2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營 第六單元 數(shù)列

第六單元數(shù)列

第1節(jié)數(shù)列的概念

⑥目標(biāo)任務(wù)

課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1.由an與S〃的關(guān)

1.結(jié)合實例了解數(shù)列的概念.

系求dn

2.了解數(shù)列的幾種簡單表示方法（列數(shù)學(xué)抽象

2.由數(shù)列的遞推

表、圖象、通項公式）.邏輯推理

關(guān)系求通項公式

3.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類數(shù)學(xué)運算

3.數(shù)列的性質(zhì)及

特殊函數(shù)

應(yīng)用

策團明E3ED知識必記課前預(yù)案

知識必記:夯基礎(chǔ)構(gòu)體系

1.數(shù)列的有關(guān)概念

概念含義

數(shù)列按照________排列的一列數(shù)

數(shù)列的項數(shù)列中的________

數(shù)列的通項數(shù)列｛〃〃｝的第〃項an

數(shù)列｛%｝的第〃項知與〃之間的關(guān)系能用公式________表示，

通項公式

這個公式叫作數(shù)列的通項公式

前〃項和數(shù)列｛an｝中，Sn=________叫作數(shù)列的前〃項和

［思考］數(shù)列的項與項數(shù)是一個概念嗎？

提示：不是.數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應(yīng)的位

置序號.

2.數(shù)列的表示方法

列表法列表格表示n與圓的對應(yīng)關(guān)系

圖象法把點________畫在平面直角坐標(biāo)系中

通項公式把數(shù)列的通項使用________表示的方法

公式

使用初始值和如+1=/3〃）或41,。2和斯+1=/（斯，斯-。等表

法遞推公式

示數(shù)列的方法

［注意］通項公式和遞推公式的異同點.

不同點相同點

通項可根據(jù)某項的序號〃的值，直接代

公式入求出Cln

都可確定一個數(shù)列，也都可求出數(shù)

可根據(jù)第一項（或前幾項）的值，通過

遞推列的任意一項

一次（或多次）賦值，逐項求出數(shù)列

公式

的項，直至求出所需的

34與S”的關(guān)系

若數(shù)列｛m｝的前〃項和為5”，則??=.

［注意］在利用數(shù)列的前〃項和求通項時，往往容易忽略先求出⑶，而是直接把

數(shù)列的通項公式寫成a”=S“一Si的形式，但它只適用于〃22的情形.

4.數(shù)列的分類

5.常用結(jié)論

⑴數(shù)列通項公式的注意點：

①并不是所有的數(shù)列都有通項公式；

②同一個數(shù)列的通項公式在形式上未必唯一；

③對于一個數(shù)列，如果只知道它的前幾項，而沒有指出它的變化規(guī)律，是不能確

定這個數(shù)列.

Si,1,

⑵若數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”通項公式為斯，則斯=°.。Z*

Sn-1,.

Cln三CLn—HClu^^Cln—\,

(3)在數(shù)列｛&｝中，若a”最大,則，若斯最小，則,

CLn,與斯+1.Wa〃+1.

必記答案：1.一定順序每一個數(shù)m=/(〃)

a1+〃2+…+?！?/p>

2.(n,aft)函數(shù)解析式

5i,n=1,

3.1、

5—Si,心2

拓展鏈接,拓知能聯(lián)高考

1.［知識外延］數(shù)列的“離散性”及應(yīng)用

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域是“離散”的正整數(shù)集N”(或它的有限子集｛1,

2,3,…，〃｝).取整函數(shù)具有與數(shù)列類似的“離散性”，常作為數(shù)列創(chuàng)新問題的

載體.

【例】給出定義：x=［x］+｛x｝,［xjeZ,OW｛x｝Vl,其中國表示x的整數(shù)部分，

｛x｝表示X的小數(shù)部分.已知數(shù)列｛m｝滿足0=小，斯+1=［斯］+而y,則42021—42020

答案：6一小

22/—

解析：因為。1=小，。"+1=［如］+離y,所以42=2+下—2=6+24,。3=10+

22?

邛工=12+小,。4=14+^^=18+2小，3=22+^^=24+小，…，

所以3)20=6X2019+2小，G021=6X2020+小.則Q2021~(22020=6—y［5.

2.［思想方法］數(shù)列中歸納猜想思想的應(yīng)用

歸納猜想是數(shù)列應(yīng)用的重要方向，常作為開放題的命題參照.

【例】設(shè)數(shù)列｛&｝的前〃項和為S”且V〃dN*,an+l>an,S”2s6.請寫出一個滿足

條件的數(shù)列｛斯｝的通項公式酸=.

