鄭州市中考題）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分感謝閱讀BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，精品文檔放心下載AC=b，求AE、BE的長. AEB G CFD中考應用（06北京中考）如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對謝謝閱讀以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解謝謝閱讀答下列問題：（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠B感謝閱讀AC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的精品文檔放心下載數量關系；（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，謝謝閱讀B請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明MB理由。EFDEFDPOACAC圖①N圖③圖②(第23題圖),.（五）、旋轉1：正方形ABCD中，E為BC上的一點，F為CD上的 一點，BE感謝閱讀A D+DF=EF，求∠EAF的度數.FB E C2：D為等腰RtABC斜邊AB的中點，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。謝謝閱讀（1） 當MDN繞點D轉動時，求證DE=DF。謝謝閱讀B（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積。AEM C F AN,.如圖，ABC是邊長為3的等邊三角形，BDC是等腰三角形，且精品文檔放心下載BDC1200，以D為頂點做一個600角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC精品文檔放心下載AMNB C于點N，連接MN，則AMN的周長為 ； D精品文檔放心下載中考應用（07佳木斯）已知四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，謝謝閱讀∠ABC120o，∠MBN60o，∠MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD，DC（或感謝閱讀它們的延長線）于E，F．當∠MBN繞B點旋轉到AECF時（如圖1），易證AECFEF．謝謝閱讀當∠MBN繞B點旋轉到AECF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結精品文檔放心下載論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的謝謝閱讀數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．A A AB E M B E M BC F D C F D F C DN N N E（西城09年一模）已知:PA= 2,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、謝謝閱讀M（圖1） （圖2） （圖3）D兩點落在直線AB的兩側.(1)如圖,當∠APB=45°時,求AB及PD的長;謝謝閱讀(2)當∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應∠APB的大小.謝謝閱讀,.（09崇文一模）在等邊ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、感謝閱讀N，D為VABC外一點，且MDN60,BDC120,BD=DC.探究：當M、N感謝閱讀分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系及AMN的周感謝閱讀長Q與等邊ABC的周長L的關系．圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN謝謝閱讀之間的數量關系是

；此時QL

；（II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜想（I）問的精品文檔放心下載兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（III）如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，精品文檔放心下載若AN=x，則Q= （用x、L表示）．精品文檔放心下載,.六梯形的輔助線口訣：梯形問題巧轉換，變?yōu)椤骱汀?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。謝謝閱讀通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的基本思路。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。常見的幾種輔助線的作法如下：謝謝閱讀作法圖形平移腰，轉化為三角形、平行四邊形。B平移對角線。轉化為三角形、平行四邊形。B延長兩腰，轉化為三角形。B作高，轉化為直角三角形和矩B形。

A DCEA DC EEA DCDEFC中位線與腰中點連線。

,.A DEB CF（一）、平移1、平移一腰：例1.如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°， AB謝謝閱讀∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的長. D C精品文檔放心下載解：過點D作DE∥BC交AB于點E.又AB∥CD，所以四邊形BCDE是平行四邊形.感謝閱讀所以DE＝BC＝17，CD＝BE.

A BD C在R△DAE中，由勾股定理，得tAE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.ABE所以AE＝8.所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.CD＝8.2如圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范圍。謝謝閱讀解：過點B作BM//AD交CD于點M，感謝閱讀在△BCM中，BM=AD=4，,.CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范圍是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。2、平移兩腰：3如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、謝謝閱讀F分別是AD、BC的中點，連接EF，求EF的長。謝謝閱讀解：過點E分別作AB、CD的平行線，交BC于點G、H，可得感謝閱讀∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°則△EGH是直角三角形因為E、F分別是AD、BC的中點，容易證得F是GH的中點精品文檔放心下載所以EF12GH12(BCBGCH)精品文檔放心下載12(BCAEDE)12[BC(AEDE)]精品文檔放心下載12(BCAD)12(31)1謝謝閱讀3、平移對角線：4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，感謝閱讀求梯形ABCD的面積．解：如圖，作DE∥AC，交BC的延長線于E點．精品文檔放心下載∵AD∥BC ∴四邊形ACED是平行四邊形A D∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4謝謝閱讀B H C E,.∵在△DBE中，BD=3，DE=4，BE=5∴∠BDE=90°．DH⊥BC于H，則DHBDED12精品文檔放心下載BE5512S(ADBC)DH56．梯形ABCD225如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=52，精品文檔放心下載求證：AC⊥BD。解：過點C作BD的平行線交AD的延長線于點E，易得四邊形BCED是平行四邊形，感謝閱讀DE=BC，CE=BD=52，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=52，所以在△ACE中，AC2CE2(52)2(52)2100AE2，從而AC⊥CE，于是AC⊥BD。6如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。精品文檔放心下載解：過點D作DE//AC，交BC的延長線于點E，謝謝閱讀,.則四邊形ACED是平行四邊形，SABDSACDSDCE。所以SS梯形ABCDDBE由勾股定理得EH DE2DH2 AC2DH2感謝閱讀1521229（cm）BHBD2DH220212216（cm）S1BEDH1(916)12150(cm2)所以DBE22，即梯形ABCD的面積150cm2。（二）、延長即延長兩腰相交于一點，可使梯形轉化為三角形。7如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的長。謝謝閱讀解：延長BA、CD交于點E。在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。所以∠E=50°，從而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EC－ED=5－2=3,.8.如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.精品文檔放心下載判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結論.D C解：四邊形ABCD是等腰梯形.A B證明：延長AD、BC相交于點E，如圖所示.∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，∴△DAB≌△CBA.∴∠DAB＝∠CBA.E∴EA＝EB.DC又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，AB∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.又AD不平行于BC，∴四邊形ABCD是等腰梯形.（三）、作對角線即通過作對角線，使梯形轉化為三角形。9如圖6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于點E，求證：AD=DE。感謝閱讀解：連結BD，AD//BC，得∠ADB=∠DBE；,.BC=CD，得∠DBC=∠BDC。所以∠ADB=∠BDE。又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。（四）、作梯形的高1、作一條高10如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對角線AC⊥BD，垂足為F，過點F作EF//AB，交AD于點E，求證：四邊形AB