河南省周口市鄲城一高2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，，則、、滿足（）A． B． C． D．2．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．某中學(xué)元旦晚會共由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在乙的前面，丙不能排在最后一位，該晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有()A．720種 B．600種 C．360種 D．300種4．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.已知函數(shù)的拐點(diǎn)是，則（）A． B． C． D．15．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，的圖象在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，若圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．6．設(shè)，是實(shí)數(shù)，則的充要條件是（）A． B． C． D．7．高三畢業(yè)時(shí)，甲，乙，丙等五位同學(xué)站成一排合影留念，在甲和乙相鄰的條件下，丙和乙也相鄰的概率為（）A． B． C． D．8．組合數(shù)恒等于（）A． B． C． D．9．設(shè)，則（）A． B．10 C． D．10010．在等比數(shù)列an中，a1=4，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列A．2B．-2C．3D．-311．已知雙曲線E：上的四點(diǎn)A，B，C，D滿足，若直線AD的斜率與直線AB的斜率之積為2，則雙曲線C的離心率為A． B． C． D．12．已知數(shù)據(jù)，2的平均值為2，方差為1，則數(shù)據(jù)相對于原數(shù)據(jù)()A．一樣穩(wěn)定 B．變得比較穩(wěn)定C．變得比較不穩(wěn)定 D．穩(wěn)定性不可以判斷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)，，（為虛數(shù)單位）則實(shí)數(shù)__________．14．從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）125124121123127，則該樣本標(biāo)準(zhǔn)差（克）（用數(shù)字作答）．15．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，給出下列判斷：①；②在上是減函數(shù)；③函數(shù)沒有最小值；④函數(shù)在處取得最大值；⑤的圖象關(guān)于直線對稱．其中正確的序號是________．16．類比初中平面幾何中“面積法”求三角形內(nèi)切圓半徑的方法，可以求得棱長為的正四面體的內(nèi)切球半徑為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）由中央電視臺綜合頻道（）和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國首檔青春電視公開課。每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對于生活和生命的感悟，給予中國青年現(xiàn)實(shí)的討論和心靈的滋養(yǎng)，討論青年們的人生問題，同時(shí)也在討論青春中國的社會問題，受到青年觀眾的喜愛，為了了解觀眾對節(jié)目的喜愛程度，電視臺隨機(jī)調(diào)查了、兩個(gè)地區(qū)的100名觀眾，得到如下的列聯(lián)表：非常滿意滿意合計(jì)30合計(jì)已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名，該觀眾是地區(qū)當(dāng)中“非常滿意”的觀眾的概率為，且.（Ⅰ）現(xiàn)從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取“滿意”的、地區(qū)的人數(shù)各是多少；（Ⅱ）完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有的把握認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系；（Ⅲ）若以抽樣調(diào)查的頻率為概率，從地區(qū)隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽到的觀眾“非常滿意”的人數(shù)為，求的分布列和期望.附：參考公式：18．（12分）甲、乙兩種不同規(guī)格的產(chǎn)品，其質(zhì)量按測試指標(biāo)分?jǐn)?shù)進(jìn)行劃分，其中分?jǐn)?shù)不小于82分的為合格品，否則為次品.現(xiàn)隨機(jī)抽取兩種產(chǎn)品各100件進(jìn)行檢測，其結(jié)果如下：測試指標(biāo)分?jǐn)?shù)甲產(chǎn)品81240328乙產(chǎn)品71840296(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的有把握認(rèn)為兩種產(chǎn)品的質(zhì)量有明顯差異？甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品合計(jì)合格品次品合計(jì)(2)已知生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若為合格品，則可盈利40元，若為次品，則虧損5元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若為合格品，則可盈利50元，若為次品，則虧損10元.記為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品所得的總利潤，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望（將產(chǎn)品的合格率作為抽檢一件這種產(chǎn)品為合格品的概率）.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.7022.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過原點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于兩點(diǎn)，四邊形的周長與面積分別為12與.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與圓相切，且與橢圓交于兩點(diǎn)，求原點(diǎn)到的中垂線的最大距離.20．（12分）已知四邊形是矩形，平面，，點(diǎn)在線段上（不為端點(diǎn)），且滿足，其中.（1）若，求直線與平面所成的角的大小；（2）是否存在，使是的公垂線，即同時(shí)垂直？說明理由.21．（12分）某技術(shù)人員在某基地培育了一種植物,一年后,該技術(shù)人員從中隨機(jī)抽取了部分這種植物的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了如下頻率分布直方圖,已知抽取的樣本植物高度在內(nèi)的植物有8株,在內(nèi)的植物有2株.(Ⅰ)求樣本容量和頻率分布直方圖中的,的值;(Ⅱ)在選取的樣本中,從高度在內(nèi)的植物中隨機(jī)抽取3株,設(shè)隨機(jī)變量表示所抽取的3株高度在內(nèi)的株數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)據(jù)市場調(diào)研,高度在內(nèi)的該植物最受市場追捧.老王準(zhǔn)備前往該基地隨機(jī)購買該植物50株.現(xiàn)有兩種購買方案,方案一:按照該植物的不同高度來付費(fèi),其中高度在內(nèi)的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照該植物的株數(shù)來付費(fèi),每株6元.請你根據(jù)該基地該植物樣本的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果為決策依據(jù),預(yù)測老王采取哪種付費(fèi)方式更便宜?22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．（1）若與相交于兩點(diǎn)，，求；（2）圓的圓心在極軸上，且圓經(jīng)過極點(diǎn)，若被圓截得的弦長為，求圓的半徑．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由偶函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，并比較出三個(gè)正數(shù)、、的大小關(guān)系，利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系，解題時(shí)要利用自變量的大小關(guān)系并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)值的大小，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.2、A【解析】

