2022-2023學年廣東省河源市順天中學高二數(shù)學理摸底試卷含解析

2022-2023學年廣東省河源市順天中學高二數(shù)學理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.不等式3x－2y－6>0表示的區(qū)域在直線3x－2y－6＝0的

（

）A．右上方

B．右下方

C．左上方

D．左下方參考答案：B略2.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】設(shè)A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，判斷集合A，B的包含關(guān)系，根據(jù)“誰小誰充分，誰大誰必要”的原則，即可得到答案．【解答】解：設(shè)A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，∵A?B，故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要條件．故選A．【點評】本題考查的知識點是必要條件，充分條件與充要條件判斷，其中熟練掌握集合法判斷充要條件的原則“誰小誰充分，誰大誰必要”，是解答本題的關(guān)鍵．3.已知等差數(shù)列的公差，前項和滿足：，那么數(shù)列中最大的值是（

）A. B. C. D.參考答案：B4.在邊長為的正方形中裁去如圖的扇形，再將剩余的陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為A．3π

B．4π

C．5π

D．6π參考答案：C5.用數(shù)學歸納法證明等式1+2+3+…+（n+3）=時，第一步驗證n=1時，左邊應(yīng)取的項是（）A．1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4參考答案：D【考點】數(shù)學歸納法．【分析】由等式，當n=1時，n+3=4，而等式左邊起始為1的連續(xù)的正整數(shù)的和，由此易得答案．【解答】解：在等式中，當n=1時，n+3=4，而等式左邊起始為1的連續(xù)的正整數(shù)的和，故n=1時，等式左邊的項為：1+2+3+4故選D．【點評】本題考查的知識點是數(shù)學歸納法的步驟，在數(shù)學歸納法中，第一步是論證n=1時結(jié)論是否成立，此時一定要分析等式兩邊的項，不能多寫也不能少寫，否則會引起答案的錯誤．解此類問題時，注意n的取值范圍．6.執(zhí)行程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是（

）A．120

B．720

C．1440

D．5040

參考答案：B7.下列說法的正確的是

（

）

A．經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示

B．經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示

C．不經(jīng)過原點的直線都可以用方程表示

D．經(jīng)過任意兩個不同的點的直線都可以用方程

表示參考答案：D

解析：斜率有可能不存在，截距也有可能為8.在下列命題中，假命題是（

）．A．如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的任一直線，那么B．如果平面內(nèi)的任意直線平行于平面，那么C．如果平面平面，任取直線，那么必有D．如果平面平面，任取直線，那么必有參考答案：C由，，得，∴是真命題．若內(nèi)任一條直線都平行于，則與無公共點，由面面平行的定義知，∴是真命題．由，可得，或與相交（垂直或斜交），∴是假命題．若，，則，這是面面平行性質(zhì)定理，∴是真命題．綜上所述，故選．9.如圖，正四面體ABCD的棱長為1，點E是棱CD的中點，則?=（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：D【考點】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】根據(jù)向量的幾何意義和向量的數(shù)量積公式計算即可．【解答】解：∵正四面體ABCD的棱長為1，點E是棱CD的中點，∴?=（+）?=?+?=×1×1×+×1×1×=，故選：D．【點評】本題主要考查向量的數(shù)量積運算，要求熟練掌握數(shù)量積的公式．10.某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，則下列命題不正確的是

（A）該市這次考試的數(shù)學平均成績?yōu)?0分

（B）分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同

（C）分數(shù)在120分以上的人數(shù)與分數(shù)在60分以下的人數(shù)相同

（D）該市這次考試的數(shù)學成績標準差為10參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)a>0且a≠1，則“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的__________條件．參考答案：充分不必要略12.已知x，y滿足約束條件，若z=ax+y的最大值為4，則a=．參考答案：2【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】計算題；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最大值【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．則A（2，0），B（1，1），若z=ax+y過A時取得最大值為4，則2a=4，解得a=2，此時，目標函數(shù)為z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，當直線經(jīng)過A（2，0）時，截距最大，此時z最大為4，滿足條件，若z=ax+y過B時取得最大值為4，則a+1=4，解得a=3，此時，目標函數(shù)為z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直線y=﹣3x+z，當直線經(jīng)過A（2，0）時，截距最大，此時z最大為6，不滿足條件，故a=2；故答案為：2．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法，確定目標函數(shù)的斜率關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．13.已知、是雙曲線的兩個焦點，點在此雙曲線上，，如果點到軸的距離等于，那么該雙曲線的離心率等于

．參考答案：14.雙曲線的右焦點坐標是；焦點到漸近線的距離為．參考答案：（2，0），?！究键c】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)雙曲線的方程解求出焦點坐標，再根據(jù)點到直線的距離公式即可求出焦點到漸近線的距離．【解答】解：雙曲線，∴a2=1，b2=3，∴c2=a2+b2=4，∴c=2，∵雙曲線的焦點在x軸上，∴雙曲線的右焦點坐標是（2，0），∴雙曲線的漸近線方程為y=±x，即x﹣y=0，∴焦點到漸近線的距離d==，故答案為：（2，0），【點評】本題考查了雙曲線的方程和漸近線方程以及點到直線的距離，屬于基礎(chǔ)題．15.已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點若，則=

.k*s5*u參考答案：8略16.展開式中的系數(shù)是

．參考答案：略17.如圖,正方體的棱長為4,分別是棱、的中點,長為2的線段的一個端點在線段上運動,另一個端點在底面上運動,則線段的中點的軌跡(曲面)與二面角所圍成的幾何體的體積為_________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知復數(shù)z滿足：（1）.

