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第第頁2022-2023學(xué)年陜西省西安市雁塔區(qū)唐南中學(xué)高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷(含解析)2022-2023學(xué)年陜西省西安市雁塔區(qū)唐南中學(xué)高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷
一、單選題(本大題共8小題,共32.0分。在每小題列出的選項中,選出符合題目的一項)
1.已知中,角,,的對邊分別為,,,,,,則()
A.B.C.D.或
2.已知,,若,則()
A.B.C.D.
3.已知平面向量,滿足,與的夾角為,若,則()
A.B.C.D.
4.設(shè)、是兩條不同的直線,、是兩個不同的平面,則下列命題正確的()
A.若、,則B.若、,則
C.若、,則D.若、,則
5.如圖,向量,,,則向量可以表示為()
A.B.C.D.
6.設(shè)的內(nèi)角,,所對的邊分別為,,,若,則的形狀為()
A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形
C.直角三角形D.銳角三角形
7.古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的重差是中國最早的一部測量學(xué)著作,也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ),現(xiàn)根據(jù)劉徽的重差測景一個球體建筑物的高度,已知點是球體建筑物與水平地面的接觸點切點,地面上,兩點與點在一條直線上,且在點的同側(cè),若在,處分別測得球體建筑物的最大仰角為和,且,則該球體建筑物的高度約為()
A.B.C.D.
8.在正四面體中,,,側(cè)棱,,的中點,下列說法不正確的是()
A.面B.面面
C.面面D.面
二、多選題(本大題共4小題,共16.0分。在每小題有多項符合題目要求)
9.下面關(guān)于空間幾何體的表述,正確的是()
A.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形
B.直角三角形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體是圓錐
C.正四棱柱一定是長方體
D.用一個平面去截棱錐,底面和截面之間的部分叫做棱臺
10.對于任意的平面向量,,,下列說法錯誤的是()
A.若且,則
B.
C.若,且,則
D.
11.的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,下列說法正確的是()
A.若,則
B.是的充要條件
C.若,,,則解此三角形必有兩解
D.若是銳角三角形,則
12.九章算術(shù)中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”;底面為矩形,一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”,四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”,如圖在塹堵中,,且下列說法正確的是()
A.四棱錐為“陽馬”
B.四面體為“鱉臑”
C.為線段上的動點,則與所成角的大小恒為
D.過點分別作于點,于點,則
三、填空題(本大題共4小題,共16.0分)
13.已知兩點,,點在直線上,且,則點的坐標(biāo)為______.
14.如圖所示,是利用斜二測畫法畫出的的直觀圖,已知軸,,且的面積為,過作軸,則的長為______.
15.在中,,,分別為內(nèi)角,,的對邊,且,,成等比數(shù)列若,,則的外接圓面積為______.
16.平行四邊形中,,,,點在邊上,則的取值范圍是______.
四、解答題(本大題共6小題,共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17.本小題分
已知向量,,.
若向量與共線,求的值;
若,求的值.
18.本小題分
已知在中,,,分別是角,,所對的邊且,,求的面積.
19.本小題分
如圖,四棱錐的底面為正方形,底面,、分別是、的中點.
求證:平面;
求證:平面平面.
20.本小題分
如圖,在直角中,點為斜邊的靠近點的三等分點,點為的中點,,.
用,表示和;
求向量與夾角的余弦值.
21.本小題分
如圖,在正方體中,、分別是、的中點.
證明:是梯形;
求異面直線與所成角.
22.本小題分
在銳角中,角、、的對邊分別為、、,若,.
求角的大小和邊長的值;
求面積的最大值.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:因為,,,
所以由正弦定理可得,
所以或,
因為,
所以,
所以.
故選:.
運(yùn)用正弦定理,結(jié)合三角形大邊對大角的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
本題主要考查正弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
2.【答案】
【解析】解:,,,
,,
故選:.
由題意,利用兩個向量垂直的性質(zhì),兩個向量的數(shù)量積公式,兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則,計算求得的值.
本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì),兩個向量的數(shù)量積公式,兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則,屬于基礎(chǔ)題.
3.【答案】
【解析】解:由題意,
可得,,
即,
,
解得.
