Leslie模型(數(shù)學(xué)建模)

關(guān)于人口預(yù)測、控制及其他相關(guān)問題的研究1精選2021版課件2精選2021版課件關(guān)于建立人口增長模型,我們考慮了兩條主要思路:一.以微分方程為主要手段:二.以高等代數(shù)為主要手段:3精選2021版課件提出問題:我們首先考慮Malthus模型：x(t)為人口總數(shù)，r為自然增長率；于是可以得出：

x(t)=x0er(t-t0)4精選2021版課件改進的模型

設(shè)地球能容納的總?cè)藬?shù)為k，隨著人口的增長，出生率必然會下降，于是r與x存在著一定的關(guān)系?；谏鲜黾僭O(shè)，我們選擇一種簡單的函數(shù)。r(x)=r0(1-x/k)r0為特定的常數(shù)解得：

x(t)=k/[1+(k/x0-1)e-r(t-t0)]5精選2021版課件分析以上兩個模型：每個個體的出生率與死亡率是相同的。但實際上不同年齡的年的生育率與死亡率有很大的不同?；谶@種考慮，下面將建立一個人口按年齡分布的模型6精選2021版課件定義r表示年齡，函數(shù)F（r,t)為t時刻年齡小于r的人口總數(shù)，稱其為人口分布函數(shù)令p(r,t)=F/rp(r,t)為年齡密度函數(shù)則t時刻年齡處在[r,r+dr)的人口總數(shù)為p(r,t)dr設(shè)μ(r,t)為t時刻年齡為r的人的死亡率，t時刻年齡在[r,r+dr)單位時間死亡的人數(shù)為μ(r,t)p(r,t)dree浙江大學(xué)竺可楨學(xué)院多學(xué)科討論組7精選2021版課件分析：下面考慮從t到t+dt這一過程的人口變化：年齡處在[r,r+dr)到t+dt時刻活著的人的年齡變?yōu)閇r+dt,r+dr+dt)而這一時刻死亡的人數(shù)為μ(r,t)p(r,t)drdt則p(r,t)dr-p(r+dt,t+dt)dr=μ(r,t)p(r,t)drdtp/r+p/t=-μ(r,t)p(r,t)p(r,0)=p0(r)p(0,t)=f(t)eeee8精選2021版課件p0(r-t)ef(t-r)e在社會比較安定的情況下,死亡率大致與時間無關(guān).μ(r,t)=μ(r)p(r,t)=0≤t≤rt>r9精選2021版課件分析：1.當(dāng)t<r時，p(r,t)完全由年齡為r-t的人口的初始密度及這些人的死亡率決定。2.t>r時，p(r,t)完全由未來的生育狀況f(t-r)及死亡率決定。back10精選2021版課件兩個重要模型:KeyfitzLeslie11精選2021版課件一些定義:n為人類的年齡上限F(x)=x歲的婦女所生的嬰兒數(shù)/x歲的總?cè)丝跀?shù)S(x)=x歲人的存活率P(x)=初始時x歲的總?cè)丝跀?shù)Nt(x)=距離初始t年時x歲的總?cè)丝跀?shù)K=……P(0)P(1)P(n)I(t)=……Nt(0)Nt(1)Nt(n)12精選2021版課件數(shù)學(xué)表達:第一年新生兒的總數(shù):F(0)?P(0)+F(1)?P(1)+???+F(n)?P(n)第一年x歲人口總數(shù):N1(x)=S(x-1)?P(x-1)第一年末人口總數(shù):F(0)?P(0)+F(1)?P(1)+???+F(n)?P(n)+

S(0)?P(0)+S(1)?P(1)+???+S(n-1)?P(n-1)13精選2021版課件建立模型:構(gòu)造n+1階方陣M=F(0)F(1)F(2)???F(n)S(0)

S(1)S(2)

???S(n-1)那么I

(1)=MKI

(t)=MtKback14精選2021版課件考慮到在一段穩(wěn)定的時間段內(nèi):總的女性人口數(shù)比上總的男性人口數(shù)為一個近似為1的定值.為了更為確切地分析女性個體數(shù)量的分布對總?cè)丝跀?shù)的影響,我們單獨把女性人口數(shù)作為研究對象.另外在這個模型中我們還加上了人口遷移對起其總數(shù)的影響.15精選2021版課件一些定義:n為人類的年齡上限a(x)=x歲的婦女所生的嬰數(shù)/x歲的婦女總數(shù)b(x)=x歲人的存活率h(x)=x歲的婦女遷移數(shù)/x歲的婦女總數(shù)Nt(x)=距離初始t年時x歲的總?cè)丝跀?shù)K=I(0)I(t)=……Nt(0)Nt(1)Nt(n)H(t)=h(0)h(1)…..h(n)16精選2021版課件數(shù)學(xué)表達:第一年新生女嬰的總數(shù):a(0)?Nt(0)+a(1)?Nt(1)+???+a(n)?Nt(n)第一年x歲女性人口總數(shù):N1(x)=b(x-1)?Nt(x-1)-h(x-1)?b(x-1)?Nt(x-1)=(1-h(x-1))?b(x-1)?Nt(x-1)第一年末女性人口總數(shù):a(0)?Nt(0)+a(1)?Nt(1)+???+a(n)?Nt(n)+(1-h(0))?b(0)?Nt(0)+???+(1-h(n-1))?b(n-1)?Nt(n-1)17精選2021版課件建立模型:構(gòu)造n+1階方陣L=a(0)a(1)a(2)???a(n)b(0)

