誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章課件

開課單位：精密儀器與機(jī)械學(xué)系

任課教師：尉昊赟（luckiwei@）李巖（liyan@.）誤差理論與數(shù)據(jù)處理清華大學(xué)本科生選修課課號：00130172開課單位：精密儀器與機(jī)械學(xué)系

任課教師：尉昊赟（luckiw第二章誤差的基本性質(zhì)與處理第一節(jié)概率、隨機(jī)誤差第二節(jié)系統(tǒng)誤差第三節(jié)粗大誤差第二章誤差的基本性質(zhì)與處理一、概率定義對于某一隨機(jī)試驗(yàn)，出現(xiàn)的事件A，B…為有限個，且每個事件出現(xiàn)的可能性是相同的。若事件A出現(xiàn)的次數(shù)為L，各類事件出現(xiàn)總數(shù)為N，則L/N稱為事件A出現(xiàn)的頻率當(dāng)各類事件總數(shù)N逐漸增多時，頻率逐漸穩(wěn)定于某個客觀存在的實(shí)常數(shù)。它隸屬于隨機(jī)事件，處于0與1之間，稱為理論概率。常用P(A)表示給定條件下事件A出現(xiàn)的概率。

概率概率的定義有很多定義方式，有頻率定義、古典定義、統(tǒng)計定義等例如：袋中5個球中只有1個紅球，第1個球就取中紅球的概率是1/5。這類概率問題是離散型隨機(jī)變量的概率問題。一、概率定義概率概率的定義有很多定義方式，有頻率定義、古典定對于連續(xù)型隨機(jī)變量：常用表示隨機(jī)變量X落在區(qū)間的概率。

連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量的一個根本區(qū)別是：連續(xù)型隨機(jī)變量X取值任一定值a（x軸上某點(diǎn)）的概率為零。只有研究隨機(jī)變量X落在某一區(qū)間的概率才不為零。概率對于連續(xù)型隨機(jī)變量：常用2、概率密度函數(shù)（或分布密度函數(shù)）對于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們可以用概率密度函數(shù)來刻畫隨機(jī)變量取值的概率分布。定義：對于隨機(jī)變量X，如果存在非負(fù)可積函數(shù)使對任意實(shí)數(shù)a,b(a＜b)，都有則稱X為連續(xù)隨機(jī)變量，并稱f(x)為X的概率密度函數(shù)。（簡稱概率密度或密度）概率2、概率密度函數(shù)（或分布密度函數(shù)）概率概率密度函數(shù)的性質(zhì)：(1)(2)隨機(jī)變量x落在某一區(qū)間的概率：概率密度函數(shù)圖（概率微元）概率概率密度函數(shù)的性質(zhì)：(1)概率密度函數(shù)圖（概率微元）概率被測量的估計值常用算數(shù)平均值表示，若落于T1和T2之間的概率為

那么T1和T2之間的區(qū)間稱為雙側(cè)的概率為p的置信區(qū)間；稱為置信水平(levelofconfidence）,（也叫置信度、置信水準(zhǔn)、置信概率等。）α稱為顯著性水平或顯著度。置信區(qū)間被測量的估計值常用算數(shù)平均值表示，若落于

對同一量值多次等精度測量，得到一系列不同的測量值（稱為測量列）。每個測量值含有誤差，前一個誤差出現(xiàn)后，不能預(yù)定下一個測值誤差的大小和方向，但就誤差總體而言，具有統(tǒng)計規(guī)律。這類誤差叫隨機(jī)誤差。為了分析隨機(jī)誤差對測量結(jié)果的影響，需要對隨機(jī)誤差的分布規(guī)律進(jìn)行研究。也就是研究隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)。隨機(jī)誤差的性質(zhì)及其分布規(guī)律如何做？分析測量的隨機(jī)誤差的分布規(guī)律，可以對某一被測量進(jìn)行多次測量對同一量值多次等精度測量，得到一系列不同的測量值（稱為對某鋼球工件直徑重復(fù)測量150次，得到下列測量點(diǎn)列圖，可計算出數(shù)據(jù)集中在7.335mm附近：7.0857.3357.585導(dǎo)入例對某鋼球工件直徑重復(fù)測量150次，得到下列測量點(diǎn)列圖，可計算（1）分組數(shù)=11，組距=0.05mm；（2）依次定各組的頻數(shù)、頻率和頻率密度；（3）以數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)，頻率密度為縱坐標(biāo)，在橫坐標(biāo)上劃出等分的子區(qū)間，劃出各子區(qū)間的直方柱，即為所求統(tǒng)計直方圖。77.17.27.37.47.57.600.040.080.120.160.20導(dǎo)入例（1）分組數(shù)=11，組距=0.05mm；測量中的隨機(jī)誤差一般具有以下特點(diǎn)：

