同濟(jì)版大一高數(shù)下第七章第九節(jié)常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程課件

主講教師:王升瑞高等數(shù)學(xué)第三十八講1主講教師:高等數(shù)學(xué)第三十八講1常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程第八節(jié)二、第七章一、三、2常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程第八節(jié)二、第七章一、三、2二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法3二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解一、 特征方程令：令：令：其中是x的m多項(xiàng)式4一、 特征方程令：令：令：其中是x的m多項(xiàng)式4例1.的通解.解:先求Y特征方程為設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：再求y*,通解為5例1.的通解.解:先求Y特征方程為設(shè)所求特解為代入方程例2：的通解。解:先求Y特征方程為設(shè)所求特解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：再求y*,代入方程整理得:矛盾！問(wèn)題是y*所設(shè)，本題與例1的區(qū)別在于題中缺y項(xiàng)。設(shè)6例2：的通解。解:先求Y特征方程為設(shè)所求特解為對(duì)應(yīng)齊次將代入原方程于是所求特解為通解為若有初始條件求特解將初始條件代入整理得特解為比較系數(shù),得7將代入原方程于是所求特解為通解為若有初始條件求特解將初始條件例3：的通解。解:先求Y特征方程為設(shè)所求特解為代入方程:于是所求特解為再求y*,通解為8例3：的通解。解:先求Y特征方程為設(shè)所求特解為代入方程例4.

求解定解問(wèn)題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故原方程通解為由初始條件得解得9例4.求解定解問(wèn)題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解于是所求解為原方程通解為解得例4.求解定解問(wèn)題10于是所求解為原方程通解為解得例4.求解定解問(wèn)題10二、

為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m次多項(xiàng)式.Q(x)為m次待定系數(shù)多項(xiàng)式11二、為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多(2)若是特征方程的單根,為m次多項(xiàng)式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,是m次多項(xiàng)式,故特解形式為小結(jié)對(duì)方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程.即即當(dāng)是特征方程的k重根時(shí),可設(shè)特解12(2)若是特征方程的單根,為m次多項(xiàng)式,故特解例1：的通解。解:先求Y特征方程為設(shè)所求特解為代入方程比較系數(shù),得:于是所求特解為再求y*,通解為13例1：的通解。解:先求Y特征方程為設(shè)所求特解為代入方程例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為特解為代入方程比較系數(shù),得所求通解為若設(shè)非齊次方程特解為代入方程比較系數(shù),得矛盾14例2.的通解.解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解例3.

求方程的通解.解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為15例3.求方程的通解.解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方例4：求滿(mǎn)足且在原點(diǎn)處與直線(xiàn)相切的曲線(xiàn)表達(dá)式。解:特征方程為設(shè)所求特解為代入方程整理得比較系數(shù),得于是所求特解為再求y*,通解為16例4：求滿(mǎn)足且在原點(diǎn)處與直線(xiàn)相切的曲線(xiàn)表達(dá)式。解:特征方程為由題意可得初始條件：代入代入所求曲線(xiàn)方程為：例4：求滿(mǎn)足且在原點(diǎn)處與直線(xiàn)相切的曲線(xiàn)表達(dá)式。17由題意可得初始條件：代入代入所求曲線(xiàn)方程為：例4：求滿(mǎn)足且在例5：求一個(gè)特解。解：設(shè)代入方程可見(jiàn)通解:18例5：求一個(gè)特解。解：設(shè)代入方程可見(jiàn)通解:18三、具有如下形式的特解其中a,b為待定系數(shù)。k的取法規(guī)則是：

取取對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程的特征根上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.可以證明19三、具有如下形式的特解其中a,b為待定系數(shù)。k例1.

的通解.

解:特征方程為其根為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的根,因此設(shè)非齊次方程特解為20例1.的通解.解:特征方程為其根為比較系數(shù),得因此特例2

求微分方程的通解。特征方程特征根設(shè)將代入原方程，整理后并約去非零因式解21例2求微分方程的通解。特征方程特征根設(shè)將代入原方程，整理比較兩端的同類(lèi)項(xiàng)系數(shù)，得方程的特解方程的通解得例2

求微分方程的通解。22比較兩端的同類(lèi)項(xiàng)系數(shù)，得方程的特解方程的通解得例2求微分例3求下列微分方程的通解特征根:令非齊次方程特解為代入方程可得原方程通解為解特征方程23例3求下列微分方程的通解特征根:令非齊次方程特解為代入例4.且滿(mǎn)足方程提示:

則問(wèn)題化為解初值問(wèn)題:最后求得24例4.且滿(mǎn)足方程提示:則問(wèn)題化為解初值問(wèn)題:最后求得24解特征方程設(shè)原方程的特解為例5原方程分為25解特征方程設(shè)原方程的特解為例5原方程分為25故原方程的通解為由即例526故原方程的通解為由即例526例6求的通解。解：由由設(shè)代入上式整理得：通解：27例6求的通解。解：由由設(shè)代入上式整理得：通解：27例7.

的一個(gè)特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個(gè)特解28例7.的一個(gè)特解.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方2929內(nèi)容小結(jié)為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.30內(nèi)容小結(jié)為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則作業(yè)P3471(1),(5),(6),(10);2(2),(4);631作業(yè)P3471(1),(5),(6),例6.

求微分方程的通解。(其中為實(shí)數(shù)).解:特征方程特征根:時(shí),代入原方程得故原方程通解為時(shí),代入原方程得故原方程通解為3