答案：〃一6(〃@N")(答案不唯—*)

解析：V〃eN",an+i>an,則數(shù)列｛斯｝是遞增的,

V〃dN*,S.2s6,即8最小，只要前6項均為負(fù)數(shù)，或前5項為負(fù)數(shù)，第6項為

0即可，所以滿足條件的數(shù)列｛知｝的一個通項公式a”=〃-6(〃GN*)

3.［學(xué)以致用］數(shù)列單調(diào)性的判定

判斷數(shù)列的單調(diào)性，可應(yīng)用作差法、作商法、構(gòu)造法及求導(dǎo)法等進行.

〃+1

【例】已知斯=萬二不〃GN*),判斷數(shù)列｛知｝的單調(diào)性.

._.,乙“I,,〃+2〃+1—3

解：法一(作差比較法)，*.""+1—?！?2〃+1-2〃-1=(2〃+1)(2〃-1)

<0(〃eN*),數(shù)列｛為｝是遞減數(shù)列.

I］?3

法二(構(gòu)造函數(shù)法)，設(shè)/(X)=￡_］=2+2(2x二1),在口，+8)上為減函數(shù),

數(shù)列｛詼｝是遞減數(shù)列.

3

<0

法三(導(dǎo)數(shù)法)，?.7(x)=-(2v-i)~>?7/'。)在［1，+8)上為減函數(shù),

...數(shù)列｛斯｝是遞減數(shù)列.

對點...練基礎(chǔ)固知識

1.［易錯診斷］⑴已知S〃=2"+3,則跖尸

5,n=1

答案：

2"-1,心2

1

解析：因為Sa=2"+3,所以當(dāng)n=\時，?|=51=24-3=5:當(dāng)〃22時，an=Sn

—S1=2"+3—(2"r+3)=2"-i(*).由于防=5不滿足(*)式，所以a?=

5,n=

<1,

2W-1,心2.

【易錯點撥】根據(jù)S,求?！睍r忽視對〃=1的驗證致誤.

(2)在數(shù)列｛如｝中，斯=—/+6〃+7,當(dāng)其前〃項和S”取最大值時，n=.

答案：6或7

解析：令a”=—/+6〃+720,得一由題意知z?GhT,所以

1W〃W7(〃6N*),所以該數(shù)列的第7項為零，且從第8項開始如<0,則S6=Sy

最大.

【易錯點撥】求數(shù)列前〃項和S”的最值時忽視項為零的情況致誤.

2"教材改編］如圖，古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).例如：

稱圖中的數(shù)1,5,12,22,…為五邊形數(shù)，則第8個五邊形數(shù)是.

1512122

答案：92

解析：?.?5—1=4,12—5=7,22—12=10,...相鄰兩個圖形的小石子數(shù)的差值依

次增加3,

.?.第5個五邊形數(shù)是22+13=35,第6個五邊形數(shù)是35+16=51,第7個五邊形

數(shù)是51+19=70,第8個五邊形數(shù)是70+22=92.

3.［模擬演練］(2022?云南省聯(lián)考)已知數(shù)列｛m｝的前〃項和為Sn，且Sn=an+i+n

-2,m=2,則｛為｝的通項公式為()

A.a"=2"T—1B.圓=2"7

n

C.ai,=2-'+\D.an=T

答案：C

解析：由5"=。"+1+〃一2①，

得3(〃22)②，

由①一②可得為+i=2m-1(〃22),

所以斯+i—1=2(即一1)(〃22),

又Si=a2+l—2,ai=2,則s=3,

因此｛小一1｝是以“2—1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以斯一1=2"T,即a”=l+2"T(〃22),

當(dāng)n=\時也滿足該式，所以?！?2"一+1.故選C.

4.［真題體驗］我國古代數(shù)學(xué)家楊輝、朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，

如數(shù)列｛-2一｝就是二階等差數(shù)列.數(shù)歹U｛一2一｝(〃WN*)的前3項和是

答案：10

n(〃+1)

解析：數(shù)列｛〃“｝滿足=----2----，可得0=1，42=3,673=6,所以§3=1+3

+6=10.

電-國□EU??核心突破課堂學(xué)案

特訓(xùn)點1由斯與S,的關(guān)系求通項公式【自主沖關(guān)類】

［題組?沖關(guān)］

1.記S"為數(shù)列｛?。那啊椇?，若5"=2%+1,則引=.