1）單峰性：小誤差出現(xiàn)的概率比大誤差出現(xiàn)的概率大

2）對稱性：正誤差出現(xiàn)的概率與負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。

3）抵償性：隨測量次數(shù)增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零。

上述隨機(jī)誤差的性質(zhì)可從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)出誤差的分布密度函數(shù)，（其中最重要的一個條件是：當(dāng)測量值等于所有測值的算術(shù)平均值時出現(xiàn)的概率最大。)這個推導(dǎo)是高斯最早完成的，稱正態(tài)分布。誤差符合正態(tài)分布的條件：影響的因素很多（15個以上）、彼此獨(dú)立、各影響因素影響程度相當(dāng)。隨機(jī)誤差的性質(zhì)測量中的隨機(jī)誤差一般具有以下特點(diǎn)：隨機(jī)誤差的性質(zhì)大量的測量實(shí)踐表明，多數(shù)隨機(jī)誤差，特別是在多種各不占優(yōu)勢的獨(dú)立隨機(jī)因素綜合作用下的隨機(jī)誤差，是服從正態(tài)分布律的，其概率密度函數(shù)為：式中y—概率分布密度，可理解為隨機(jī)誤差在單位區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率；—隨機(jī)誤差；—均方誤差；

e—自然對數(shù)的底，e=2.71828…隨機(jī)誤差的分布律正態(tài)分布曲線稱為“高斯曲線”

（Gauss）或“隨機(jī)誤差正態(tài)分布曲線”大量的測量實(shí)踐表明，多數(shù)隨機(jī)誤差，特別是在多種各不占優(yōu)勢的獨(dú)測值算術(shù)平均值不為零的正態(tài)分布這時概率密度函數(shù)將以算術(shù)平均值為曲線對稱軸，設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù)為其中μ，σ為常數(shù)，且σ>0，則稱ξ服從參數(shù)為μ，σ的正態(tài)分布，記為68.26%95.45%99.73%隨機(jī)誤差的分布律測值算術(shù)平均值不為零的正態(tài)分布這時概率密度函數(shù)將以算術(shù)平均值σ值不同時，正態(tài)分布概率密度曲線的變化隨機(jī)誤差的分布律σ值不同時，正態(tài)分布概率密度曲線的變化隨機(jī)誤差的分布律測值的算術(shù)平均值算術(shù)平均值設(shè)x1，x2，…xn為n次測量所得之值，該組測值的算術(shù)平均值為算術(shù)平均值原理由于隨機(jī)誤差的存在，對某一量值作多次重復(fù)測量所得的測值，必然是互不相同。這時，應(yīng)以所有測得值的算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，才是最合理的。測值的算術(shù)平均值算術(shù)平均值算術(shù)平均值原理算術(shù)平均值原理的證明設(shè)1，2…n為每次測量所產(chǎn)生的隨機(jī)誤差，若被測量的真值為L0，則有……將上述n式相加得

