二級倒立擺數學模型的建立

二級倒立擺數學模型的建立專業(yè)：自研-09姓名：劉文珍學號：2009Y01310126一、二級倒立擺系統(tǒng)的組成二級倒立擺主要由以下四部分組成:.在有限長的軌道L上作直線運動的小車；.與小車鉸接在一起，并能在豎直平面內分別繞q,q點轉動的下、上擺；.驅動小車的直流力矩電機和轉輪、鋼絲等傳動部分;.使上、下擺穩(wěn)定在垂直向上的平衡位置，且使小車穩(wěn)定在軌道中心位置附近的控制器。二級倒立擺的結構簡圖如圖1的監(jiān)督管理功能，如實時畫面，數據采集等;數據采集卡安裝在計算機內，用完成模/數、數/模轉換;功率放大器用于電壓和功率放大;電機是系統(tǒng)的執(zhí)行元件;電位計是系統(tǒng)的測量元件，它分別檢測小車相對于軌道中心點的相對位置、下擺相對于鉛垂線的角位移、上擺相對于下擺延長線方向的角位移。圖1倒立擺系統(tǒng)的計算機控制系統(tǒng)二級倒立擺系統(tǒng)的整套機械部件安裝在一個鋼架上，上面固定著導軌、電機底座和轉輪等裝置。通過導軌支架安裝好小車滑行的導軌，小車用電機和轉輪通過傳動鋼絲實現運動。2、結構參數通過實際物理測量，得到二級倒立擺系統(tǒng)的參數如下:小車的等效質量:M=1.0kg;小車與軌道間的滑動摩擦系數：8=5.0kg∕s;下擺的質量:m=0.1481kg;下擺半長:l=0.18m;1下擺繞其重心的轉動慣量:j1=kgm2;上擺質量:m=0.0998kg;2上擺半長:l2=0.24m;上擺繞其重心的轉動慣量:j=kgm2;2上、下擺重心之間的距離:L=0.29m;1上、下擺之間的轉動摩擦系數:F=0.0lkgm2∕s;2下擺和小車之間的轉動摩擦系數:F=kgm2s;1電機及功率放大器的增益K=15Nt∕Mu3、Lagrange方程介紹「 1d ST ST SV SDLgarnage方程為-^ - + +——=F(i=1,2,...,k)(1-1)dt sq sqι sqι sq. qi? 1J i式中T一系統(tǒng)的動能函數，q，q，—Lganarge變量，分別成為廣義坐標和廣義速度1Qi—作用于系統(tǒng)上的廣義力SVQi=-——+F(i=1,2,...,k)，(1-2)Sqqi1式中：V一系統(tǒng)的勢能函數-IK—有勢力的廣義力Sq1F—非有勢力的廣義力qiST將式(2-2)代入式(2-1)得-dt一二+或Sq Sq11=F(i=1,2,...,k)qiSqI1√二、二級倒立擺數學模型的推導二級倒立擺是一個多變量、快速、非線性、強禍合、和絕對不穩(wěn)定的系統(tǒng)，為了簡化建立數學模型的過程，我們做了以下假設:1.上擺、下擺都是一個均勻的剛體;2.力矩電機的輸出驅動力與其輸入電壓成正比，且無滯后地直接作用在小車上;3.車與軌道間的摩擦力僅與小車的速度成正比，下擺與車絞接處的摩擦力僅與擺的角速度成正比，上、下擺絞接處的摩擦力僅與擺的角速度成正比;4.忽略電機的電感;5.忽略鋼絲的彈性。在以上假設前提下，我們采用分析力學中的Lganarge方程來建立系統(tǒng)的數學模型。令:為水平導軌運動的位移，拭、氏分別為下擺和上擺偏移豎直方向的角度。由于系統(tǒng)存在著摩擦力，屬于一個耗散系統(tǒng)，因此式(2-3)部分應該加上耗能部分，對于同時受到保守力和耗散力作用的倒立擺系統(tǒng)的Lagrange方程為:tSTSTSV SD- + + SqI1Sq1 Sq1 Sq.i=F(i=1,2,...,k)qi式中：q一廣義坐標，即r、θ、θi 12F一非有勢廣義力，當q=r時，F=GU,U為控制量，G為增益常數，當qi i qi0 0q=θ、θ時，F=0i1 2 qiT、V、D—分別是系統(tǒng)的動能、勢能和消耗能T=XT、V=XV、D=ZD(1-5)ii ii=0 i=0 i=0式中：n一倒立擺的級數，這里n=2T—小車和各級倒擺的動能iV一小車和各級倒擺的勢能iD一小車和各級倒擺的消耗能i—(r÷Lsinft+Z1sin^2)dt -÷一(LlCO+48S名)“

df - _--J2?^jf-tn2x[(r+∕1cos?1?+l2cos?2÷?)2+(A1SiIIq@+∕2sin%")[4=0匕=mlg?coSq1；二啊gx(4COS用+∕1cos^2)片產2=9式4一釬將上述各式T,V,D(i=0,1,2)代入式(2-4),得二級倒立擺的數學模型為iiiF.∏印+N(許凡胞同八仔尸GD國,(2-6)式中:M=KgKλ8SgK1CO雙KlUOSqK2Licos(-)AmCQSd;,

