河南省商丘市梁園區(qū)王樓鄉(xiāng)第一中學高三數學理模擬試卷含解析

河南省商丘市梁園區(qū)王樓鄉(xiāng)第一中學高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.程序框圖如圖所示，當輸入的值為5時，輸出的值恰好是，則在空白的賦值框處應填入的關系式可以是(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：C略2.的值等于（

）（A）1

（B）i

（C）

（D）參考答案：答案：C3.下列函數中，不是偶函數的是（）A．y=x2+4 B．y=|tanx| C．y=cos2x D．y=3x﹣3﹣x參考答案：D【考點】函數奇偶性的判斷．【專題】轉化思想；綜合法；函數的性質及應用．【分析】逐一判斷各個選項中所給函數的奇偶性，從而得出結論．【解答】解：對于所給的4個函數，它們的定義域都關于原點對稱，選項A、B、C中的函數都滿足f（﹣x）=f（x），故他們都是偶函數，對于選項D中的函數，滿足f（﹣x）=﹣f（x），故此函數為奇函數，故選：D．【點評】本題主要考查函數的奇偶性的判斷方法，屬于基礎題．4.下列函數中，與函數定義域相同的函數為A．

B.

C.y=xex

D.參考答案：D【命題立意】本題考查函數的概念和函數的性質定義域。函數的定義域為。的定義域為,的定義域為，函數的定義域為，所以定義域相同的是D,選D.5.已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球表面積為（

）16

4

8 2參考答案：B6.（5分）下列函數中，既是奇函數又在其定義域上是增函數的是（）A．B．y=x3C．y=log2xD．y=tanx參考答案：B【考點】：函數奇偶性的判斷；函數單調性的判斷與證明．【專題】：函數的性質及應用．【分析】：根據函數奇偶性和單調性的性質分別進行判斷即可．解：A.為奇函數，在定義域上不是增函數．B．y=x3是奇函數在其定義域上是增函數，滿足條件．C．y=log2x為增函數，為非奇非偶函數．D．y=tanx為奇函數，在定義域上不是增函數．故選：B【點評】：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，要求熟練掌握常見函數的奇偶性和單調性的性質．7.對平面、和異面直線，，下面四中個命題中正確的是A．若，則與相交B．若，則不一定垂直于

C．若，且與成的角，則與所成的最大角是

D．若直線，分別是，在內的射影，則，是相交直線參考答案：答案：C8.在復平面內，復數對應的點在(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：C略9.函數f（x）=2x+sinx的部分圖象可能是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】3O：函數的圖象．【分析】先判斷出此函數是奇函數，再根據0＜x＜時，函數值為正即可找出可能的圖象．【解答】解：函數f（x）=2x+sinx是奇函數，故其圖象關于原點對稱，故排除B；又當0＜x＜時，函數值為正，僅有A滿足，故它的圖象可能是A中的圖．故選：A．10.

