-3萬有引力理論的成就

第七章萬有引力與宇宙航行

3萬有引力理論的成就

基礎(chǔ)過關(guān)練題組一計算天體的質(zhì)量（2020吉林長春高一下模擬）2019年1月3日“嫦娥四號'在月球背面成功著陸，在人類歷史上首次實現(xiàn)了航天器在月球背面軟著陸和巡視勘測。假定測得月球表面的自由落體加速度g,已知月球半徑R和月球繞地球運轉(zhuǎn)周期T,引力常量為G,根據(jù)萬有引力定律,就可以“稱量”出月球質(zhì)量了（忽略月球自轉(zhuǎn)影響）。月球質(zhì)量為（）A.—9「4ti2A.—9「4ti2R3

GT2D.t2r34n2G（2020北京豐臺高一下期末）我國發(fā)射的“嫦娥一號，衛(wèi)星經(jīng)過多次加速、變軌后,最終成功進入環(huán)月工作軌道。如圖所示，衛(wèi)星既可以在離月球比較近的圓軌道a上運動，也可以在離月球比較遠的圓軌道b上運動,衛(wèi)星在這兩個軌道上的運動均可視為勻速圓周運動。已知引力常量為G。若已知“嫦娥一號”的軌道半徑r和在此軌道上運行的周期T,則可計算出月球的質(zhì)量也下列表達式正確的是（）A.M=-C.M=-4712r3

GT2A.M=-C.M=-4712r3

GT24n2r

GT2B.M=D.M=4irrGT2T2r34n2G若地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期及其公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為T和R,月球繞地球公轉(zhuǎn)的周Mm期和公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為t和r,則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比優(yōu)為（）A.r3T2B.R3T2r3A.r3T2B.R3T2r3t2C.r2T3D.r2t37^A.A.B.C.D.（2019山東濰坊高一下期末）（多選）根據(jù)給出的信息能算出地球質(zhì)量的是（引力常量G已知）（）已知月球繞地球運動的周期T和地球的半徑r已知月球繞地球運動的角速度和月球中心離地球中心的距離r已知月球繞地球運動的周期T和軌道半徑r已知地球繞太陽運動的周期T和地球中心離太陽中心的距離rB根據(jù)物體在星球表面所受的重力等于萬有引力，有mg二GW，可得M二絲；由R Gp2三二工,推出地球與月球的密度之比為曳二皿,代入數(shù)據(jù)得42,故B正確。V 4ttRG p月g月R地 p月D根據(jù)密度公式可得p二上二三①，已知行星的半徑,不知道行星的質(zhì)量,無法求0y3出行星的密度,故A不符合題意;已知衛(wèi)星的半徑,無法求出行星的密度,故B不符2 2合題意；已知衛(wèi)星的運行速度,根據(jù)萬有引力提供向心力，有解得M=-,代R2R G入①式得P二三，由于不知道行星的半徑,故無法求出行星的密度,C不符合題意；4nGR2已知衛(wèi)星的運行周期,根據(jù)萬有引力提供向心力,有G等二m手R,解得M二噌,代入①R2T2 GT2式得P嗡，故D符合題意。C在星球兩極,物體所受重力等于萬有引力，有mgkG，,由此可得星球質(zhì)量為R2M二把;在星球赤道處，物體所受萬有引力與支持力的合力提供向心力，由牛頓第二G2定律有6個-啤二111女;又p旦占,聯(lián)立解得星球密度p'V'H故C正確。R2 T2廠V刎3 rGT2dl-g210.答案⑴工（2）2兀色74nGR 7gR2解析（1）在地球表面附近，有喈二mg⑵根據(jù)萬有引力提供向心力,有G肅二常⑴玨）解得解2兀又知GM=gR2所以T=2所以T=2兀gR?AC海王星是人們根據(jù)萬有引力定律計算出其軌道，然后由天文工作者在預(yù)言的位置附近觀察到的,天王星是人們通過望遠鏡觀察發(fā)現(xiàn)的；由于天王星的運行軌道偏離根據(jù)萬有引力定律計算出來的軌道，引起了人們的思考,推測天王星軌道以外存在其他行星,進而發(fā)現(xiàn)了海王星。