^Z1cos(?2-j91)N迪鳥,耳氏)=0_&sin小訴

月+月

KjSin(旦-即逐一瑪-K2Sina避-Kasin(?-Θi)-F26GoLiG3,綜2)=EIgSin用K2g3X∏e2KLM+m1+m7Kl二m?∕l+m2ZlK2=叫I2&=4+叫*+叫GK4=J2+附/；式(2-6)式是一個非線性向量微分方程?？紤]到系統(tǒng)工作時，是在平衡位置附近運動，可將式(2-6)在u=0的平衡位置r=Θ1=Θ2=r=θjθ2=0附近線性化，以線性化后的方程來代替式(2-6)的非線性向量微分方程。具體線性化是忽略二次以上的項(或因為Θ，Θ在±5。以內，故SinΘ≈Θ，12CoSΘ≈1)，可求出關于dr，dΘ，dΘ的線性化微分方程，而后將dr，dΘ，dΘ12 12改寫成r，Θ，Θ，便可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程。12根據物理模型的實測數據，可求得平衡點處的常數陣:V(OjO)≡1.2479

0.0556

0,024口.0556

0.015

口,00690.D240.00690.0077[0 。 0"Λγ(0,010,Q)='00-5476 0[θD0,2359」G(wp?<η=0K利用Matlab中的求逆命令，可以解得M-1（0,0）陣0.9609 -3.7524.W1(OtO)≡-3,7524 12990.3978-105,99550.3978-105.99552252846所以，對式（2-6）進行線性化后，系統(tǒng)狀態(tài)方程為：，對于下擺有轉角θι時取上擺的相對角位移為θ2-4，故令故式（2-7）可改寫為定義狀態(tài)向量X為則由式（2-8）可得0?JL/ 22τ÷OM式中;%=%MT(O⑼爾4?--餐 ,尸((√?&呵T七;?2-ζ?r-1(o.o)a將物理模型的實測參數代入式（2-9），得到二級倒立擺的系數矩陣為A=O0O]UUOOOQ1Q0DOOO10-1,960.094-4.800.004-0,004口4&12-25.0118.76-0,130.24&-5Lor78J6-20.750.24-0,57OOO14.4137-56.286462.2532由此可知，二級倒立擺系統(tǒng)的數學模型為X=Ax+Bu<y=Cx式中：A=000000000000000000B=000C=100000010000001000系統(tǒng)狀態(tài)圖：首先，使用MATLAB，判斷系統(tǒng)的能控性矩陣是否為滿秩。程序如下：A=[000100;000010;000001;0 ;0 ;0 ];B=[000 ];B1=B';C=[100000;010000;001000];rct=rank(ctrb(A,B1))計算結果為：rct=6根據判別系統(tǒng)能控性的定理，該系統(tǒng)的能控性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能控的。因為系統(tǒng)是能控的，所以，可以通過狀態(tài)反饋來任意配置極點。不失一般性，不妨將極點配置在s1=-6,s2=,s3=-7,s4=,s5=-8,s6=在MATLAB中輸入程序：A=[000100;000010;000001;0 ;0 ;0 ];B=[000 ];B1=B';P=[-6-6.5-7-7.5-8];K=place(A,B1,P)計算結果為：K=因此，求出狀態(tài)反饋矩陣為K=采用MATLAB/Simulink構造二級倒立擺狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的仿真模型，如下圖所示。Gaiπ3三、狀態(tài)觀測器實現狀態(tài)反饋極點配置及其仿真首先，使用MATLAB，判斷系統(tǒng)的能觀性矩陣是否為滿秩。輸入以下程序A=[000100;000010;000001;0 ;0 ;0 ];B=[000 ];B1=B';C=[100000;010000;001000];rob=rank(obsv(A,C))rob=6因為該系統(tǒng)的能觀測性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能觀測的。因為系統(tǒng)是能觀測的，所以，可以設計狀態(tài)觀測器。而系統(tǒng)又是能控的，因此可以通過狀態(tài)觀測器實現狀態(tài)反饋。設計狀態(tài)觀測器矩陣，使的特征值的實部均為負，且其絕對值要大于狀態(tài)反饋所配置極點的絕對值。通過仿真發(fā)現，這樣才能保證狀態(tài)觀測器有足夠快的收斂速度，才能夠保證使用狀態(tài)觀測器所觀測到的狀態(tài)與原系統(tǒng)的狀態(tài)充分接近。不妨取狀態(tài)觀測器的特征值為：si=—20,S2=—21,S3=—22,S4=—23,S5=-24,S6=—25。輸入以下命令：A=[000100;000010;000001;0 ;0 ;0 ];A1=A';C=[100000;010000;001000];C1=C';P=[-20-21-22-23-24-25];G1=place(A1,C1,P);G=G1'求出狀態(tài)觀測器矩陣為：G=采用