解析：?.3=2電+1,

當(dāng)“22時，5n-i=26i,（-i+1,

=

Qn~Sn—Sn-l2an—2tZZI-],即Cln=2。〃-1.

當(dāng)”=1時，a\=S\=2a\+\,得0=—1.

數(shù)列｛斯｝是首項a\為-1,公比q為2的等比數(shù)列，

",=一1X2"7=-2"T.

2.已知數(shù)歹1」｛斯｝滿足ai+2a2+3的+…+”m=2",則為=

仔，〃=1

答案：\2"-1

,〃22

In

解析：當(dāng)〃=1時，由已知可得ai=2.2.

2a2+3^3+…+〃。尸2",①

.,.01+2.2+3。3H---F（〃一1）44-1=2"一|（〃22）,②

由①一②得〃痣=2"—2"-1=2"-1,：.a?=

顯然當(dāng)n=\時不滿足上式,

2,〃=1

2"T

,n22

In

3.（2022?廣州質(zhì)檢）已知5為數(shù)列｛m｝的前〃項和，且log2⑸+1）=〃+1,則數(shù)列

｛&｝的通項公式為.

3,n=1

答案：a”

2n,心2

解析：由log2（S“+l）=〃+l,得S“+l=2"+i,

當(dāng)〃=1時，ai=Si=3;

n

當(dāng)〃22時,an=Sn-Sn-i=2,

n=\時，不滿足上式.

13,〃=1,

所以數(shù)列｛e,｝的通項公式為斯=，千，

［錦囊?妙法］

1.已知Sn求an的流程：

(1)先利用ai=Si求出?;

⑵用n-l替換S”中的〃得到一個新的關(guān)系，利用斯=SLSLI(〃22)便可求出當(dāng)

〃22時火的表達式；

(3)注意檢驗〃=1時的表達式是否可以與〃22的表達式合并.

2.S”與a“關(guān)系問題的求解思路

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.

(1)利用斯=S”-S”-i(〃22)轉(zhuǎn)化為只含S〃-i的關(guān)系式,再求解.

(2)利用*一*-1=。"(〃22)轉(zhuǎn)化為只含“”，a,LI的關(guān)系式，再求解.

特訓(xùn)點2由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式【師生共研類】

方法

n

典例1設(shè)數(shù)列｛%｝中，ai=2,若斯+i=a“+〃+l,則an=;若斯+1=不不

a”,貝Ua“=.

［解題指導(dǎo)］

將數(shù)列關(guān)系轉(zhuǎn)化為斯+1=?！?/(〃)(或旦=/(〃))應(yīng)用累加(或累乘)法

Cln—1求數(shù)列的通項公式

小金川+幾+22

答案：七一-

解析：由條件知a”+i—m=〃+1,

則。”=（政—ai）+（&3—42）+（＜24-。3）+…+（斯-斯-0+ai=（2+3+4+…+〃）+2

〃」+〃+2

..___n__n..n.如___?_

n+1ann+1

anan-1an-2a3ain—1n~2n-312

..afl=----??...........?—?a\=----?-----?.........彳?2=一?

an-\?！?23。2ct\nn—1〃—22n

◎思維發(fā)散◎

1.(變條件)若將“斯+1=斯+般+1”改為“斯+尸2斯+3”，如何求解？

解：設(shè)遞推公式為+1=2%+3可以轉(zhuǎn)化為?！?1-/=2(小一即。”+1=2。"一/,解

得/=—3,故如+1+3=23”+3).令兒=④+3,則加=。1+3=5,且牛^?！?1+3

On。〃+3

=2,所以｛為｝是以5為首項，2為公比的等比數(shù)列.

所以兒=5X2"-[故如=5X2"~-3.

2.(變條件)若將“a“+i=a“+”+l”改為“a“+i=T'"，如何求解?

ClfiIL

,.2an

解:?加一群方。］=2,W0,

?-L1l

=+口111又ai=2,則W，

'?Ir\9即二

Cln+14〃乙

...｛；｝是以〈為首項，〈為公差的等差數(shù)列.

UnZ乙

11,1n2

??一=一+(n-l)X-=-,/.an=~.

anQi22n

3.(變條件)若將本例條件換為“0=1,斯+1+斯=2〃"，如何求解？

解：Vaft+\+an=2n,/.an+2+cin+1=2T?+2,故a〃+2—?！?2,

即數(shù)列｛斯｝的奇數(shù)項與偶數(shù)項都是公差為2的等差數(shù)列.

n

當(dāng)〃為偶數(shù)時，02=1,故斯=42+2(1—1)="-1；

〃+1

當(dāng)〃為奇數(shù)時，ai=l,故如=0+2(-^――l)=l+〃+l—2=〃.

n,〃為奇數(shù),

綜上所述,、，，(〃￡N+).

n-1,〃為偶數(shù)b

規(guī)律

1.由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的常用方法

(1)已知且斯一a”T=/(〃)，可用“累加法”求a,,.

