2022-2023學(xué)年陜西省西安市雁塔區(qū)唐南中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共32.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知中，角，，的對邊分別為，，，，，，則()

A.B.C.D.或

2.已知，，若，則()

A.B.C.D.

3.已知平面向量，滿足，與的夾角為，若，則()

A.B.C.D.

4.設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列命題正確的()

A.若、，則B.若、，則

C.若、，則D.若、，則

5.如圖，向量，，，則向量可以表示為()

A.B.C.D.

6.設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為()

A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形D.銳角三角形

7.古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的重差是中國最早的一部測量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，現(xiàn)根據(jù)劉徽的重差測景一個球體建筑物的高度，已知點是球體建筑物與水平地面的接觸點切點，地面上，兩點與點在一條直線上，且在點的同側(cè)，若在，處分別測得球體建筑物的最大仰角為和，且，則該球體建筑物的高度約為()

A.B.C.D.

8.在正四面體中，，，側(cè)棱，，的中點，下列說法不正確的是()

A.面B.面面

C.面面D.面

二、多選題（本大題共4小題，共16.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下面關(guān)于空間幾何體的表述，正確的是()

A.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形

B.直角三角形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體是圓錐

C.正四棱柱一定是長方體

D.用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺

10.對于任意的平面向量，，，下列說法錯誤的是()

A.若且，則

B.

C.若，且，則

D.

11.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，下列說法正確的是()

A.若，則

B.是的充要條件

C.若，，，則解此三角形必有兩解

D.若是銳角三角形，則

12.九章算術(shù)中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”，四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖在塹堵中，，且下列說法正確的是()

A.四棱錐為“陽馬”

B.四面體為“鱉臑”

C.為線段上的動點，則與所成角的大小恒為

D.過點分別作于點，于點，則

三、填空題（本大題共4小題，共16.0分）

13.已知兩點，，點在直線上，且，則點的坐標(biāo)為______．

14.如圖所示，是利用斜二測畫法畫出的的直觀圖，已知軸，，且的面積為，過作軸，則的長為______．

15.在中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且，，成等比數(shù)列若，，則的外接圓面積為______．

16.平行四邊形中，，，，點在邊上，則的取值范圍是______．

四、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知向量，，．

若向量與共線，求的值；

若，求的值．

18.本小題分

已知在中，，，分別是角，，所對的邊且，，求的面積．

19.本小題分

如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，、分別是、的中點．

求證：平面；

求證：平面平面．

20.本小題分

如圖，在直角中，點為斜邊的靠近點的三等分點，點為的中點，，．

用，表示和；

求向量與夾角的余弦值．

21.本小題分

如圖，在正方體中，、分別是、的中點．

證明：是梯形；

求異面直線與所成角．

22.本小題分

在銳角中，角、、的對邊分別為、、，若，．

求角的大小和邊長的值；

求面積的最大值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因為，，，

所以由正弦定理可得，

所以或，

因為，

所以，

所以．

故選：．

運(yùn)用正弦定理，結(jié)合三角形大邊對大角的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：，，，

，，

故選：．

由題意，利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，計算求得的值．

本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：由題意，

可得，，

即，

，

解得．

故選：．

本題根據(jù)平面向量的數(shù)量積基本公式結(jié)合題干已知條件進(jìn)行代入即可推導(dǎo)出的值，得到正確選項．

本題主要考查平面向量的數(shù)量積基本公式的運(yùn)用．考查了方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：若、，則或，故A錯誤；

若、，則，故B正確；

若、，則或與異面，故C錯誤；

若、，則或或與相交，相交也不一定垂直，故D錯誤．

故選：．

由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐一分析四個選項得答案．

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】

【分析】

通過向量的加法減法的運(yùn)算法則，表示出結(jié)果即可．

本題考查向量的基本運(yùn)算，考查計算能力．

【解答】

解：如圖，

向量，，，則向量，

．

故選：．

6.【答案】

【解析】解：由得，

由二倍角公式可得或，，

由于在，，，所以或，

故為等腰三角形或直角三角形．

故選：．

根據(jù)正弦定理邊角互化可得，進(jìn)而由三角函數(shù)的性質(zhì)求解．

本題主要考查了正弦定理，二倍角公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．

7.【答案】

【解析】解：設(shè)球的截面圓心為，連接，，設(shè)球的截面圓的半徑為，

由圓的切線的性質(zhì)可得：，，

則，，

所以，可得，

即，

又因為，

，

所以，

所以，

所以球的直徑．

故選：．

由圓的切線的性質(zhì)可得，的大小，由題意可得的大小，進(jìn)而求出球的高度．

本題考查圓的切線的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：由，可得平面，故A正確．

由平面可得，，且垂直與交點和點邊線，

從而平面平面，平面平面，故B錯誤．

由平面可得，平面平面，故C正確．

若平面，垂足為，

則在上，則，又

故DF平面，故D正確．

故選：．

正四面體即正三棱錐，所以其四個面都是正三角形，在正三角形中，聯(lián)系選項B、、中有證明到垂直關(guān)系，應(yīng)該聯(lián)想到“三線合一”，，分別是，，的中點，由中位線定理可得，所以平面，進(jìn)而可得答案．

本小題考查空間中的線面關(guān)系，正三角形中“三線合一”，中位線定理等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和思維能力．

9.【答案】

【解析】解：對于：棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行，故A正確；

對于：只有以直角邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)才能得到圓錐，以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的是兩個圓錐的組合體，故B錯誤；