b(1)b(2)

???b(n-1)那么I

(1)=(L-H)K;I

(t)=(L-H)I

(t-1)I

(t)=(L-H)tK18精選2021版課件定理：Leslie矩陣具有唯一的正特征根1，與之對應(yīng)的特征向量為N=（1k/(P0P1…Pk-1),1k-1(P1…Pk-1),…,1/Pk-1,1)T19精選2021版課件A屬于1的特征向量N=n0..nk解線性方程組AN=1N

1k/(P0P1…Pk-1)

N=1k-1(P1…Pk-1)

1/Pk-1120精選2021版課件當(dāng)且僅當(dāng)1=1時，NjN，人口總量將趨于穩(wěn)定且各年齡人數(shù)在總?cè)丝跀?shù)中所占的比例也將趨于一個定值。在1固定的情況下，N只和Pi有關(guān)。Pi為i組人的存活率。在一定時期內(nèi)，它們基本上是一些常數(shù)，事實上人們只能通過控制bj的值來保證1=1。21精選2021版課件定理：若Leslie矩陣A的第一行中至少有兩個相鄰的bi>0則|i|<|1|且Nj/1jCN其中C為某一常數(shù)，由值bi，Pi及N0決定本定理的條件通常能夠得到滿足，故在j充分大時有Nj=C1jN，即各年齡組的人口比例總會趨于穩(wěn)定，且Nj+1=1Nj。若1>1，種群增大，1<1時，種群減小。22精選2021版課件記R=f1(1)=b0+P0b1+…+(P0…Pk-1)bk易見R即為女性一生所生女孩的平均值。有定理：1=1的充要條件為R=1但并非每一個均能活到足夠的年齡并生下R個女孩，每一婦女可生子女?dāng)?shù)可定為某一略大于2的數(shù)，稱為臨界生育率。據(jù)統(tǒng)計，中國婦女的臨界生育率為2.2左右。23精選2021版課件要實現(xiàn)對人口增長的控制只能采取降低人口出生率的辦法。記j時段I年齡組中女性所占的百分比為Ki（j）并設(shè)i1,…,i2為育齡年齡組，則j時段新生兒總數(shù)為

N(0,j+1)=bi(j)Ki(j)N(i,j)N(i,j+1)=Pi-1N(i-1,j)i=1,…,m目前我國人口中中年青人的比例很大，加上計劃生育降低出生率，必然造成若干年后社會人口的嚴重老齡化，待這一代人越出m組后，又會使人口迅速青年化而走向另一個極端。24精選2021版課件為減少這種年齡結(jié)構(gòu)上的振蕩，人們又引入了一個控制變量h(i,j),使bi(j)=h(i,j)

且h(i,j)=1h(i,j)稱為女性的生育模式，用來調(diào)整育齡婦女在不同年齡組內(nèi)生育率的高低。為簡便可通過控制結(jié)婚年齡和兩胎之間的年齡差來接近h(i,j)的理想值。于是Leslie模型可以如下形式上的改變：

Nj+1=[A(j)+B(j)]Nj25精選2021版課件

0………0

P0(j)A(j)=0

00Pm-1(j)0其中

0…b`i1(j)…b`i2(j)0…0B(j)=0………………00………………0

26精選2021版課件b`i(j)=(j)h(i,j)Ki(j)在一定時期內(nèi)，Pi(j),(I=0,…,m-1),(j),h(i,j)和Ki(j)可視為與j無關(guān)的常數(shù)，從而在這一時期內(nèi)A(j),B(j)取常數(shù)矩陣A,B。27精選2021版課件控制論模型常采取一些評價函數(shù)來評判控制模型的效果，對于人口模型，可類似連續(xù)型模型，引入以下一些人口指數(shù)：(1)人口總量不妨以N(j)記j時段的人口總量，N(j)=N(i,j).(2)平均年齡y(j)=(1/N(j))iN(i,j).(3)平均壽命Q(j)=exp[-(1-Pi(j))],其中(1-Pi(j))為j時段i組人的死亡率。(4)p社會人口老齡化指數(shù)w(j)=y(j)/Q(j