(2)已知0(0^0),且人=/("),可用“累乘法”求為.

Cln-\

(3)已知a\,且an+\=qan+b9則斯+i+Z=q(q〃+左)(其中k可用待定系數(shù)法確定),

可轉(zhuǎn)化為｛an+k｝為等比數(shù)列.

(4)形如斯+i=n一上;(A,B,。為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構(gòu)

DClnIC

造新數(shù)列求解.

2.注意避免2種失誤

(1)利用累乘法，易出現(xiàn)兩個方面的問題：一是在連乘的式子中只寫到,，漏掉m

而導(dǎo)致錯誤；二是根據(jù)連乘求出為之后，不注意檢驗⑶是否成立；

(2)利用構(gòu)造法求解時應(yīng)注意數(shù)列的首項的正確求解以及準(zhǔn)確確定最后一個式子

的形式.

能力......................練能力學(xué)方法

1.已知數(shù)列｛為｝的前〃項和為S”若“1=2,?！?1=。"+2"-1+1,則斯=

答案:2n-1+n

解析：a1=2,即+1=%+2"T+1=>a,l+1—<7,i=2"T+1=>an=｛a,—a?-i)+(斯-lan-

1—2"-

2)H-----F(a3-42)+(“2—ai)+ai,則a"=2"2+2"-----F2+1+/?-1+?i=j—2

+“-1+2=2"-十幾

2.已知數(shù)列｛為｝的前〃項和為S”且滿足4(〃+1>(*+1)=(〃+2)2斯，則數(shù)列｛a〃｝

的通項公式為()

A.(2?+1)2-1B.(2〃+1)2

C.8/D.(〃+1)3

答案：D

解析：在4(n+l)-(Sn+1)=(〃+2)%“中，

令n=1,得8(oi+l)==9tii,所以ai=8,

因為4(〃+1).(S?+1)=(〃+2)2須，①

所以4〃?(S"-i+1)=(〃+1)??！?(〃22),②

??(〃+2)2(/14-1)2

①一②仔，4斯=―扃7―a'~-an-\,

—n2(〃+l)2(〃+l)③

印"Cln-\,a=_3Cl-\,

n+1nnnn

所以an=------X------X???X—Xai

Cln—12

1)n3...

=—j—X3X“?X］X8=(〃+1)3(〃22),

又ai=8也滿足此式，所以數(shù)列｛z｝的通項公式為5+1)3.故選D.

特訓(xùn)點3數(shù)列的性質(zhì)【多維考向類】

方法

考向1數(shù)列的周期性

典例2(2022?廣元聯(lián)考)已知數(shù)列｛%｝,若斯+i=a“+a“+2(〃WN*),則稱數(shù)列｛斯｝

為“凸數(shù)列”.已知數(shù)列｛d｝為“凸數(shù)列"，且歷=1,歷=-2,則(d｝的前2022

項的和為()

A.0B.1

C.~5D.—1

［解題指導(dǎo)］

根據(jù)遞推關(guān)系寫出數(shù)列的前幾項一觀察各項數(shù)值變化規(guī)律確定周期一按周期關(guān)系

求值

答案：A

bn+2=bn+l—bn,"1=1,歷=-2,

；.歷=歷一切=-2-1=-3,

。4="一岳=-1,

匕5=/?4—加=—1—(—3)=2,

/?6=^5—^4=2—(—1)=3,

歷=%—/75=3—2=1.

｛兒｝是周期為6的周期數(shù)列，

且56=1—2—3—1+2+3=0.

?*-52022=§337x6=0.

點撥

解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納確定數(shù)列的周期，再根據(jù)

周期性求出有關(guān)項的值或者前n項和.

考向2數(shù)列的單調(diào)性

典例3(1)已知等差數(shù)列｛斯｝的前n項和為S,(〃WN*),且跖尸2〃十九若數(shù)列

｛S”｝(〃27,〃6N*)為遞增數(shù)列，則實數(shù)2的取值范圍為.