對于：正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱，所以必然是長方體，故C正確；

對于：只有截面與底面平行時，截面與底面之間的部分才是棱臺，故D錯誤．

故選：．

用簡單幾何體的定義及特征去逐個判斷即可．

本題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：且，當(dāng)為零向量時，則與不一定共線，即A錯誤，

由向量乘法的分配律可得：，即B正確，

因為，則，又，則或，即C錯誤，

取為非零向量，且與垂直，與不垂直，則，，即D錯誤，

故選：．

平面向量共線的傳遞性可得A錯誤，由向量乘法的分配律可得B正確，由向量垂直的運(yùn)算可得，D錯誤，得解．

本題考查了平面向量共線的傳遞性、向量乘法的分配律，向量垂直的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：對選項，，

根據(jù)正弦定理可得：，

即，，不能得到，選項錯誤；

對選項，，

又根據(jù)正弦定理可得，

，選項正確；

對選項，，，，

又根據(jù)正弦定理可得，

，，，

此三角形只有一解，選項錯誤；

對選項，是銳角三角形，

，又，，

，，

又在上單調(diào)遞增，

，，

，，

，選項正確．

故選：．

根據(jù)正弦定理，三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的單調(diào)性，即可分別求解．

本題考查解三角形問題，正弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，屬中檔題．

12.【答案】

【解析】解：對于選項A，四邊形為矩形，平面

四棱錐為“陽馬”，故A正確；

對于選項B，四面體中，C、、、都是直角三角形，

四面體為“鱉臑”，故B正確；

對于選項C，由“塹堵”的定義可知，平面，

，又，且，

平面，

為線段上的動點，平面，

，即與所成角的大小恒為，故C正確；

對于選項D，過點分別作于點，于點，

，，，

平面，又平面，，

，平面，，

，平面，

平面，，故D正確．

故選：．

A.利用“陽馬”定義直接判斷；利用“鱉臑”定義直接判斷；當(dāng)時，四棱錐體積；過點分別作于點，于點，推導(dǎo)出平面，從而平面，進(jìn)而是平面，由此得到B.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

13.【答案】

【解析】解：設(shè)，，

，

，解得，

．

故答案為：．

可設(shè)，根據(jù)，的坐標(biāo)及可得出，進(jìn)而得出，的值，從而得出點的坐標(biāo)．

本題考查了根據(jù)點的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)的方法，向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算，相等向量的坐標(biāo)關(guān)系，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：因為軸，所以的中，，又三角形的面積為，

所以，

所以如圖作于，

所以，

所以的長為：．

故答案為：．

利用面積公式，求出直觀圖的高，求出，然后求出的長．

本題考查平面圖形與直觀圖的關(guān)系，注意斜二測畫法中的線線關(guān)系以及角的關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題．

15.【答案】

【解析】解：根據(jù)正弦定理，有，

又因為，

所以，

從而有的外接圓半徑，面積為．

故答案為：．

根據(jù)正弦定理和余弦定理可求，故可求外接圓的半徑，從而可求圓的面積．

本題主要考查了余弦定理，正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．

16.【答案】

【解析】解：，，，

，，

且在平行四邊形中，，

，

建立以為原點的平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，

由題意設(shè)，

則，

，

，

，即的取值范圍是．

故答案為：．

根據(jù)，求出，從而建系，將用函數(shù)表示出來，即可得出答案．

本題考查平面向量的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：，，向量與共線，

，，

，

，

解得

【解析】本題考查向量共線、向量垂直、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．

由向量與共線，能求出．

先求出，再由，能求出．

18.【答案】解：因為且，，

所以，，

可得，

由正弦定理，可得，

所以的面積．

【解析】由題意利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，的值，利用兩角和的正弦公式可求的值，利用正弦定理可得的值，進(jìn)而利用三角形的面積公式即可求解．

本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦公式，正弦定理以及三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：如圖，連接，則是的中點，

又是的中點，．

又平面，平面，

平面．

是正方形，，

平面，平面，，

又，平面，平面．

又平面，

故平面平面．

【解析】本題主要考查直線和平面平行以及面面垂直的判定，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)線面平行的判定定理即可證明平面；

根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面平面．

20.【答案】解：以為原點，、所在直線分別為、軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則，，，，．

，，，，

設(shè)，則，解得，，

．

設(shè)，則，解得，，

．

由知，，．

，．

故向量與夾角的余弦值為．

【解析】本題考查平面向量的基本定理和數(shù)量積運(yùn)算，遇到規(guī)則圖形建立坐標(biāo)系，借助平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可簡化試題，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

以為原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，逐一寫出、、、、的坐標(biāo)；設(shè)，，可列出關(guān)于、、和的方程，解之即可；

由知，，，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解．

21.【答案】證明：連接，，

、分別是、的中點，

，，

在正方體中，

，且，

而，且，

，且，

四邊形為平行四邊形，

，且，

，，

是梯形；

解：，連接，，

即為異面直線與所成的角，

設(shè)正方體的邊長為，

則易得，

為等邊三角形，

，

故異面直線與所成的角為．

【解析】連接，，根據(jù)、分別是、的中點，得到，，又根據(jù)題意得到四邊形為平行四邊形，即可得證；

由，連接，，得到即為異面直線與所成的角，即可求解．

本題主要考查線面平行的判定與異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)