故A、C正確,B、D錯誤。A開普勒在大量數(shù)據(jù)研究的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出了行星運動的規(guī)律,A正確;卡文迪什通過扭秤實驗結(jié)合“理想模型”物理思想測得引力常量G,B錯誤;英國的亞當(dāng)斯和法國的勒維耶各自獨立地利用萬有引力定律計算出了海王星的軌道，德國的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了海王星,人們稱海王星為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”,C錯誤；由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供向心力，得衛(wèi)星做圓周運動的周期T=叵,如果7GM軌道半徑取地球半徑,可以得出衛(wèi)星繞地球運行的最小周期為84min,故D錯誤。BC根據(jù)開普勒第二定律,彗星繞太陽沿橢圓軌道運動時，彗星與太陽的連線在相同時間內(nèi)掃過的面積相等，由此可知彗星在近日點附近的線速度和角速度均比在遠日點附近時大，故A、D錯誤,B正確;根據(jù)萬有引力提供向心力，有G與=ma,解得a二華,可知彗星離太陽越近,加速度越大,故C正確。BC當(dāng)星球的自轉(zhuǎn)周期小到一定值時,星球赤道處的物體對星球的壓力為零，此時萬有引力充當(dāng)向心力，有哼二m^R,解得T=2ti巨故B正確,A錯誤;又因星球R2T27GM的質(zhì)量M=pV=%pR3,可得T二島故C正確,D錯誤。D根據(jù)G^=m(-)2r=m-=mco2r=ina,可得公轉(zhuǎn)周期T=2?？谌?則地球公轉(zhuǎn)的周r2cr qGm太期較小,A錯誤;公轉(zhuǎn)的線速度v=檸,則地球公轉(zhuǎn)的線速度較大,B錯誤;公轉(zhuǎn)的加速度a二號,則地球公轉(zhuǎn)的加速度較大,C錯誤;公轉(zhuǎn)的角速度3二叵,則地球公轉(zhuǎn)r27r3的角速度較大,D正確。，故A錯誤;根據(jù)萬故B正確;根據(jù)萬有引力提供向BC根據(jù)萬有引力提供向心力,有G號二￡得線速度，故A錯誤;根據(jù)萬故B正確;根據(jù)萬有引力提供向有引力提供向心力,有G^=mco2r,得角速度3:心力，有哼一停)r,心力，有哼一停)r,得周期E兀層故,正確;根據(jù)萬有引力提供向心九有哼二叫得向心加速度a=^,故D錯誤。能力提升練3干，衛(wèi)星做圓周運動的半徑*，.C由題可知，衛(wèi)星的線速度v二1衛(wèi)星的角速度3干，衛(wèi)星做圓周運動的半徑*，3由G^=mco2r=mwv,解得M=^—,選項C正確。r2GOt2.A星球的質(zhì)量M二pV三ptcE飛船繞星球在任意高度運行時,萬有引力提供向心力,有端fm*(R+h),聯(lián)立解得「=喘：由上式可以判定，需測出飛船的運行周期T和飛船到星球表面的距離h,選項A錯誤,B正確；當(dāng)飛船繞星球表面運行時,有h=。,則P*，故需測出飛船的運行周期T,選項C正確；飛船著陸后，在星球表面物言，由上式可知，測出星體的重力等于萬有引力,有哨二G?結(jié)合M=pV*兀R;得p=R3言，由上式可知，測出星球表面的重力加速度g,即可得到星球的密度,選項D正確。故選Ao.C設(shè)球體空間中均勻分布的暗物質(zhì)質(zhì)量為叫行星質(zhì)量為mo,兩星球球心距離為2R,由萬有引力提供向心力得,行星轉(zhuǎn)動周期的理論值滿足G^=m0^R,行星轉(zhuǎn)動周K，理論期的觀測值滿足6把警初。fR，—=k(k>l),解得m=(k2-l)M,選項C正確。R7觀測7觀測.