(2。-1)x+4(xWl)

(2)已知/(x)=<，，、的定義域為乩數(shù)列｛?！保?〃611*)滿足處

o(X>1)

=/(")，且｛“,｝是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(1,+°°)B.(；,+°°)

C.(1,3)D.(3,+8)

答案：(1)(—16,+8)(2)D

解析：(1)當(dāng)〃27時,數(shù)列｛&｝為遞增數(shù)列，設(shè)S.+AS",即S,+|-S”=斯+A0,

注意：通過｛SJ為遞增數(shù)列，根據(jù)和與通項的關(guān)系確定斯+1與0的關(guān)系.

.,.<2,1+1=2(/7+1)+2>0,則2>—2n—2.

通過賦值法列出不等式，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)最值問題.

義?：n》7,A-2/?-2^-16,即2>—16.

(2)首先保證分段函數(shù)的每一段遞增，

由于｛a“｝是遞增數(shù)列，所以a>l.

根據(jù)函數(shù)的圖象特征，確定分段函數(shù)在接點位置的函數(shù)值滿足的不等關(guān)系，

且/⑵》■⑴，即標(biāo)>24+3,解得〃<一1或a>3,

通過對以上條件取交集確定最后參數(shù)的取值范圍，

所以a>3.

國輯技巧;

解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法

根據(jù)a“+1—an的符號判斷數(shù)列｛m｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常

作差比較法

數(shù)列

作商比較法根據(jù)生々知>0或小<0)與1的大小關(guān)系進行判斷

Cln

數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷

考向3數(shù)列的最大(小)項

典例4(2022.鷹潭模擬)&是數(shù)列｛&｝的前〃項和，且斯-5“=%—%.

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)若bn=2an—5an,求數(shù)列｛d｝中最小的項.

解：根據(jù)和與通項的關(guān)系列出方程作差求出數(shù)列通項.

⑴對任意的〃CN”,由％—5"=%—%,得m+LS"+i=g(〃+l)—3(〃+1):

兩式相減得a”=〃，因此數(shù)列｛詼｝的通項公式為aH=n.

(2)寫出數(shù)列g(shù)”｝的通項,

由(1)得力=2"—5〃,

通過作差法作出?！?1一仇，根據(jù)〃的范圍分析大小關(guān)系，

則為+1一仇=[2"+1—5(〃+1)]一(2"—5〃)=2"—5.

當(dāng)“W2時，bn+i—bn<0,

即bn+\<bn,.,.加>歷>/?3；

當(dāng)時，bn+\—hn>Q,

即bn+l>bn,.,)3</?4</?5<….

根據(jù)以上推理的大小關(guān)系確定｛仇｝中的最小項，

所以數(shù)列｛仇｝的最小項加=23—5X3=-7.

麗

求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法

(1)函數(shù)法，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，再求出數(shù)列的最大(小)項.

(2)利用“兩邊夾”思想.

a”三〃〃-1,⑨71,

利用(〃22)確定最大項,利用,(八22)確定最小項.

〃+1

(3)比較法：若有斯+i—斯="〃+1)—/(〃)>0(或當(dāng)④>0時，--->1),則斯+i>斯，

Cln

則數(shù)列｛&"｝是遞增數(shù)列，所以數(shù)列｛&"｝的最小項為0;若有斯+1一m=/(〃+1)—

/(〃)<0(或當(dāng)斯>0時，等<1),則斯+1<斯，則數(shù)列｛斯｝是遞減數(shù)列，所以數(shù)列｛如｝

Cln

的最大項為Cl\.

因國訓(xùn)練分層鞏固提升

A級(基礎(chǔ)應(yīng)用練)

1.(2022.福建聯(lián)考)若數(shù)列的前4項分別是今-1,則此數(shù)列的一個通項

公式為()

(-1)”

A'~~B-n+\

(-1)"(—1)n-\

C.---------D.-----------

nn

答案:A

由于數(shù)列的前4項分別是3，-1,可得奇數(shù)項為正數(shù)，偶數(shù)項為

解析:

(―1)"+1

負(fù)數(shù),第〃項的絕對值等于,故此數(shù)列的一個通項公式為—?故選

〃+1

A.

2n

2.（2022?山東摸底）數(shù)列｛為｝的前〃項和S”=干，則引=（）

A"

D，2〃(〃+1)

答案:B

2〃2(?—1)

解析:當(dāng)〃=1時，ai=5i=l,當(dāng)時，a=S—S-\

nnrl〃+1n

2

,驗證，當(dāng)〃=1時ai滿足，故選B.

n(幾+1)

3.（2022?遼寧本溪市模擬）記S”為數(shù)列｛如｝的前〃項和，“任意正整數(shù)“，均有

＞0"是"｛&｝是遞增數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案：A

解析：???“小＞0"="數(shù)列｛S”｝是遞增數(shù)列”，

...“斯＞0”是“數(shù)列｛SJ是遞增數(shù)列”的充分條件.