故選:.
本題根據(jù)平面向量的數(shù)量積基本公式結(jié)合題干已知條件進(jìn)行代入即可推導(dǎo)出的值,得到正確選項.
本題主要考查平面向量的數(shù)量積基本公式的運(yùn)用.考查了方程思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.
4.【答案】
【解析】解:若、,則或,故A錯誤;
若、,則,故B正確;
若、,則或與異面,故C錯誤;
若、,則或或與相交,相交也不一定垂直,故D錯誤.
故選:.
由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐一分析四個選項得答案.
本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定,考查空間想象能力與思維能力,是基礎(chǔ)題.
5.【答案】
【解析】
【分析】
通過向量的加法減法的運(yùn)算法則,表示出結(jié)果即可.
本題考查向量的基本運(yùn)算,考查計算能力.
【解答】
解:如圖,
向量,,,則向量,
.
故選:.
6.【答案】
【解析】解:由得,
由二倍角公式可得或,,
由于在,,,所以或,
故為等腰三角形或直角三角形.
故選:.
根據(jù)正弦定理邊角互化可得,進(jìn)而由三角函數(shù)的性質(zhì)求解.
本題主要考查了正弦定理,二倍角公式在求解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.
7.【答案】
【解析】解:設(shè)球的截面圓心為,連接,,設(shè)球的截面圓的半徑為,
由圓的切線的性質(zhì)可得:,,
則,,
所以,可得,
即,
又因為,
,
所以,
所以,
所以球的直徑.
故選:.
由圓的切線的性質(zhì)可得,的大小,由題意可得的大小,進(jìn)而求出球的高度.
本題考查圓的切線的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
8.【答案】
【解析】解:由,可得平面,故A正確.
由平面可得,,且垂直與交點和點邊線,
從而平面平面,平面平面,故B錯誤.
由平面可得,平面平面,故C正確.
若平面,垂足為,
則在上,則,又
故DF平面,故D正確.
故選:.
正四面體即正三棱錐,所以其四個面都是正三角形,在正三角形中,聯(lián)系選項B、、中有證明到垂直關(guān)系,應(yīng)該聯(lián)想到“三線合一”,,分別是,,的中點,由中位線定理可得,所以平面,進(jìn)而可得答案.
本小題考查空間中的線面關(guān)系,正三角形中“三線合一”,中位線定理等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力和思維能力.
9.【答案】
【解析】解:對于:棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行,故A正確;
對于:只有以直角邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)才能得到圓錐,以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的是兩個圓錐的組合體,故B錯誤;
對于:正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱,所以必然是長方體,故C正確;
對于:只有截面與底面平行時,截面與底面之間的部分才是棱臺,故D錯誤.
故選:.
用簡單幾何體的定義及特征去逐個判斷即可.
本題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,屬于基礎(chǔ)題.
10.【答案】
【解析】解:且,當(dāng)為零向量時,則與不一定共線,即A錯誤,
由向量乘法的分配律可得:,即B正確,
因為,則,又,則或,即C錯誤,
取為非零向量,且與垂直,與不垂直,則,,即D錯誤,
故選:.
平面向量共線的傳遞性可得A錯誤,由向量乘法的分配律可得B正確,由向量垂直的運(yùn)算可得,D錯誤,得解.
本題考查了平面向量共線的傳遞性、向量乘法的分配律,向量垂直的運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.
11.【答案】
【解析】解:對選項,,
根據(jù)正弦定理可得:,
即,,不能得到,選項錯誤;
對選項,,
又根據(jù)正弦定理可得,
,選項正確;
對選項,,,,
又根據(jù)正弦定理可得,
,,,
此三角形只有一解,選項錯誤;
對選項,是銳角三角形,
,又,,
,,
又在上單調(diào)遞增,
,,
,,
,選項正確.
故選:.
根據(jù)正弦定理,三角形的性質(zhì),三角函數(shù)的單調(diào)性,即可分別求解.
本題考查解三角形問題,正弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用,屬中檔題.
