力系簡化及平衡方程

力系簡化及平衡方程第1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)力系

空間力系

平面力系

平面一般力系

：各力的作用線都處于同一平面內(nèi)，它們既不完全匯交于一點，相互間也不全部平行。平面匯交力系：各力作用線全部匯交于一點。

平面平行力系：各力作用線全部平行。

空間一般力系

空間匯交力系

空間力偶系

2第2頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月§

4-1平面一般力系的簡化一、平面一般力系向一點簡化

建筑力學(xué)3第3頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

大?。?/p>

主矢

方向：

簡化中心(與簡化中心位置無關(guān))[因主矢等于各力的矢量和]（移動效應(yīng)）建筑力學(xué)4第4頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

大小：主矩MO

方向：方向規(guī)定+—

簡化中心：(與簡化中心有關(guān)) （因主矩等于各力對簡化中心取矩的代數(shù)和）（轉(zhuǎn)動效應(yīng)）建筑力學(xué)力系的主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。因而，對于主矩，必須指明簡化中心的位置，符號M0的下標表示簡化中心為O點。

5第5頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月簡化結(jié)果：主矢

，主矩MO

，下面分別討論。二、平面一般力系的簡化結(jié)果討論1、平面一般力系簡化為一個力偶的情形若，，表明作用于簡化中心O的力F1ˊ、F2‘、…Fn’相互平衡，因而相互抵消。但是，附加的力偶系并不平衡，可合成為一個合力偶，即為原力系的合力偶，力偶矩等于因為力偶對于平面內(nèi)任意一點的矩都相同，因此當力系合成為一個力偶時，主矩與簡化中心的位置無關(guān)。

建筑力學(xué)6第6頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)

（1）

,表明附加力偶系為一平衡力系，亦可撤去，那么一個作用在簡化中心O點的力與原力系等效。顯然，就是這個力系的合力，合力的作用線通過簡化中心O。合力矢等于力系的主矢，即（此時與簡化中心有關(guān)，換個簡化中心，主矩不為零）

2、平面一般力系簡化為一個合力的情形（2）

,則原力系與作用線過簡化中心的一個力和一個同平面的力偶等效，原力系可以繼續(xù)簡化為一個合力。如下圖所示7第7頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)合力的作用線應(yīng)在O點哪一側(cè)，須根據(jù)力對O點的矩的轉(zhuǎn)向與的轉(zhuǎn)向一致原則來確定。

8第8頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

合力矩定理：由于主矩而合力對O點的矩 ———合力矩定理由于簡化中心是任意選取的，故此式有普遍意義。即：平面一般力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩等于力系中各力對于同一點之矩的代數(shù)和。建筑力學(xué)9第9頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3、平面一般力系平衡的情形建筑力學(xué)若

，時，這表明原力系與兩個平衡力系等效，即原力系既不能使物體有移動效應(yīng)，又不能使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)，所以物體平衡，故原力系為平衡力系。總結(jié)平面一般力系的最后簡化結(jié)果，當時，原力系要么平衡，要么是一個力偶；當時，不論主矩是否為零，原力系合成結(jié)果都是一個力。平面一般力系的最后簡化結(jié)果與簡化中心的位置無關(guān)，因為最后簡化結(jié)果為：要么是平衡、要么是一個力偶、要么是一個力，三者必居其一。這三種結(jié)果與簡化中心的位置都無關(guān)

10第10頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]重力壩受力如圖所示，設(shè)W1=450kN，W2=200kN，F(xiàn)P1=300kN，F(xiàn)P2=70kN，求力系的合力的大小和方向，及合力與基線OA的交點到點O的距離x.建筑力學(xué)11第11頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)解：<1>以O(shè)為坐標原點，建立坐標系Oxy，將力系向O點簡化，主矢在X、Y軸上的投影為：12第12頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)13第13頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)在哪個象限由與的正負來判定。因為為正，為負，故在第四象限內(nèi)，與X軸夾角為70.830。（如圖）14第14頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)<2>因為，所以原力系合成結(jié)果是一個合力。合力大小和方向與主矢相同，因為M0為負值，合力對O點的矩也應(yīng)該為負值，故合力的作用線必在O點的右側(cè)，如圖4-4所示。合力的作用線與基線的交點到點O的距離x，可根據(jù)合力矩定理求得。即15第15頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月§