將平面上的每個點都以紅，藍兩色之一著色．證明：存在這樣兩個相似的三角形，它們的相似比為1995，并且每一個三角形的三個頂點同色．參考答案：證明：首先證明平面上一定存在三個頂點同色的直角三角形．任取平面上的一條直線l，則直線l上必有兩點同色．設此兩點為P、Q，不妨設P、Q同著紅色．過P、Q作直線l的垂線l1、l2，若l1或l2上有異于P、Q的點著紅色，則存在紅色直角三角形．若l1、l2上除P、Q外均無紅色點，則在l1上任取異于P的兩點R、S，則R、S必著藍色，過R作l1的垂線交l2于T，則T必著藍色．△RST即為三頂點同色的直角三角形．設直角三角形ABC三頂點同色(∠B為直角)．把△ABC補成矩形ABCD(如圖)．把矩形的每邊都分成n等分(n為正奇數，n>1，本題中取n=1995)．連結對邊相應分點，把矩形ABCD分成n2個小矩形．AB邊上的分點共有n+1個，由于n為奇數，故必存在其中兩個相鄰的分點同色，(否則任兩個相鄰分點異色，則可得A、B異色)，不妨設相鄰分點E、F同色．考察E、F所在的小矩形的另兩個頂點E￠、F￠，若E￠、F￠異色，則△EFE￠或△DFF￠為三個頂點同色的小直角三角形．若E￠、F￠同色，再考察以此二點為頂點而在其左邊的小矩形，…．這樣依次考察過去，不妨設這一行小矩形的每條豎邊的兩個頂點都同色．同樣，BC邊上也存在兩個相鄰的頂點同色，設為P、Q，則考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一橫邊兩個頂點異色，則存在三頂點同色的小直角三角形．否則，PQ所在列的小矩形的每條橫邊兩個頂點都同色．現考察EF所在行與PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都與N同色，△MNH為頂點同色的直角三角形．由n=1995，故△MNH∽△ABC，且相似比為1995，且這兩個直角三角形的頂點分別同色．證明2：首先證明：設a為任意正實數，存在距離為2a的同色兩點．任取一點O(設為紅色點)，以O為圓心，2a為半徑作圓，若圓上有一個紅點，則存在距離為2a的兩個紅點，若圓上沒有紅點，則任一圓內接六邊形ABCDEF的六個頂點均為藍色，但此六邊形邊長為2a．故存在距離為2a的兩個藍色點．下面證明：存在邊長為a，a，2a的直角三角形，其三個頂點同色．如上證，存在距離為2a的同色兩點A、B(設為紅點)，以AB為直徑作圓，并取圓內接六邊形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一點為紅色，則存在滿足要求的紅色三角形．若C、D、E、F為藍色，則存在滿足要求的藍色三角形．下面再證明本題：由上證知，存在邊長為a，a，2a及1995a，1995a，1995′2a的兩個同色三角形，滿足要求．證明3：以任一點O為圓心，a及1995a為半徑作兩個同心圓，在小圓上任取9點，必有5點同色，設為A、B、C、D、E，作射線OA、OB、OC、OD、OE，交大圓于A￠，B￠，C￠，D￠，E￠，則此五點中必存在三點同色，設為A￠、B￠、C￠．則DABC與DA￠B￠C￠為滿足要求的三角形．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設全集合,集合,,則集合

.參考答案：略12.已知點（x，y）滿足約束條件（其中a為正實數），則z=2x﹣y的最大值為．參考答案：4【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數的幾何意義求解即可．【解答】解：點（x，y）滿足約束條件（其中a為正實數），可行域如圖：目標函數的z=2x﹣y在B處取得最大值，由可得B（，）．所以z的最大值為：2×=10，解得a=4．故答案為：4．13.過點且與相切的直線方程為．參考答案：14.函數的定義域為__________．參考答案：15.等比數列的首項為2，數列滿足，則