如數(shù)列｛斯｝為-1,1,3,5,7,9,…，顯然數(shù)列｛SQ是遞增數(shù)列,但是斯不一

定大于零，還有可能小于零,

“數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列”不能推出.

...’'圓>0”是“數(shù)列｛SJ是遞增數(shù)列”的不必要條件，

...%“>0”是“數(shù)列｛SJ是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

4.(2022?河北省保定期末)在數(shù)列｛m｝中，若ai=l,z=3,3+2=斯+1一。〃(〃eN*),

則Sioo=()

A.18

答案：C

解析：=“2=3,?！?2=斯+1—a”(〃eN),/.ci3~3—1=2,々4=2—3=—1,

。5=-1-2=-3,。6=-3+1=-2,(17=-2+3=1,制=1+2=3,。9=3-1=

2,…，是周期為6的周期數(shù)列.7100=16X6+4,

...Sioo=16X(l+3+2-l—3-2)+(l+3+2—1)=5.故選C.

_//〃(,2-1-1)

5.(2022?咸陽模擬)已知在正項數(shù)列｛斯｝中，y[a]+y[a2-\----

則數(shù)列｛④｝的通項公式為()

A.CLn=〃B.dn=〃2

答案：B

斛析：由通意仔5—2=〃(〃22),

2

又dW=1也符合上式，所以d￡="(〃21),an=n,故選B.

6.(2022.廣東省中山市期末)設(shè)數(shù)列｛如｝的前〃項和為S“且"1=1,｛S“+w“｝為

常數(shù)列，則為=()

12

A/B力(“+])

15—2〃

C---------------D-----

J(〃+1)Cn+2)D3

答案：B

9

解析：:數(shù)列｛斯｝的前幾項和為S”，且4=1,???S+1XQI=1+1=2,：｛Sn+nan｝

為常數(shù)列，由題意知，SfJ+na/t=2,當(dāng)時，(〃+1)〃〃=(〃一1)斯一1,從而

—。2?—。3-a-n--——1?一2

a;當(dāng)〃=1時上式成立，.1

a\。2加134"+1'''"n(〃+1)

2

Chi=/~'i、.故選B.

n（〃+1）

7.已知數(shù)列｛?。凉M足牝產(chǎn)=2,0=20,則字的最小值為（）

A.475B.4小一1

C.8D.9

答案：C

解析：由斯+i一m=2〃知痣―?=2*1,43—6=2X2,…，an—an-｝=2（?—1）,

以上各式相加得斯一0=/一%n22,

所以斯=層一〃+20,〃力2.

當(dāng)〃=1時，0=20符合上式，

所以包=/?+”—1,〃￡N*,

nn'

所以當(dāng)〃W4時，號單調(diào)遞減，當(dāng)〃25時，，單調(diào)遞增，

因為胃=臂,所以1的最小值為詈=,=8,故選C.

8.（2022?衡陽市聯(lián)考）在數(shù)列｛斯｝中，＜71=3,的+|=服+〃（〃；]）-，則?2=

，通項公式an=.

w71

答案:24~n

117

解析：由已知，。。不彳=

2=1+1人7^，=3+乙7乙.

因為Cln+\—Cln=7_I\="'-I,，

n（〃+1）nn+1

…?111

所以。2-0=]_g,。3_。2=/一§,…，

11

a-a-\=

nnn—1n

所以以上（〃一1）個式子累加可得，an—a\=l—~,

因為0=3,所以?！?4—

2

9.若數(shù)列｛詼｝的前n項和Sn=n+2n—l,則ai+ag=.

答案：21

解析：因為數(shù)列｛a”｝的前〃項和S"=〃2+2〃-1,所以令〃=1,解得ai=2,

22

又因為a9=S9-Ss=(9+2X9-l)-(8+2X8-l)=19,所以ai+a9=2+19=21.

H+1

10.已知數(shù)列的通項為斯=高二布(〃WN*),則數(shù)列｛服｝的最小項是第項.

答案：5

〃+1〃+1

解析：因為如=3〃二］6'數(shù)列｛&｝的最小項必為為<°，即3〃二］6<0,3〃-16<0,

從而“〈號，又因為〃GN*,且數(shù)列｛斯｝的前5項遞減，所以〃=5時a”的值最小.

