高考?jí)狠S題：導(dǎo)數(shù)題型及解題方法

高考?jí)狠S題：導(dǎo)數(shù)題型及解題方法一、切線問題題型1：求曲線$y=f(x)$在$x=x$處的切線方程。方法：$f'(x)$為在$x=x$處的切線的斜率。題型2：過點(diǎn)$(a,b)$的直線與曲線$y=f(x)$的相切問題。方法：設(shè)曲線$y=f(x)$的切點(diǎn)$(x,f(x))$，由$(x-a)f'(x)=f(x)-b$求出$x$，進(jìn)而解決相關(guān)問題。注意：曲線在某點(diǎn)處的切線若有則只有一條，曲線過某點(diǎn)的切線往往不止一條。例：已知函數(shù)$f(x)=x-3x^2$。（1）求曲線$y=f(x)$在點(diǎn)$x=2$處的切線方程；（答案：$9x-y-16=0$）（2）若過點(diǎn)$A(1,m)(m\neq-2)$可作曲線$y=f(x)$的三條切線，求實(shí)數(shù)$m$的取值范圍。（提示：設(shè)曲線$y=f(x)$上的切點(diǎn)$(x,f(x))$；建立$x,f(x)$的等式關(guān)系。將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于$x,m$的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根問題。答案：$m$的范圍是$(-3,-2)$）練習(xí)1：已知曲線$y=x-3x^2$。（1）求過點(diǎn)$(1,-3)$與曲線$y=x-3x^2$相切的直線方程。答案：$(3x+y=0)$或$(15x-4y-27=0)$（2）證明：過點(diǎn)$(-2,5)$與曲線$y=x-3x^2$相切的直線有三條。題型3：求兩個(gè)曲線$y=f(x)$、$y=g(x)$的公切線。方法：設(shè)曲線$y=f(x)$、$y=g(x)$的切點(diǎn)分別為$(x_1,f(x_1))$、$(x_2,f(x_2))$；建立$x_1,x_2$的等式關(guān)系，$(x_2-x_1)f'(x_1)=y_2-y_1$，$(x_2-x_1)f'(x_2)=y_2-y_1$；求出$x_1,x_2$，進(jìn)而求出切線方程。解決問題的方法是設(shè)切點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)求斜率，建立等式關(guān)系。例：求曲線$y=x$與曲線$y=2e^{lnx}$的公切線方程。（答案：$2e^x-y-e=0$）練習(xí)1：求曲線$y=x$與曲線$y=-(x-1)$的公切線方程。（答案：$2x-y-1=0$或$y=0$）2.設(shè)函數(shù)$f(x)=p(x-2)-2lnx$，$g(x)=x$，直線$l$與函數(shù)$f(x),g(x)$的圖象都相切，且與函數(shù)$f(x)$的圖象相切于$(1,0)$，求實(shí)數(shù)$p$的值。（答案：$p=1$或$3$）二、單調(diào)性問題題型1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是確定分類標(biāo)準(zhǔn)。分類的方法有以下幾種：1.在求極值點(diǎn)的過程中，未知數(shù)的系數(shù)與的關(guān)系不定而引起的分類；2.在求極值點(diǎn)的過程中，有無極值點(diǎn)引起的分類（涉及到二次方程問題時(shí)，△與的關(guān)系不定）；3.在求極值點(diǎn)的過程中，極值點(diǎn)的大小關(guān)系不定而引起的分類；4.在求極值點(diǎn)的過程中，極值點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系不定而引起分類等。需要注意的是，在分類時(shí)必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)，不遺漏。例如，已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{2}x-(a+1)\frac{x^2}{2}$，我們可以通過以下兩種分類方式來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1.利用極值點(diǎn)的大小關(guān)系分類，即先求出$f'(x)=\frac{1}{x}+x-(a+1)x=0$的根，然后比較相鄰極值點(diǎn)的大小關(guān)系，得到單調(diào)區(qū)間；2.利用極值點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系分類，即先求出$f'(x)=\frac{1}{x}+x-(a+1)x=0$的根，然后判斷這些根與區(qū)間$[2,e]$的關(guān)系，得到單調(diào)區(qū)間。另外，對(duì)于已知函數(shù)在某區(qū)間是單調(diào)的求參數(shù)范圍的問題，我們可以采用以下三種方法：1.研究導(dǎo)函數(shù)討論；2.轉(zhuǎn)化為$f(x)\geq$或$f(x)\leq$在給定區(qū)間上恒成立問題；3.利用子區(qū)間，即先求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集。需要注意的是，“函數(shù)$f(x)$在$(m,n)$上是減函數(shù)”與“函數(shù)$f(x)$的單調(diào)減區(qū)間是$(a,b)$”的區(qū)別是前者是后者的子集。對(duì)于極值、最值問題，我們可以采用以下基本思路：1.確定定義域；2.找出疑似極值點(diǎn)；3.確定單調(diào)區(qū)間；4.求出極值；5.求出最值。例如，對(duì)于函數(shù)$f(x)=e^x-(k+1)e^{-x}+kx$，我們可以先求出$f'(x)=e^x+(k+1)e^{-x}+k$，然后令$f'(x)=0$，解得$x=\ln\frac{k}{2}$，再根據(jù)單調(diào)性討論得到極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間，最后求出極值或最值。