4-2平面一般力系的平衡方程及其應(yīng)用平面一般力系平衡的必要和充分條件：力系的主矢和力系對于任一點的矩都等于零，即建筑力學(xué)1.平衡方程的基本形式由此平衡條件可導(dǎo)出不同形式的平衡方程。16第16頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)由此可得結(jié)論，平面一般力系平衡的解析條件是：所有各力在兩個任選的坐標軸上的投影的代數(shù)和都等于零；力系中所有各力對任一點的力矩的代數(shù)和等于零。需要指出的是，上述平衡方程是相互獨立的，用來求解平面一般力系的平衡問題時，能且最多只能求解三個未知量。為了避免求解聯(lián)立方程，應(yīng)使所選的坐標軸盡量垂直于未知力，所選矩心盡量位于兩個未知力的交點（可在研究對象之外）上。此外，列平衡方程時，既可先列投影方程，也可先列力矩方程?？傊瑧?yīng)盡量使每一方程式中只含一個未知量，以便簡化計算。17第17頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]已知：P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m 求：A、B的支反力。解：研究AB梁解得：建筑力學(xué)18第18頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)[例]如圖所示一鋼筋混凝土剛架的計算簡圖，其左側(cè)面受到一水平推力P=5KN的作用。剛架頂上有均布荷載，荷載集度為q=22KN/m，剛架自重不計，尺寸如圖所示，試求A、B處的支座反力。解：研究鋼架由解得：19第19頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)2.平衡方程的二矩式（A與B兩點的連線不垂直于x軸）

3.平衡方程的三矩式（A、B、C三點不共線）

20第20頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)應(yīng)用平面一般力系的平衡方程求解平衡問題的解題步驟如下：（1）確定研究對象根據(jù)題意分析已知量和未知量，未知量要用已知量來表示，所以研究對象上一定要有已知量，選取適當?shù)难芯繉ο蟆Ｑ芯繉ο筮x的是否合適，關(guān)系到解題的繁簡。（2）畫受力圖在研究對象上畫出它受到的所有主動力和約束反力。約束反力根據(jù)約束類型來畫。當約束反力的指向未定時，可以先假設(shè)其指向。如果計算結(jié)果為正，則表示假設(shè)指向正確；如果計算結(jié)果為負，則表示實際的指向與假設(shè)的相反。（3）列平衡方程選取適當?shù)钠胶夥匠绦问健⑼队拜S和矩心。選取哪種形式的平衡方程取決于計算的方便，盡量避免解聯(lián)立方程，應(yīng)用投影方程時，投影軸盡可能選取與較多的未知力的作用線垂直；應(yīng)用力矩方程時，矩心往往取在兩個未知力的交點。計算力矩時，要善于運用合力矩定理，以便使計算簡單。（4）求解：解平衡方程，求解未知量。（5）校核21第21頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)[例]如圖所示拱形桁架的一端A為鉸支座，另一端B為滾軸支座，其支承面與水平面成傾角300。桁架自重G=100KN,風(fēng)壓力的合力Q=20KN,其方向水平向左，試求A、B

支座反力。22第22頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)解得：解：〈1〉、選桁架為研究對象，畫出其受力圖

〈2〉、列平衡方程選A、B兩點為矩心，用二矩式

23第23頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)平面匯交力系、平面平行力系和平面力偶系，皆可看作平面一般力系的特殊力系，它們的平衡方程皆可由平面一般力系的平衡方程導(dǎo)出。平面匯交力系的平衡方程2）平面匯交力系平衡的必要與充分的幾何條件是：力多邊形自行封閉1）平面匯交力系平衡的必要與充分的解析條件是：各力在兩個坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零

利用幾何法求解平面匯交力系的平衡問題時，畫出自行封閉的力多邊形，然后按比例尺從力多邊形中直接量出未知力的大小即可。24第24頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)[例]

求當F力達到多大時，球離開地面？已知P、R、h解：1）研究塊,受力如圖，由力三角形：解得：25第25頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)2）再研究球，受力如圖：作力三角形26第26頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月平面平行力系:各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行的力系。2、平面平行力系的平衡方程建筑力學(xué)平面平行力系平衡方程的一般形式：平面平行力系平衡方程的二矩式：（A、B兩點連線不與諸力平行）各力在x軸上的投影恒等于零，即所以只有兩個獨立方程，只能求解兩個獨立的未知量。

27第27頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)[例]

塔式起重機如圖所示，機架重G=700KN，作用線通過塔架中心。最大起重量FW1=200KN，最大懸臂長為12m，軌道A、B的間距為4m，平衡塊重FW2，到機身中心線距離為6m。試問：〈1〉、保證起重機在滿載和空載都不致翻倒，求平衡塊的重量FW2應(yīng)為多少？〈2〉、當平衡塊重FW2=180KN時，求滿載時軌道A、B給起重機輪子的反力。28第28頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)解：1）畫起重機受力圖，如圖這些力組成平面平行力系〈2〉、求起重機在滿載和空載時都不致翻倒的平衡塊重FW2的大小

當滿載時，為使起重機不繞B點翻倒，這些力必須滿足平衡方程ΣMB（F）=0在臨界情況下，F(xiàn)RA=0，限制條件FRA≥0,才能保證起重機不繞B點翻倒。29第29頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)限制條件：解得：

