2 1幾類不同增長函數(shù)模型

函數(shù)模型及其應(yīng)用3.2.1

幾類不同增長的函數(shù)模型二我們知道，對數(shù)函數(shù)

y

=

log

a

x數(shù)函數(shù)

y

=

a

x

（a

>

1）與冪函數(shù)（a

>1），指y

=

xn

（n

>

0）在區(qū)間（0,+￥

）上都是增函數(shù)。從上述兩個例子可以看到，這三類函數(shù)的增長是有差異的。那么，這種差異的具體情況到底怎樣呢？函數(shù)為例進行探究。y

=

x

2

,

y

=

log

x2下面，我們不妨先以y

=2

x

,利用計算器或計算機，以一定的步長列出自變量與函數(shù)值的對應(yīng)表（表3-5），并在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出三個函數(shù)的圖象（圖3.2-4）。可以看到，雖然它們都是增函數(shù)，但它們的增長速度是不同的。表3-5圖3.2-4-420-21816141210864201

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11xyy=2^xy=x^2以2為底的對數(shù)學(xué)函數(shù)x0.20.611.41.82.22.633.4y

=

2

x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556y

=

x

20.040.3611.963.244.846.76911.56和 的圖象有兩個交點，和下面我們在更大的范圍內(nèi)，觀察的增長情況y

=

2xy

=

x

2x0246810121416y

=

2

x141664256102440961638465536y

=

x

204163664100144196256>有x時22，x

。2

x<

x

2從圖可以看到，y

=2xy

=x2這表明 與

2

x在自x

變2

量不同的區(qū)間有不同的大小關(guān)系，有時x01020304050607080y

=

2

x110241.E+061.E+091.E+121.E+151.E+181.E+211.E+24y

=

x

2010040090016002500360049006400但是,當(dāng)自變量x

要越來越大時，可以看到，

y

=2

x的圖象就像與x軸垂直一樣，2

x的值快速增長，比起x

2來，2

x幾乎有些微不足道，如圖3.2-6和表3-7所示。探究你能借助圖象，對的增長情況進行比較嗎？2和y

=log

xy

=

x2請在圖象上分別標(biāo)出使不等式成立的自變量x

的取值范圍2log

x

<

x

2

<

2

xlog

x

<

2

x

<

x

22x

?

(0,2)

¨

(4,+￥

)x

?

(

2 ,

4

)結(jié)論數(shù)（a

>1）和冪函一般地，對于指數(shù)函數(shù)y

=ax個x0

，當(dāng)x

>x0時，就會有ax的增長，因此總存在一>x。nx，由于a

的增長快于x

nxa

會小于y

=

xnxn上，無論n比a大多少，盡管在x

的一定變化范圍內(nèi)，（n

>0），通過探索可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間（0,+￥

），x

（

a

>1）和冪函同樣地，對于對數(shù)函數(shù)

y

=

log

a數(shù)y

=xn增長得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣，盡管在x

的一定變化范圍內(nèi)，log

a

x

可能會大于x

n0

0個x

，當(dāng)x

>

x

時，就會有alog

x

<。x

n（n

>0）,在區(qū)間（0,+￥

）上，隨著x

的增大，log

a

x但由于log

a

x

的增長慢于xn

的增長，因此總存在一數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上而。（n

和>1）y

=

log

a

x

（

a

>

1都）是增函綜上所述，

在區(qū)間（0,+￥

）

上，

盡

管

函

數(shù)。隨著x因此，總會存在一個x0

，當(dāng)x

>x0時，就有alog

x

<

xn

<

a

x、y

=

a（x

a

>1）y

=

xn的增大y，=ax（a

>1）

的增長速度越來越快，會（n

>1）

的增長速度，的增長速度則會越來越慢。超過并遠遠大于y

=xny

=

log

a

x

（

a

>

1）探究你能用同樣的方法，討論一下函數(shù)：、y

=

log

a

x

（0

<

a

<

1）減情況嗎？（n

<0）、y

=

xny

=

a

x

（0

<

a

<

1）在區(qū)間（0,+￥

）上的衰練習(xí)P119在同一個平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出下列函數(shù)的圖象，并比較它們的增長情況：（1）

y

=

0.1e

x

-