答案(1)6：1(2)1：1解析(1)設(shè)星球M和星球N表面的重力加速度分別為歐和g“P、Q兩物體的質(zhì)量分別為nip和mQo由牛頓第二定律可得mg-kx=ma故加速度a=--+gm由題圖可知土二沙,土二里mPXqttiq2xq解得ihq:mP=6：1⑵由a="—+g結(jié)合題圖可得g\i:gN-3：1在星球表面有mg=G^可得gRJ=GM又有卜仁手兀四.BD設(shè)行星繞恒星運動的軌道半徑為r,根據(jù)萬有引力提供向心力,有G哼二nArLr3其中V=-,解得r=-,M=—,選項A、C錯誤,B正確;行星的向心加速度為T2it 2ttGa=cov=—,D正確。.A對于探測器,萬有引力提供向心力,根據(jù)牛頓第二定律,有G叫+m?2R』,解得（2R）， T2m月二注,故A正確;在月球表面附近，物體的重力等于萬有引力，有mg月二，,解GT2 R2得月球表面的重力加速度為g月號二竽,故B錯誤;月球的密度P牛年琮,故2C錯誤;設(shè)月球表面的環(huán)繞速度為V,根據(jù)牛頓第二定律,有解得屋R導(dǎo)師點睛在解決天體運動中相關(guān)物理量的分析與計算問題時，要緊扣兩個關(guān)鍵:一是緊扣一個物理模型，即將天體（或衛(wèi)星）的運動看成是勻速圓周運動；二是緊扣物體做圓周運動的動力學(xué)特征，即天體（或衛(wèi)星）的向心力由萬有引力提供。還要記住一個結(jié)論:在向心加速度、線速度、角速度和周期這四個物理量中，只有周期隨著軌道半徑的增大而增大,其余的三個物理量都隨軌道半徑的增大而減小。.D設(shè)星體也和S2的質(zhì)量分別為四、m2,星體SI做圓周運動的向心力由萬有引力2 22提供,可得G電力竽,解得叱二三N故D正確。.BD互相圍繞運行的恒星屬于雙星系統(tǒng)，大、小兩顆恒星的轉(zhuǎn)動周期和角速度均相等,故A錯誤,B正確；設(shè)大恒星距兩恒星運動軌跡的圓心的距離為X1,小恒星距兩恒星運動軌跡的圓心的距離為x2,有M31爭％可得大、小兩顆恒星的轉(zhuǎn)動半徑之比為1：3,C錯誤,D正確。（2020天津?qū)嶒炛袑W(xué)高二上期中，節(jié)選）2016年8月16日，我國科學(xué)家自主研制的世界首顆量子科學(xué)實驗衛(wèi)星“墨子號”成功發(fā)射,并進入預(yù)定圓軌道。已知“墨子號”衛(wèi)星的質(zhì)量為m,其運行軌道離地面的高度為h,繞地球運行的周期為T,地球半徑為R,引力常量為G。求：⑴“墨子號'衛(wèi)星的向心力大??；（2）地球的質(zhì)量。（2020河北石家莊二中高一下期末）宇航員在一星球表面附近高h處，以初速度v。豎直向上拋出一小球,經(jīng)過時間t小球落到星球表面。已知該星球的半徑為R,引力常量為G,不計星球表面的氣體阻力,則該星球表面的重力加速度和星球質(zhì)量分別為多大？題組二計算天體的密度（2020安徽合肥一中高三模擬）關(guān)于月球的形成，目前主要有“俘獲說”“分離說”兩種說法。若月球是從地球分離出去的，則地球與月球的密度應(yīng)該大致相等。請選用下列某些條件求出地球與月球的密度之比,約為（）m/s2m/s2m/s2m/s2xlObm

xlObmxlO8m天.xlO11N-mVkgz（2020天津一中高一下期末）某行星的衛(wèi)星，在靠近行星表面的軌道上運動，已知引力常量為G,若要計算該行星的密度，只需測量出的一個物理量是（）A.行星的半徑 B.衛(wèi)星的半徑C.衛(wèi)星運行的線速度 D.衛(wèi)星運行的周期（2020陜西西安中學(xué)高一下期中）假設(shè)某星球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知該星球表面的重力加速度在兩極的大小為gl,在赤道的大小為g2,星球自轉(zhuǎn)的周期為T,引力常量為G,則該星球的密度為（）A,各 B,至包GT2 GT2g2C3n.g1 03元.GT?g1~g2 GT2 gx年6月23日9時43分,我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射了第五十五顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星。