(1)求復數(shù)z（2）求滿足的最大正整數(shù)n.

參考答案：解析：（1）設(shè)

解之得：

故

（2）由得：

19.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點（，）．（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)不過原點O的直線l：y=kx+m（k≠0），與該橢圓交于P、Q兩點，直線OP、OQ的斜率一次為k1、k2，滿足4k=k1+k2．（i）當k變化時，m2是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由；（ii）求△OPQ面積的取值范圍．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）由題設(shè)條件，設(shè)c=k，a=2k，則b=k，利用待定系數(shù)法能求出橢圓方程．（Ⅱ）（i）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，由此利用根的判別式、韋達定理、斜率性質(zhì)，結(jié)合已知條件推導出當k變化時，m2是定值．②利用橢圓弦長公式，結(jié)合已知條件能求出△OPQ面積的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由題設(shè)條件，設(shè)c=k，a=2k，則b=k，∴橢圓方程為+=1，把點（，）代入，得k2=1，∴橢圓方程為+y2=1．（Ⅱ）（i）當k變化時，m2是定值．證明如下：由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直線OP，OQ的斜率依次為k1，k2，∴4k=k1+k2==，∴2kx1x2=m（x1+x2），由此解得m2=，驗證△＞0成立．∴當k變化時，m2是定值．②S△OPQ=|x1﹣x2|?|m|=，令=t＞1，得S△OPQ==＜1，∴△OPQ面積的取值范圍S△OPQ∈（0，1）．【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)值是否為實數(shù)的判斷與證明，考查三角形面積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、斜率性質(zhì)的合理運用．20.微信是現(xiàn)代生活進行信息交流的重要工具，據(jù)統(tǒng)計，某公司200名員工中90%的人使用微信，其中每天使用微信時間在一小時以內(nèi)的有60人，其余每天使用微信在一小時以上。若將員工年齡分成青年（年齡小于40歲）和中年（年齡不小于40歲）兩個階段，使用微信的人中75%是青年人。若規(guī)定：每天使用微信時間在一小時以上為經(jīng)常使用微信，經(jīng)常使用微信的員工中是青年人.（1）若要調(diào)查該公司使用微信的員工經(jīng)常使用微信與年齡的關(guān)系，列出2×2列聯(lián)表：

青年人中年人合計經(jīng)常使用微信

不經(jīng)常使用微信

合計

（2）由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù)，是否有99.9%的把握認為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”（3）采用分層抽樣的方法從“經(jīng)常使用微信”的人中抽取6人，從這6人中任選2人，求事件A“選出的2人均是青年人”的概率

參考答案：解：（1）由已知可得，該公司員工中使用微信的共：人經(jīng)常使用微信的有人，其中青年人：人所以可列下面列聯(lián)表：

青年人中年人合計經(jīng)常使用微信不經(jīng)常使用微信合計（2）將列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式可得：由于，所以有的把握認為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”。（3）從“經(jīng)常使用微信”的人中抽取人中，青年人有人，中年人有人設(shè)名青年人編號分別，名中年人編號分別為.則“從這人中任選人”的基本事件為：共個其中事件“選出的人均是青年人”的基本事件為：共個。故.

21.（本題滿分12分）如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.（1）求證:平面BCD;（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值;（3）求點E到平面ACD的距離.參考答案：(Ⅰ).證明:連結(jié)OC.

同理.在中,由已知可得

即

∴平面

…………………4分(Ⅱ)解:以O(shè)為原點,如圖建立空間直角坐標系,則,

∴異面直線AB與CD所成角余弦的大小為

…………………8分

(Ⅲ)設(shè)E到平面ACD的距離為h,由E是BC的中點得B到平面ACD的距離為2h

又經(jīng)計算得:

E到平面ACD的距離為

…………………12分

22.已知線段AB的端點B的坐標為（3,0），端點A在圓上運動；（1）求線段AB中點M的軌跡方程；（2）過點C（1,1）的直線m與M的軌跡交于G、H兩點，當△GOH（O為坐標原點）的面積最大時，求直線m的方程并求出△GOH面積的最大值.（3）若點C（1,1），且P在M軌跡上運動，求的取值范圍.參考答案：（1）解：設(shè)點由中點坐標公式有

……………2分