B級(綜合創(chuàng)新練)

11.(多選題)(2022.遼寧大連聯(lián)考)已知數(shù)列｛&｝的前〃項和為SgWO),且滿足

a"+4S2-S=0(〃22),a\—^,則下列說法正確的是()

A.數(shù)列｛小｝的前n項和為A=,

B.數(shù)列他”｝的通項公式為如=4〃(:pi)

C.數(shù)列｛m｝為遞增數(shù)列

D.數(shù)列｛J｝為遞增數(shù)列

On

答案：AD

解析：由題意，可知數(shù)列｛a”｝的前〃項和為S”⑸于0),且滿足a“+4S”-］S”=0(〃22),

則S"—S”-i=-4SLIS"=>*—/1=4,又由ai=：,所以上=4,

所以數(shù)列也｝是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列山為遞增數(shù)列，

所以J~=4+(〃—1)X4=4〃，則S"=*.

11—11

=-=J

又由當(dāng)"三2時，an=Sn-Sn-14^44n又由0=不

fl

不〃=1

所以數(shù)列的通項公式為斯=<_1,

、4〃（?—1）,

故選AD.

12.（多選題）（2022?山東煙臺調(diào)研）斐波那契數(shù)列｛知｝：1,1,2,3,5,8,13,21,

34,又稱黃金分割數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔

子繁殖為例子引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，其通項公式&=去［（上乎）"一

（與亞力，是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例，該數(shù)列從第三項開始，每項等于

其前相鄰兩項之和，即斯+2=取+|+小.記該數(shù)列｛為｝的前〃項和為S”，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.S10—11^7B.42021=2〃2019+〃2018

C.52021—5,2020+52019D.$2019=。202?！?

答案：AB

解析：因為$0=143,1147=143,所以S］（）=11Q7,則A項正確；

由?！?2=?！?1+斯，得⑨?+1=處+。〃一1（〃22）,相加得?！?2=41+2〃〃，

所以。2021=2。2019+。2018,所以B項正確；

因為§2021=。1+。2+。3+44+…+。2021,

S2020=。1+。2H----F02020,

兩式錯位相減可得52021-$2020=1+0+。|+改+…+”2019=1+S2019,

所以$2021=S2O2o+§2019+1,所以C項錯誤；

因為5?=。［+。2+〃3-|----f~〃〃=（a3-。2）+（。4—〃3）+（。5-。4）+（。6-〃5）H-----1"（即+2

—?！?1）=?！?2一。2=斯+2—1,所以S2OI9=〃2O21—1,所以D項錯誤.故選AB.

13.（2022?江西贛州聯(lián)考）在數(shù)列伍”｝中，0=2,黑?=T+ln（l+%,則an=

答案：2n+nlnn

解析：由題意得E—j=ln(〃+l)Tn%二一==ln"—In(〃-1)(心2).

Ay-j-=ln2—In1,y—y=ln3—In2,??

Cln-\.、

_1=ln〃-In(〃-1)("22).

nn—\

累加得與一：=ln〃，.,,=2+ln7(心2),

又ai=2適合，故a"=2〃+〃ln〃.

14.(2022?晉冀魯豫聯(lián)考)已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S〃，a\=a,a”+i=S“+3〃，

若跖,+1Na”對V〃eN*成立,則實數(shù)a的取值范圍是.

答案：［-9,+°°)

解析：由題意得，S〃+i—S"=S"+3",.?.S”+I=2S!+3",.?.*+1—3"+|=2(*—3").

nnl

又Si—31=。一3,：.Sn-3=(a-3)-2~.

當(dāng)”=1時，ai=a;當(dāng)〃22時，。"=￡-5"-1=3"+5-3)X2"-1—3"-1一(。-3))<

n22

2"-2=2x3"T+(a—3)義2~,：.小+i一斯=4X3"一?十(a—3)X2"~.

3

又當(dāng)〃22時，恒成立，：.a^3~\2X(^)n~2,對V〃GN*,且“22成立，

...aN—9.

又a2=ai+3,...a22al成立.

綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是［-9,+°°).

15.(2021?安徽合肥七中高三月考)已知數(shù)列｛a“｝滿足ai=3,小一%-1—3〃=0,n

22,則數(shù)列｛&｝的通項公式a”=；若仇=；,則數(shù)列｛仇｝的前〃項和S”

解析：數(shù)列｛斯｝滿足ai=3,an—an-｝—3n=0,“22,即an—an-\=3n,可得an

13

=ai+(42-。1)+(6—。2)+…+(a”一斯-1)=3+6+9+…+3〃=5〃(3+3〃)=5〃2+

31212112111

那?因為為=￡="幣=^T干)，所以其前〃項和^=3(1-2+2-3+-

+?-/?+1)=3(1-^+1)=3(?+1)?

