2022年廣西壯族自治區(qū)玉林市小高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022年廣西壯族自治區(qū)玉林市小高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若，則的值為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D2.設(shè)集合，，若,則的值是

（

）

A．1 B．0

C．－1

D．1或－1參考答案：C3.我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱(chēng)為一對(duì)“相關(guān)曲線”．已知、是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，是它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，當(dāng)時(shí)，這一對(duì)相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是（）．

．

．

．參考答案：A設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸為，橢圓的離心率為，則.雙曲線的實(shí)半軸為，雙曲線的離心率為，.，則由余弦定理得，當(dāng)點(diǎn)看做是橢圓上的點(diǎn)時(shí),有，當(dāng)點(diǎn)看做是雙曲線上的點(diǎn)時(shí),有，兩式聯(lián)立消去得，即，所以，又因?yàn)?，所以，整理得，解得，所以，即雙曲線的離心率為，選A.4.如果直線與直線互相垂直，那么=（

）A.1

B.

C.

D.參考答案：D5.在三棱錐ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜邊上的高為1，三棱錐ABCD的外接球的直徑是AB，若該外接球的表面積為16π，則三棱錐ABCD體積的最大值為（）A． B． C．1 D．參考答案：D【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】當(dāng)AD⊥平面BCD時(shí)，以CB、CD、CA為棱構(gòu)造長(zhǎng)方體，此時(shí)三棱錐ABCD的外接球即該長(zhǎng)方體的外接球，其直徑為AB，由已知得當(dāng)a=b=時(shí)，AC=2，此時(shí)三棱錐ABCD體積為V=．由此排除A，B，C選項(xiàng)．【解答】解：當(dāng)AD⊥平面BCD時(shí)，以CB、CD、CA為棱構(gòu)造長(zhǎng)方體，此時(shí)三棱錐ABCD的外接球即該長(zhǎng)方體的外接球，其直徑為AB，∵該外接球的表面積為16π，∴AB=4，設(shè)BC=a，CD=b，∵在三棱錐ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜邊上的高為1，∴BD=，設(shè)Rt△BCD斜邊上的高為CE，則CE=1，由，得BD==ab，∵a＞0，b＞0，∴=ab≥，即ab≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，取等號(hào)，∴當(dāng)a=b=時(shí)，=2，解得AC=2，此時(shí)三棱錐ABCD體積為V===．由此排除A，B，C選項(xiàng)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．6.復(fù)數(shù)等于（

）A．0

B．

C．

D．參考答案：A略7.下列四個(gè)函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A．y=sin2x B．y=|cosx| C．y=﹣tanx D．參考答案：B【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)函數(shù)以π為最小正周期，y=cos的周期為=4π，可排除D．在區(qū)間上，2x∈（π，2π），y=sin2x沒(méi)有單調(diào)性，故排除A．在區(qū)間上，y=﹣tanx單調(diào)遞減，故排除C，故只有y=|cosx|滿(mǎn)足以π為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)，故選：B．8.設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）

A．－4

B．－4i

C．4

D．4i參考答案：A略9.設(shè)全集U={1，3，5，7}，集合M={1，}，{5，7}，則實(shí)數(shù)a的值為(A)

1

(B)

3

(C)

5

(D)

7參考答案：B因?yàn)?，所以，選B.10.已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，則（?UA）∪B為（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}參考答案：C考點(diǎn)： 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．

專(zhuān)題： 集合．分析： 由題意求出A的補(bǔ)集，然后求出（?UA）∪B．解答： 解：因?yàn)槿疷={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，則?UA={0，4}，（?UA）∪B={0，2，4}．故選C．點(diǎn)評(píng)： 本題考查集合的基本運(yùn)算，考查計(jì)算能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為Sn．若，則an=