12.【答案】
【解析】解:對于選項A,四邊形為矩形,平面
四棱錐為“陽馬”,故A正確;
對于選項B,四面體中,C、、、都是直角三角形,
四面體為“鱉臑”,故B正確;
對于選項C,由“塹堵”的定義可知,平面,
,又,且,
平面,
為線段上的動點,平面,
,即與所成角的大小恒為,故C正確;
對于選項D,過點分別作于點,于點,
,,,
平面,又平面,,
,平面,,
,平面,
平面,,故D正確.
故選:.
A.利用“陽馬”定義直接判斷;利用“鱉臑”定義直接判斷;當(dāng)時,四棱錐體積;過點分別作于點,于點,推導(dǎo)出平面,從而平面,進(jìn)而是平面,由此得到B.
本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.
13.【答案】
【解析】解:設(shè),,
,
,解得,
.
故答案為:.
可設(shè),根據(jù),的坐標(biāo)及可得出,進(jìn)而得出,的值,從而得出點的坐標(biāo).
本題考查了根據(jù)點的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)的方法,向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算,相等向量的坐標(biāo)關(guān)系,考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.
14.【答案】
【解析】解:因為軸,所以的中,,又三角形的面積為,
所以,
所以如圖作于,
所以,
所以的長為:.
故答案為:.
利用面積公式,求出直觀圖的高,求出,然后求出的長.
本題考查平面圖形與直觀圖的關(guān)系,注意斜二測畫法中的線線關(guān)系以及角的關(guān)系,考查計算能力,屬于中檔題.
15.【答案】
【解析】解:根據(jù)正弦定理,有,
又因為,
所以,
從而有的外接圓半徑,面積為.
故答案為:.
根據(jù)正弦定理和余弦定理可求,故可求外接圓的半徑,從而可求圓的面積.
本題主要考查了余弦定理,正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.
16.【答案】
【解析】解:,,,
,,
且在平行四邊形中,,
,
建立以為原點的平面直角坐標(biāo)系,如圖所示:
則,
由題意設(shè),
則,
,
,
,即的取值范圍是.
故答案為:.
根據(jù),求出,從而建系,將用函數(shù)表示出來,即可得出答案.
本題考查平面向量的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.
17.【答案】解:,,向量與共線,
,,
,
,
解得
【解析】本題考查向量共線、向量垂直、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),是基礎(chǔ)題.
由向量與共線,能求出.
先求出,再由,能求出.
18.【答案】解:因為且,,
所以,,
可得,
由正弦定理,可得,
所以的面積.
【解析】由題意利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求,的值,利用兩角和的正弦公式可求的值,利用正弦定理可得的值,進(jìn)而利用三角形的面積公式即可求解.
本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,兩角和的正弦公式,正弦定理以及三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.
19.【答案】解:如圖,連接,則是的中點,
又是的中點,.
又平面,平面,
平面.
是正方形,,
平面,平面,,
又,平面,平面.
又平面,
故平面平面.
【解析】本題主要考查直線和平面平行以及面面垂直的判定,要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理,屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)線面平行的判定定理即可證明平面;
根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面平面.
20.【答案】解:以為原點,、所在直線分別為、軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,
則,,,,.
,,,,
設(shè),則,解得,,
.
設(shè),則,解得,,
.
由知,,.
,.
故向量與夾角的余弦值為.
【解析】本題考查平面向量的基本定理和數(shù)量積運(yùn)算,遇到規(guī)則圖形建立坐標(biāo)系,借助平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可簡化試題,考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.
以為原點,、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系,逐一寫出、、、、的坐標(biāo);設(shè),,可列出關(guān)于、、和的方程,解之即可;
由知,,,再根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.
21.【答案】證明:連接,,
、分別是、的中點,
,,
在正方體中,
,且,
而,且,
,且,
四邊形為平行四邊形,
,且,
,,
是梯形;
解:,連接,,
即為異面直線與所成的角,
設(shè)正方體的邊長為,
則易得,
為等邊三角形,
,
故異面直線與所成的角為.
【解析】連接,,根據(jù)、分別是、的中點,得到,,又根據(jù)題意得到四邊形為平行四邊形,即可得證;
由,連接,,得到即為異面直線與所成的角,即可求解.
本題主要考查線面平行的判定與異面直線所成的角,屬于基礎(chǔ)
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