已知函數(shù)f(x)=x+mx+nx-2的圖像過點(diǎn)(-1,-6)，且函數(shù)g(x)=f'(x)+6x的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。若a>0，求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a-1,a+1)內(nèi)的極值。首先求出函數(shù)f(x)和g(x)的表達(dá)式：f(x)=x+mx+nx-2g(x)=f'(x)+6x=1+2mx+nx+6x由題意可知，g(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，即g(-x)=g(x)，代入表達(dá)式得到：1-2mx+nx-6x=1+2mx+nx+6x-4mx-12x=0mx+3x=0x(m+3)=0因?yàn)閍>0，所以a不可能等于-3，因此只有x=0，即f(x)的極值點(diǎn)對(duì)稱于y軸。接下來分別討論a<1，1≤a<3和a≥3的情況。當(dāng)a<1時(shí)，f(x)=x+mx+nx-2，對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=1+2mx+nx，令其等于0，得到極值點(diǎn)為x=-n/2m，代入f(x)得到極值為-2。因?yàn)?1<a<1，所以-a>1，即n/2m>1，所以x<-1或x>1，因此在區(qū)間(a-1,a+1)內(nèi)不存在極值。當(dāng)1≤a<3時(shí)，f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=1+2mx+nx，令其等于0，得到極值點(diǎn)為x=-n/2m，代入f(x)得到極值為-6。因?yàn)?<a<3，所以0<n/2m<1，所以-1<x<1，因此在區(qū)間(a-1,a+1)內(nèi)存在極小值-6，無極大值。當(dāng)a≥3時(shí)，f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=1+2mx+nx，令其等于0，得到極值點(diǎn)為x=-n/2m，代入f(x)得到極值為-2。因?yàn)閍≥3，所以n/2m≤0，所以x<-1或x>1，因此在區(qū)間(a-1,a+1)內(nèi)不存在極值。綜上所述，當(dāng)-a>1時(shí)，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a-1,a+1)內(nèi)無極值；當(dāng)-1≤a<1時(shí)，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a-1,a+1)內(nèi)有極大值-2，無極小值；當(dāng)1≤a<3時(shí)，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a-1,a+1)內(nèi)有極小值-6，無極大值；當(dāng)a≥3時(shí)，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a-1,a+1)內(nèi)無極值。1.對(duì)于給定的$m,n$和$\forallx_1,x_2\in(m,n)$，若$f(x_1)\geqg(x_2)$恒成立，則$f_{\max}\geqg_{\max}$。2.對(duì)于$x_1,x_2\in(m,n)$，在$(m,n)$上$f$為增函數(shù)。題型1：已知不等式恒成立，求系數(shù)范圍。方法：(1)分離法：求最值時(shí)，可能用羅比達(dá)法則；研究單調(diào)性時(shí)，或多次求導(dǎo)。(2)討論法：有的需要構(gòu)造函數(shù)。關(guān)鍵是確定討論標(biāo)準(zhǔn)。分類的方法：在求極值點(diǎn)的過程中，未知數(shù)的系數(shù)與常數(shù)的關(guān)系不定而引起的分類；有無極值點(diǎn)引起的分類（涉及到二次方程問題時(shí)，$\Delta$與系數(shù)的關(guān)系不定）；極值點(diǎn)的大小關(guān)系不定而而引起的分類；極值點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系不定而引起分類。分類必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)，不遺漏。(3)數(shù)形結(jié)合。(4)變更主元。解題思路：1.代特定值縮小范圍。2.化簡不等式。3.選擇方法（用討論法時(shí)，或構(gòu)造新函數(shù)）。方法：分離法。求最值時(shí)，可能用羅比達(dá)法則；研究單調(diào)性時(shí)，或多次求導(dǎo)。例如，對(duì)于函數(shù)$f(x)=e^{x-\lnx}+a$，在$x\in[1,e]$上$f(x)\geqe$恒成立，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。方法：分離$x^2$法，多次求導(dǎo)。答案：$a\in(-\infty,1]$。練習(xí)：設(shè)函數(shù)$f(x)=x(e-1)-ax$，若當(dāng)$x\geq1$時(shí)$f(x)\geq0$，求$a$的取值范圍。方法：分離法，用羅比達(dá)法則。答案：$a\in(-\infty,1]$。方法：討論法。有的需要構(gòu)造函數(shù)。關(guān)鍵是確定討論標(biāo)準(zhǔn)。分類的方法：在求極值點(diǎn)的過程中，未知數(shù)的系數(shù)與常數(shù)的關(guān)系不定而引起的分類；有無極值點(diǎn)引起的分類（涉及到二次方程問題時(shí)，$\Delta$與系數(shù)的關(guān)系不定）；極值點(diǎn)的大小關(guān)系不定而而引起的分類；極值點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系不定而引起分類。分類必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)，不遺漏。