．參考答案：【詳解】已知數(shù)列的前項(xiàng)和的關(guān)系，要求項(xiàng)，一般把已知中的用代換得，兩式相減得，又，，所以數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始成等比數(shù)列，因此其通項(xiàng)公式為．12.復(fù)數(shù)z=（i虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為．參考答案：【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【專(zhuān)題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】直接利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)目的地復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可．【解答】解：復(fù)數(shù)z==﹣i（1+i）=1﹣i，復(fù)數(shù)z=（i虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1，﹣1）到原點(diǎn)的距離為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，考查計(jì)算能力．13.(2009湖南卷理)在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)___(用數(shù)字作答)參考答案：7解析：由條件易知展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)分別是，即所求系數(shù)是14.若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)，且f(3)＝1，則f(x)＝__________.參考答案：log3x.略15.若命題“?x∈R，x2+2mx+m≤0”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．參考答案：（0，1）考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：本題先利用原命題是假命題，則命題的否定是真命題，得到一個(gè)恒成立問(wèn)題，再利用函數(shù)圖象的特征得到一元二次方程根的判別式小于或等于0，解不等式，得到本題結(jié)論．解：∵命題“?x∈R，使得x2+2mx+m≤0”，∴命題“?x∈R，使得x2+2mx+m≤0”的否定是“?x∈R，使得x2+2mx+m＞0”．∵命題“?x∈R，使得x2+2mx+m≤0”是假命題，∴命題“?x∈R，使得x2+2mx+m＞0”是真命題．∴方程x2+2mx+m=0的判別式：△=4m2﹣4m＜0．∴0＜m＜1．故答案為：（0，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題的否定、二次函數(shù)的圖象，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．16.已知向量，，其中||=2，||=1，且（+）⊥，則|﹣2|=．參考答案：2【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)（+）⊥得出（+）?=0，求出?的值，再計(jì)算從而求出|﹣2|．【解答】解：向量，中，||=2，||=1，且（+）⊥，∴（+）?=+?=0，∴?=﹣=﹣4，∴=﹣4?+4=4﹣4×（﹣4）+4×1=24，∴|﹣2|=2．故答案為：2．17.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S8=4a3，a9=﹣6，則a7=

．參考答案：﹣2考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：通過(guò)S8=4a3、a9=﹣6，計(jì)算即得結(jié)論．解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由S8=4a3，可得：8a1+=4（a1+2d），化簡(jiǎn)得：a1+5d=0，又∵a9=﹣6，∴a1+8d=﹣6，∴a1=10，d=﹣2，∴a7=a1+6d=10﹣12=﹣2，故答案為：﹣2．點(diǎn)評(píng)：本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：解：（1）由于，于是不等式即為所以，解得即原不等式的解集為（2）由設(shè)，則為一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，由時(shí)，恒成立得：，又且，∴

19.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大??；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．參考答案：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．解析：解法一：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．為正三角形，．正三棱柱中，平面平面，平面．連結(jié)，在正方形中，分別為的中點(diǎn)，，．在正方形中，，平面．（Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由（Ⅰ）得平面．，為二面角的平面角．在中，由等面積法可求得，又，．所以二面角的大小為．（Ⅲ）中，，．在正三棱柱中，到平面的距離為．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．由得，．點(diǎn)到平面的距離為．解法二：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．為正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，．，，，．平面．（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．，．，，令得為平面的一個(gè)法向量．由（Ⅰ）知平面，為平面的法向量．，．二面角的大小為．（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，

．

點(diǎn)到平面的距離．20.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)．求證：（1）BD1∥平面EAC；（2）平面EAC⊥平面AB1C．參考答案：【分析】（1）連接BD，交AC于O．連接EO，BD1．根據(jù)中位線可知BD1∥OE，又OE?平面EAC，BD1?平面EAC，根據(jù)線面平行的判定定理可知BD1∥平面EAC；（2）根據(jù)BB1⊥AC，BD⊥AC，BB1∩BD=B，滿(mǎn)足線面垂直的判定定理，則AC⊥平面BB1D1D，又BD1?平面BB1D1D則BD1⊥AC，同理BD1⊥AB1，從而B(niǎo)D1⊥平面AB1C．根據(jù)（1）可得BD1∥OE，從而EO⊥平面AB1C，又EO?平面EAC，根據(jù)面面垂直的判定定理可知平面EAC⊥平面AB1C．【解答】證明：（1）連接BD，交AC于O．連接EO，BD1．因?yàn)镋為DD1的中點(diǎn)，所以BD1∥OE．又OE?平面EAC，BD1?平面EAC，所以BD1∥平面EAC；（2）∵BB1⊥AC，BD⊥AC．BB1∩BD=B，BB1、BD在面BB1D1D內(nèi)∴AC⊥平面BB1D1D又BD1?平面BB1D1D∴BD1⊥AC．同理BD1⊥AB1，∴BD1⊥平面AB1C．由（1）得BD1∥OE，∴EO⊥平面AB1C．又EO?平面EAC，∴平面EAC⊥平面AB1C．21.設(shè)函數(shù)。（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍。參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，不等式為，所以

或

或，解得或。故不等式的解集為或。（2）因?yàn)椋ó?dāng)時(shí)等號(hào)成立），

所以

。由題意得，解得或。22.某食品公司為了解某種新品種食品