測值的算術(shù)平均值算術(shù)平均值原理的證明……將上述n式相加得測值的算術(shù)平均值根據(jù)隨機(jī)誤差的對稱性，當(dāng)n∞時隨著重復(fù)測量次數(shù)的增多，其所有測值的算術(shù)平均值最接近于真值。測值的算術(shù)平均值根據(jù)隨機(jī)誤差的對稱性，當(dāng)n∞時隨著重復(fù)測量次數(shù)的增多，其殘余誤差的代數(shù)和等于零，即（2－4）可以利用這一性質(zhì)對算術(shù)平均值的計算進(jìn)行校核。殘余誤差各個測得值與算術(shù)平均值之差，叫作殘余誤差（也稱殘差）vi，即（2－3）殘余誤差及其性質(zhì)殘余誤差的代數(shù)和等于零，即（2－4）可以利用這一性質(zhì)對算術(shù)標(biāo)準(zhǔn)偏差與實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差為了判斷隨機(jī)誤差對測量結(jié)果分散性的影響，有必要建立一項(xiàng)衡量測量結(jié)果分散性的數(shù)值指標(biāo)。最常用，也是最基本的一種指標(biāo)，為標(biāo)準(zhǔn)偏差，亦稱均方誤差，即高斯方程中的值。值越小，則e的指數(shù)的絕對值大，于是y隨的增加而減少得很快，即曲線更陡；與此同時，因小，所以e前面的系數(shù)值則大，從而對應(yīng)于誤差為零（=0）處的縱坐標(biāo)也更大，則曲線頂點(diǎn)更高。反之，越大，則曲線變化更平穩(wěn)，曲線頂點(diǎn)也更低。標(biāo)準(zhǔn)偏差與實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差為了判斷隨機(jī)誤差對測量結(jié)果分散性的影響標(biāo)準(zhǔn)偏差在等精度的測量列中，即同一條件下所得一系列測值中，各隨機(jī)誤差平方和平均值的平方根，即（2－5）存在問題：因其中的表示“真差”（即實(shí)際測得值與真值之差），而因?yàn)樵谝话闱闆r下真值未知，所以不能直接按定義求出值。上述定義只是數(shù)學(xué)理論意義上的定義，無法利用上式來計算單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差。單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差（2－5）存在問題：因其中的表示“真差”（即實(shí)際測單次測量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)[偏]差在實(shí)際測量中，只能用殘余誤差vi計算出標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值，稱為單次測量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)[偏]差，用s或s表示。如何由實(shí)際測量值的殘余誤差vi求s或s呢？由可得（2－6）單次測量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)[偏]差單次測量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)[偏]差由可得（2－6）單次測量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)各式相加得將上式（2－6式）中各等式平方后相加：單次測量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)[偏]差各式相加得將上式（2－6式）中各等式平方后相加：單次測量的實(shí)當(dāng)n適當(dāng)大時，可認(rèn)為代入式（2－8）有單次測量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)[偏]差當(dāng)n適當(dāng)大時，可認(rèn)為代入式（2－8）有單次測量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)[偏（2－10）式稱為貝塞爾（Bessel）公式根據(jù)它可由算術(shù)平均值的殘余誤差求得單次測量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。問題討論：貝塞爾（Bessel）公式是否只適用于正態(tài)分布?（2－10）（2－9）單次測量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)[偏]差說明：通常用表示標(biāo)準(zhǔn)偏差（定義式、理論公式）而用s或s表示單次測量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差（Bessel公式）（2－10）式稱為貝塞爾（Bessel）公式（2－10）（2用游標(biāo)卡尺測某一尺寸10次，數(shù)據(jù)見表（設(shè)無系統(tǒng)和粗大誤差），求算術(shù)平均值及單次測值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。測序li/mmvi/mmvi2/mm2175.01-0.0350.001225275.04-0.0050.000025375.07+0.0250.000625475.00-0.0450.002025575.03-0.0150.000225675.09+0.0450.002025775.06+0.0150.000225875.02-0.0250.000625975.05+0.0050.0000251075.08+0.0350.001225實(shí)例用游標(biāo)卡尺測某一尺寸10次，數(shù)據(jù)見表（設(shè)無系統(tǒng)和粗大誤差），可得課堂問題討論：利用貝賽爾公式求出的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差是上述10個測值的測量組中單次測量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。這如何理解？75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08這10個測值是等精度測量，每一個測值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差都是0.0303mm。實(shí)例可得課堂問題討論：利用貝賽爾公式求出的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差是上述10個單次測值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差在數(shù)據(jù)處理中的意義1）可比較不同測量組的測量可靠性

例：對同一被測量進(jìn)行了兩組測量（如由兩人），其數(shù)據(jù)是：

測量結(jié)果一樣，哪個測量者的測量水平高、測值更可靠？2）當(dāng)用單次測量值作為測量結(jié)果時，可反映單次測量測量結(jié)果的可靠性問題：何時會用單次測量值作為測量結(jié)果？單次測值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差在數(shù)據(jù)處理中的意義1）可比較不同測量組說明：（1）單次測量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s并非只測量一次就能得到的。對于一定的測量方法或量儀，必須通過多次測