．參考答案：16.已知為奇函數,且滿足不等式,則實數的值為

.參考答案：【知識點】函數奇偶性的性質．L4

【答案解析】

解析：不等式≤0等價于或，解得，或，即有﹣3≤m＜0或1＜m≤3，①∵f（x）=tanx+cos（x+m）為奇函數，∴f（﹣x）=﹣f（x），即tan（﹣x）+cos（﹣x+m）=﹣tanx﹣cos（m+x），∴cos（﹣x+m）=﹣cos（x+m），∴cosmcosx+sinmsinx=﹣cosmcosx+sinmsinx，∴cosm=0，m=k，k為整數，②∴由①②得，m=±．故答案為：±．【思路點撥】首先解不等式≤0，得到﹣3≤m＜0或1＜m≤3，①再根據f（x）=tanx+cos（x+m）為奇函數，由奇函數的定義，以及應用三角恒等變換公式，求出m=k，k為整數，②，然后由①②得，m=±．17.在△OAB中，已知||=，||=1，∠AOB=45°，若=λ+μ，且λ+2μ=2，則在上的投影的取值范圍是．參考答案：【考點】平面向量數量積的運算．【分析】由=λ+μ，且λ+2μ=2，得到=[λ+（1﹣）]，展開多項式乘多項式，求得=1+，再求出，代入投影公式，對λ分類求解得答案．【解答】解：由=λ+μ，且λ+2μ=2，則=[λ+（1﹣）]=λ+（1﹣），又||=，||=1，∠AOB=45°，∴由余弦定理求得||=1，∴=λ+（1﹣）×=1+，===，故在上的投影=．當λ＜﹣2時，上式=﹣==∈；當λ≥﹣2時，上式=；①λ=0，上式=；②﹣2≤λ＜0，上式=∈；③λ＞0，上式=∈．綜上，在上的投影的取值范圍是．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且，（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若△ABC最大邊的邊長為，且sinC=2sinA，求最小邊長．參考答案：【考點】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）把題設中的等式整理得即ac+c2=b2﹣a2，進而代入余弦定理求得cosB的值，進而求得B．（Ⅱ）根據B為鈍角可推斷出b為最長邊，根據sinC=2sinA，利用正弦定理可知c=2a，進而推斷a為最小邊，進而利用余弦定理求得a．【解答】解：（Ⅰ）由，整理得（a+c）c=（b﹣a）（a+b），即ac+c2=b2﹣a2，∴，∵0＜B＜π，∴．（Ⅱ）∵，∴最長邊為b，∵sinC=2sinA，∴c=2a，∴a為最小邊，由余弦定理得，解得a2=1，∴a=1，即最小邊長為1【點評】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用．正弦定理和余弦定理及其變形公式是解三角形問題中常用的公式，故應熟練記憶．19.（本小題滿分14分）已知其中是自然對數的底.(1)若在處取得極值，求的值；(2)求的單調區(qū)間；(3)設，存在，使得成立，求

的取值范圍.參考答案：解：(Ⅰ).

由已知,解得.

經檢驗,符合題意.

…………4分(Ⅱ).1)

當時，在上是減函數.2)當時，.①

若，即，則在上是減函數，在上是增函數；

②若

，即，則在上是減函數.

綜上所述，當時，的減區(qū)間是，當時，的減區(qū)間是，增區(qū)間是.

………9分(III)當時,由(Ⅱ)知的最小值是；

易知在上的最大值是；

注意到,故由題設知

解得.故的取值范圍是.

………14分20.已知函數的定義域為，對定義域內的任意x，滿足，當時，（a為常），且是函數的一個極值點，(I)求實數a的值；(Ⅱ)如果當時，不等式恒成立，求實數m的最大值；（Ⅲ）求證：參考答案：略21.如圖，在四棱錐P－ABCD中，O為AC與BD的交點，AB^平面PAD，△PAD是正三角形，

DC//AB，DA＝DC＝2AB.（1）若點E為棱PA上一點，且OE∥平面PBC，求的值；（2）求證：平面PBC^平面PDC.參考答案：的知識易得：結合比例線段關系即可求得;（2）中要證明面面垂直，根據面由，所以．22.（14分）已知函數f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）當函數f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在實數a，當x∈（0，e]（e是自然對數的底數時，函數g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．參考答案：【考點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（Ⅰ）由f（x）=x2+x﹣lnx，x＞0，得f′（x）=，從而f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增；（Ⅱ）由f′（x）=，當函數f（x）在[1，2]上是減函數時，得f′（1）=2+a﹣1≤0①，f′（2）≤0得a范圍是（﹣∞，）；（Ⅲ）∵f（x）=x2+ax﹣lnx，求出函數的導數，討論a≤0，0＜＜e，≥e的情況，從而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=x2+x﹣lnx，x＞0∴f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞，x＜﹣1（舍），令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增；（Ⅱ）∵f′（x）=，當函數f（x）在[1，2]上是減函數時，得f′（1）=2+a﹣1≤0①，f′（2）=8+2a﹣1≤0②，由①②得：a≤﹣，∴a的范圍是（﹣∞，﹣]；（Ⅲ）∵f（x）=x2+ax﹣lnx，∴g（x）=f（x）﹣x2=a