第2節(jié)等差數(shù)列

目標(biāo)任務(wù)

課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1.理解等差數(shù)列的概念.1.等差數(shù)列的基本量運算

2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前〃項2.等差數(shù)列的判定與證明

和的公式.

數(shù)學(xué)運算

3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列

邏輯推理

的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相

3.等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象

應(yīng)的問題.

4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函

數(shù)的關(guān)系

@3EISEED知識必記課前預(yù)案

知識必記;.........夯基礎(chǔ)構(gòu)體系

1.等差數(shù)列的有關(guān)概念

(1)定義：如果一個數(shù)列從起，每一項與它的前一項的都等于同

一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的

通常用字母d表示.

內(nèi)0=｛凡｝為遞

增數(shù)列.

d=O=｛a“｝為常

數(shù)列.

"<0=｛。"｝為遞

減數(shù)列.

⑵等差中項：數(shù)列辦A,匕成等差數(shù)列的充要條件是其中A叫作a,b

的.

I

：a產(chǎn)也詈y2).；

［提醒］要注意概念中的“從第2項起”，如果一個數(shù)列不是從第2項起，而是

從第3項或第4項起，每一項與它前一項的差是同一個常數(shù)，那么此數(shù)列不是等

差數(shù)列.

2.等差數(shù)列的有關(guān)公式

(1)通項公式：an=.

斗”"n.〃(ai+斯)

⑵前〃項和公式：Sn==----2-----

陳究］如何理解等差數(shù)列通項公式的函數(shù)特點？

提示：等差數(shù)列｛&"｝的通項公式a”=ai+(〃-1)1可變形為an=dn+｛a\-d).

(1)若d=0,則斯=0,其是常數(shù)函數(shù)；

⑵若dWO,則如是關(guān)于〃的一次函數(shù).

(3)(〃，知)是直線y=tZr+(ai一①上一群孤立的點.

(4)">0=｛m｝為遞增數(shù)列，4=0=｛斯｝為常數(shù)列，“<0=｛。"｝為遞減數(shù)列.

自策究］若數(shù)列的前〃項和為S“=A〃2+8〃+qAW0),則這個數(shù)列一定是等差數(shù)

列嗎？

提示：不一定.當(dāng)C=0時是等差數(shù)列.

［注意］在等差數(shù)列伍“｝中，?!>0,J<0,則S”存在最大值；若0VO,40,

則S"存在最小值.

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

已知｛&“｝為等差數(shù)列，d為公差,S,為該數(shù)列的前〃項和.

(1)通項公式的推廣：an=a,n+(〃，〃zehT).

(2)若｛&｝為等差數(shù)列，且Z+/=〃z+〃(A,I,m,?GN*)?則.

⑶若｛圓｝是等差數(shù)列，公差為d,則｛痣”｝也是等差數(shù)列，公差為.

(4)若｛&“｝,｛仇｝是等差數(shù)列，則｛pa”+血｝也是等差數(shù)列.

(5)若｛小｝是等差數(shù)列，公差為d,則ak，ak+m，aic+2m，…(A,N')是公差為

的等差數(shù)列.

(6)數(shù)列S”，S2m~Sm>S3m~S2m>…也是等差數(shù)列.

⑺若｛&〃｝是等差數(shù)列，則｛譽｝也成等差數(shù)列，其首項與｛斯｝首項相同，公差是｛%｝

公差的去

SyZ7

(8)若項數(shù)為偶數(shù)2〃，則S2〃=〃(0+。2〃)=〃(〃“+S偶一S奇=〃d；不=.

(9)若項數(shù)為奇數(shù)2〃一1,則52〃-1=(2〃-1)斯；S奇一S偶=?！ǎ?7~~7.

J偶〃-1

陳究］如何理解項的性質(zhì)的幾何意義?

提示：在等差數(shù)列｛｝中,-----=d("iW〃,m,〃其幾何意義是點(〃,

a”m—nGN"),a”),

｛m,斯,)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差.

必記答案：1.第2項差公差等差中項

n(H-1)

2.ai+(n-l)dna\+5d

3.(n—m)d以+。/=。加+。八2dmd

拓展鏈接)拓知能聯(lián)高考

1.［學(xué)以致用］等差數(shù)列與二次型的關(guān)系及應(yīng)用

(1)幾個特例