當空載時，此時FW1=0,為使起重機不繞A點翻倒，則必須滿足平衡方程ΣmA（F）=0,在臨界情況下，F(xiàn)RB=0，限制條件FRB≥0,才能保證起重機不繞A點翻倒。限制條件：解得：30第30頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)由于起重機實際工作時不允許處于極限狀態(tài)，要使起重機不會翻倒，平衡塊重量滿足關(guān)系：(3)、當FW2=180kN時，求滿載（FW1=200kN）情況下，軌道A、B給起重機輪子的反力FRA、FRB。解得：31第31頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)3、平面力偶系的平衡方程由于平面力偶系合成的結(jié)果為一合力偶，M=Σm，而力偶在任一軸上投影的代數(shù)和均為零。即平面一般力系的平衡方程的基本形式的兩個投影方程均變成恒等式，故平面力偶系的平衡方程為：即平面力偶系平衡的充要條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和為零。獨立平衡方程數(shù)目是一個，能且只能求解出一個未知數(shù)———一個未知力偶或一對未知力（力偶臂已知時）。32第32頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]梁AB的支座和受力情況如圖所示。已知m=10kN﹒m，不計梁重，試求兩支座反力。

解：1）選梁AB為研究對象,畫分離體受力圖

建筑力學(xué)2）列平衡方程，求解未知量

解得：根據(jù)力偶與力偶平衡的概念，A支座反力與B支座反力組成一個力偶與m平衡。

33第33頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)§

4-3物體系的平衡問題物體系統(tǒng)（物系）：由若干個物體通過約束所組成的系統(tǒng)。物系平衡的特點：①當物體系平衡時，組成該系統(tǒng)的每一個物體都處于平衡狀態(tài)。

②每個單體可列3個平衡方程，整個系統(tǒng)可列3n個方程（設(shè)物系中有n個物體）在求解靜定的物體系的平衡問題時，可以選每個物體為研究對象，列出全部平衡方程，然后求解；也可以先取整個系統(tǒng)為研究對象，列出平衡方程，求出部分未知量，再從系統(tǒng)中選取某些物體作為研究對象，列出另外的平衡方程，直至求出所有的未知量為止。

34第34頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)

為了使求解過程盡可能簡便，并且避免出現(xiàn)反復(fù)。解決物系的平衡問題時，應(yīng)當首先從有已知力作用的，而未知力數(shù)目少于或等于獨立平衡方程數(shù)的物體開始著手分析。把有已知力作用，未知數(shù)少于或等于獨立平衡方程數(shù)的條件稱為可解條件。對于符合可解條件的分離體先行求解，將求得物體系的內(nèi)力，通過作用與反作用關(guān)系，轉(zhuǎn)移到其他物體作為已知力，逐步擴大已知量的數(shù)目直至最終求出所有未知量。

有時還可能出現(xiàn)這樣的情況，就整個物系而言是靜定的，而物系的所有分離體無一符合可解條件。此時必存在有的分離體上雖有四個未知力，但存在三個未知力匯交于同一點或互相平行的情況，取匯交點為矩心或取平行力的垂線為投影軸即可解出部分未知力和其余未知力之間的關(guān)系，再以其他分離體為研究對象，逐個把所有未知力求出。把分離體有已知力作用，雖有n>3個未知力，但有（n-1）個匯交或平行的條件，稱為部分可解條件。對于這類沒有符合可解條件的分離體的問題，應(yīng)先從符合部分可解條件的分離體著手解起。35第35頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]已知：連續(xù)梁上，P=10kN,Q=50kN,CE鉛垂,不計梁重求：A,B和D點的反力（看出未知數(shù)多余三個，不能先整體求出，要拆開）

解：①研究起重機建筑力學(xué)36第36頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月③再研究整體②

再研究梁CD建筑力學(xué)37第37頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]

如圖所示為鋼結(jié)構(gòu)拱架。拱架由兩個相同的剛架AC和BC用鉸鏈C連接，拱腳A、B用鉸鏈固結(jié)于地基，吊車梁支承在剛架的突出部分D、E上。設(shè)兩剛架各重為FW=60KN；吊車梁重為G=20KN，其作用線通過點C；荷載重為FP=10KN；風(fēng)力F=10KN，尺寸如圖所示。D、E兩點在FW的作用線上，求鉸鏈A和B的約束反力。解：1）先研究吊車梁畫受力圖建筑力學(xué)解得：2）研究整體畫受力圖38第38頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)39第39頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月建筑力學(xué)解得：3）研究右半剛架畫受力圖解得：40第40頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)題課3）平衡合力矩定理1）合力（主矢）2）合力偶（主矩）一、平面一般力系的合成結(jié)果本章小結(jié)：建筑力學(xué)41第41頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月一矩式二矩式三矩式二、平面一般力系的平衡方程建筑力學(xué)平面平行力系的平衡方程一矩式二矩式（A、B連線不平行力線）42第42頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月成為恒等式三、物系平衡建筑力學(xué)