假設(shè)該衛(wèi)星在距離地球表面高為h的軌道上繞地球做勻速圓周運動,地球半徑為R,地球表面重力加速度為g,引力常量為G,地球的體積為V=，R3,忽略地球自轉(zhuǎn)的影響。求：（1）地球的平均密度p;⑵該人造衛(wèi)星繞地球運動的周期To題組三對未知天體的判斷（2020江蘇揚州大橋高級中學(xué)高一下期中）（多選）下列說法正確的是（ ）A.海王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算出其運行軌道而發(fā)現(xiàn)的B.天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算出其運行軌道而發(fā)現(xiàn)的C.天王星的運行軌道偏離根據(jù)萬有引力定律計算出來的軌道,其原因是天王星受到軌道外面其他行星的引力作用D.以上說法都不對（2020江西南昌二中高一下月考）關(guān)于行星運動的規(guī)律，下列說法符合史實和事實的是（）A.開普勒在大量數(shù)據(jù)研究的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出了行星運動的規(guī)律B.牛頓通過扭秤實驗結(jié)合“理想模型”物理思想測得引力常量GC.天王星的運動軌道是亞當(dāng)斯和開普勒共同研究推算出來的,后人稱天王星為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”D.在地球表面可以發(fā)射一顆衛(wèi)星,繞地球運行的周期小于84分鐘題組四天體運動中相關(guān)物理量的分析與計算（2020江蘇蘇州實驗中學(xué)高一下月考）（多選）“坦普爾一號’彗星繞太陽運行的軌道是一個橢圓,其運動周期為年。關(guān)于“坦普爾一號'彗星，下列說法中正確的是（）A.彗星繞太陽運動的角速度不變B.彗星在近日點處的線速度大于在遠日點處的線速度C.彗星在近日點處的加速度大于在遠日點處的加速度D.彗星在近日點處的線速度小于在遠日點處的線速度（2019湖北武漢第三中學(xué)高一下期中）（多選）組成星球的物質(zhì)是靠引力吸引在一起的,這樣星球就有一個最大自轉(zhuǎn)速度,如果超出了該速度,星球的萬有引力將不足以維持其赤道附近的物體隨星球做圓周運動，由此能得到半徑為R、密度為p、質(zhì)量為M且質(zhì)量均勻分布的星球的最小自轉(zhuǎn)周期T,下列表達式中正確的是（）A.T=2tt3腔GMB.T=2兀R3GMA.T=2tt3腔GMB.T=2兀R3GMC.T=D.T=（2019遼寧大連高二上期末）假設(shè)地球和火星都繞太陽做勻速圓周運動，已知地球到太陽的距離小于火星到太陽的距離，則（）A.地球公轉(zhuǎn)的周期大于火星公轉(zhuǎn)的周期B.地球公轉(zhuǎn)的線速度小于火星公轉(zhuǎn)的線速度C.地球公轉(zhuǎn)的加速度小于火星公轉(zhuǎn)的加速度D.地球公轉(zhuǎn)的角速度大于火星公轉(zhuǎn)的角速度（2020天津部分區(qū)高二上期末）（多選）2018年12月8日，肩負(fù)著億萬中華兒女探月飛天夢想的嫦娥四號探測器成功發(fā)射,實現(xiàn)了人類航天器首次在月球背面巡視探測，率先在月背刻上了中國足跡。已知月球的質(zhì)量為M半徑為R,探測器的質(zhì)量為m,引力常量為Go嫦娥四號探測器圍繞月球做半徑為r的勻速圓周運動時,探測器的（）A.線速度為詈A.線速度為詈B.角速度為詈C.周期為2C.周期為2兀R乙能力提升練題組一天體的質(zhì)量和密度的計算（2020河南九師聯(lián)盟高三聯(lián)考,#?）某衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，t時間內(nèi)這顆衛(wèi)星運動的軌跡長為s,這段時間內(nèi)衛(wèi)星的運動方向改變了。角，已知引力常量為G,由此可求得地球的質(zhì)量為（ ）asr§2「§3nsG63t2 D.Ge2t2 "^7 D.G63t3（2020山西朔州應(yīng)縣一中高一下月考,#?）宇航員乘飛船前往A星球，其中有一項任務(wù)是測該星球的密度。已知該星球的半徑為R,引力常量為G。結(jié)合已知量，有同學(xué)為宇航員設(shè)計了以下幾種測量方案，你認(rèn)為不正確的是（不考慮星球自轉(zhuǎn)的影響）（）A.當(dāng)飛船繞星球在任意高度運行時,測出飛船的運行周期TB.當(dāng)飛船繞星球在任意高度運行時,測出飛船的運行周期T和飛船到星球表面的距離hC.當(dāng)飛船靠近星球表面繞星球運行時,測出飛船的運行周期TD.當(dāng)飛船著陸后,宇航員測出該星球表面的重力加速度g(#?)2019年10月31日為“2019年國際暗物質(zhì)日”，當(dāng)天，中國錦屏實驗室和英國伯畢實驗室作為兩個世界著名暗物質(zhì)實驗室首次進行了公開互動。假設(shè)某一行星繞恒星中心轉(zhuǎn)動,行星轉(zhuǎn)動周期的理論值與實際觀測值之比普二k(k〉l)?？茖W(xué)家丁觀測推測,在以兩星球球心連線為半徑的球體空間中均勻分布著暗物質(zhì)，設(shè)恒星質(zhì)量為M,據(jù)此推測，暗物質(zhì)的質(zhì)量為()2M2mC.(k-l)MD.(4k-l)M(2020四川成都外國語學(xué)校高一下期末,水?)在星球M上，將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上,把物體P輕放在彈簧上端,P由靜止向下運動,其加速度a與彈簧的壓縮量x之間的關(guān)系如圖中實線所示。在另一星球N上,用完全相同的彈簧,改用物體Q完成同樣的過程,其a-x關(guān)系如圖中虛線所示。假設(shè)兩星球均為質(zhì)量均勻分布的球體，已知星球M的半徑是星球N的3倍，求：(1)Q和P的質(zhì)量之比；(2)星球M和星球N的密度之比。題組二天體運動中相關(guān)物理量的分析與計算（2019河南鄭州高二上期末，聚?）（多選）一行星繞某恒星做勻速圓周運動，由天文觀測可得,恒星的半徑為R,行星的運行周期為T,線速度大小為v,引力常量為Go下列說法正確的是（）A.恒星的質(zhì)量為B.A.恒星的質(zhì)量為B.恒星的質(zhì)量為4h2r3GT2Tv32nGC.行星的軌道半徑為?271D.行星的向心加速度為平（2019廣東深圳高二上期中，"）“嫦娥五號探測器由軌道器、返回器、著陸器等多個部分組成，自動完成月面樣品采集，并從月球起飛返回地球。若已知月球半徑為R,探測器在距月球表面高為R的圓軌道上飛行,周期為T,引力常量為G,下列說法正確的是（深度解析）A.月球質(zhì)量為粵裝B.月球表面的重力加速度為誓C.月球的密度為照D.月球表面的環(huán)繞速度為平題組三天體運動中的“雙星”模型（2020天津南開中學(xué)高三月考,水?）銀河系的恒星中有很多是雙星。某雙星系統(tǒng)由質(zhì)量不相等的星體Si和S2構(gòu)成,兩星在相互的萬有引力作用下繞兩者連線上的某一定點C做勻速圓周運動。由天文觀察測得其運動周期為T,S1到C點的距離為和S2之間的距離為r,已知引力常量為G。可求出S2的質(zhì)量為（）A.4112r2（r-ri）GTA.4112r2（r-ri）GT2B.4n2rfGT2c.GT2D.4112r2rlGT2（2020江蘇如皋中學(xué)高一下月考,#?）（多選）天文學(xué)家觀測發(fā)現(xiàn)的雙子星系統(tǒng)”開普勒一47”有一對互相圍繞運行的恒星,其