例如，設(shè)函數(shù)$f(x)=e^{-1}-x-ax$，若當(dāng)$x\geq0$時(shí)$f(x)\geq0$，求$a$的取值范圍。答案：$a\in(-\infty,1)$。練習(xí)：1.設(shè)函數(shù)$f(x)=1-e^{x^2}$，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍，使得$f(x)-ax$在$(-\infty,0]$上單調(diào)遞增。答案：$a\in\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]$。2.函數(shù)$f(x)=a\lnx-x$，當(dāng)$x\geqe$時(shí)，$f(x)\leq\frac{x}{2}$，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。答案：$a>\frac{1}{2}$。3.對(duì)于$\forallx>0$，有$ax(2-\lnx)\leq1$，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。答案：$a\in\left(\frac{1}{e},e^{-1}\right)$。3.已知函數(shù)$f(x)=x-\lnx$，$g(x)=-\frac{1}{1+a}$，$(a\in\mathbb{R})$。若在$[1,e]$上存在一點(diǎn)$x$，使得$xf(x)<g(x)$成立，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。（答案：$(-\infty,-2)\cup(\frac{1}{e}-1,\infty)$）解法：首先對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)變形，得到$\frac{f(x)}{g(x)}>-\frac{1}{x}$。然后將$f(x)$和$g(x)$分別看成兩個(gè)函數(shù)，其中$g(x)$的圖像為一條水平直線。接著利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，得到$f(x)$在$(0,1)$上單調(diào)遞減，在$(1,\infty)$上單調(diào)遞增，且在$x=e$處取到最小值$f(e)=e-1$。又因?yàn)?g(x)$是常數(shù)函數(shù)，沒有極值和最值。于是可以畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如下圖所示：圖中藍(lán)色曲線為$f(x)$的圖像，紅色直線為$g(x)$的圖像，綠色直線為$-\frac{1}{x}$的圖像。由于$\frac{f(x)}{g(x)}>-\frac{1}{x}$，因此藍(lán)色曲線必須在綠色直線上方或者與綠色直線相切。設(shè)相切點(diǎn)為$(x_0,y_0)$，則有：$$\frac{f(x_0)}{g(x_0)}=-\frac{1}{x_0}$$化簡得：$$x_0e^{x_0}=-(1+a)y_0$$由于$x_0\in[1,e]$，因此$x_0e^{x_0}\leqe^2$。同時(shí)，$y_0\leq-\frac{1}{1+a}$。代入上式得：$$-\frac{e^2}{1+a}\leqx_0y_0\leq-\frac{1}{1+a}$$因此，要使得不等式成立，必須有：$$-\frac{e^2}{1+a}<-\frac{1}{1+a}\quad\text{或}\quad-\frac{e^2}{1+a}>-\frac{1}{1+a}$$解得$a\in(-\infty,-2)\cup(\frac{1}{e}-1,\infty)$。4.已知$a\in\mathbb{R}$，函數(shù)$f(x)=2x-3(a+1)x+6ax$。若對(duì)于任意的$a\in[-3,0]$，$x_1,x_2\in[0,2]$，不等式$32m-am^2\geqf(x_1)-f(x_2)$恒成立，求實(shí)數(shù)$m$的取值范圍。（答案：$(5,\infty)$）解法：首先對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)變形，得到$f(x_1)-f(x_2)\leq32m-am^2$。然后將$f(x)$看成一個(gè)函數(shù)，得到$f(x)=2x-3(a+1)x+6ax=(3a-2)x^2+(6-3a)x$。接著利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，得到當(dāng)$a\in[-3,0]$時(shí)，$f(x)$在$[0,2]$上單調(diào)遞減，且在$x=1$處取到最大值$f(1)=3a-2$。于是可以列出式子：$$3a-2\leq32m-am^2$$將$a$的范圍代入上式得：$$-8\leq32m-m^2\leq2$$解得$m\in(5,\infty)$。x2e(1-x)=e(1-x)，設(shè)t(x)=e2x(1-x)，x∈R，t'(x)=e2x(1-2x)，當(dāng)x∈(-∞,1/2)，t'(x)>0；當(dāng)x∈(1/2,+∞)，t'(x)<0，故t(x)有最大值t(1/2)=1/e，所以，(a+1)b的最大值為2/e。(改寫)將原函數(shù)t(x)轉(zhuǎn)化為t(x)=e^(2x-x^2)，求導(dǎo)可得t'(x)=e^(2x-x^2)(1-2x)，當(dāng)x在(-∞,1/2)時(shí)，t'(x)大于0；當(dāng)x在(1/2,+∞)時(shí)，t'(x)小于0，因此t(x)在x=1/2處取得最大值t(1/2)=1/e，所以(a+1)b的最大值為2/e。設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)lnx，a∈R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e成立。（答案：a的取值范圍為[3e-2,2]）(改寫)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)lnx，a∈R，要求對(duì)于任意的x∈(0,3e]，都有f(x)≤4e成立，