先將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念確定對應(yīng)點(diǎn)，最后根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)確定象限.【詳解】解：∵，∴，∴復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（），所在的象限為第一象限．故選：A．點(diǎn)睛：首先對于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對應(yīng)點(diǎn)為、共軛為3、D【解析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5個(gè)空位可選，在其中任選1個(gè)，安排丙，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有種情況，②5人排好后有5個(gè)空位可選，在其中任選1個(gè)，安排丙，有5種情況，則有60×5＝300種不同的順序，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

遇到新定義問題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，在該題中求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0，即可得到拐點(diǎn)，問題得以解決．【詳解】解：函數(shù)，，，因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)，為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，已知函數(shù)的“拐點(diǎn)”是，所以，即，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．導(dǎo)數(shù)的定義，和拐點(diǎn)，根據(jù)新定義題，考查了函數(shù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的求法；解答的關(guān)鍵是函數(shù)值滿足的規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題5、B【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱得到，，即.利用導(dǎo)數(shù)的切線過點(diǎn)得到，再求函數(shù)在處的切線傾斜角的正切值和正弦值，代入式子計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以.即：，解得，.所以，，切點(diǎn)為.，.切線為：.因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，解得.所以，.，所以.所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的切線問題，同時(shí)考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.6、C【解析】

利用不等式的基本性質(zhì)證明與可進(jìn)行互推.【詳解】對選項(xiàng)C進(jìn)行證明，即是的充要條件，必要性：若，則兩邊同時(shí)3次方式子仍成立，，成立；充分性：若成，兩邊開時(shí)開3次方根式子仍成立，，成立.【點(diǎn)睛】在證明充要條件時(shí)，要注意“必要性”與“充分性”的證明方向.7、B【解析】

記事件甲乙相鄰，事件乙丙相鄰，利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計(jì)算出和，再利用條件概率公式可計(jì)算出所求事件的概率．【詳解】記事件甲乙相鄰，事件乙丙相鄰，則事件乙和甲丙都相鄰，所求事件為，甲乙相鄰，則將甲乙兩人捆綁，與其他三位同學(xué)形成四個(gè)元素，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可得.乙和甲丙都相鄰，則將甲乙丙三人捆綁，且乙位置正中間，與其他兩位同學(xué)形成三個(gè)元素，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可得，由條件概率公式可得，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算，解這類問題時(shí)，要弄清各事件事件的關(guān)系，利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計(jì)算相應(yīng)事件的概率，并靈活利用條件概率公式計(jì)算出所求事件的概率，考查計(jì)算能力，屬于中等題．8、D【解析】

根據(jù)組合數(shù)的公式得到和，再比較選項(xiàng)得到答案.【詳解】．，可知故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)的計(jì)算公式，意在考查基本公式，屬于基礎(chǔ)題型.9、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡為的形式，然后求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得.【詳解】，，.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的平方和模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】由題意，得S1+2=4,S2+2=4q+6,S3+2=4q2+4q+6點(diǎn)睛：本題若直接套用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解，一是計(jì)算量較大，二是往往忽視“q=1”的特殊情況，而采用數(shù)列的前三項(xiàng)進(jìn)行求解，大大降低了計(jì)算量，也節(jié)省的時(shí)間，這是處理選擇題或填空題常用的方法.11、A【解析】很明顯，A，B，C，D四點(diǎn)組成平行四邊形ABDC，如圖所示，設(shè)，則：，點(diǎn)A在雙曲線上，則：，據(jù)此可得：，結(jié)合可得雙曲線的離心率為.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：求雙曲線離心率或離心率范圍的兩種方法：一種是直接建立e的關(guān)系式求e或e的范圍；另一種是建立a，b，c的齊次關(guān)系式，將b用a，e表示，令兩邊同除以a或a2化為e的關(guān)系式，進(jìn)而求解．12、C【解析】

根據(jù)均值定義列式計(jì)算可得的和，從而得它們的均值，再由方差公式可得，從而得方差．然后判斷．【詳解】由題可得：平均值為2，由，，所以變得不穩(wěn)定.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查均值與方差的計(jì)算公式，考查方差的含義．屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題得，解方程即得解.【詳解】由題得,所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模的性質(zhì)和計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.14、2【解析】因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)，則樣本方差所以．15、①②④【解析】

先利用題中等式推出，進(jìn)一步推出，得知該函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，作出滿足條件的圖像可得出答案．【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，即函?shù)是周期為4的周期函數(shù)．由題意知，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，畫出滿足條件的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知①②④正確．故答案為①②④.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵在于充分利用題中等式進(jìn)行推導(dǎo)，進(jìn)一步得出函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對稱性等相關(guān)性質(zhì)，必要時(shí)結(jié)合圖象來考查．16、【解析】分析：先根據(jù)類比將正四面體分割成四個(gè)小三棱錐，再根據(jù)體積關(guān)系求內(nèi)切球半徑.詳解：設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為，各面面積為,所以.點(diǎn)睛：等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高或內(nèi)切球的半徑，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時(shí)，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)3；4.(2)列聯(lián)表見解析；沒有的把握認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系.(3)分布列見解析；.【解析】分析：（1）先根據(jù)概率計(jì)算x的值，得出y+z=35，再計(jì)算y與z的值，根據(jù)比例得出應(yīng)抽取“滿意”的A、B地區(qū)的人數(shù)；

（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)公式計(jì)算觀測值k2，從而得出結(jié)論；

（3）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算分布列和數(shù)學(xué)期望．詳解：（Ⅰ）由題意，得，所以，所以，因?yàn)椋?，，地抽取，地抽?（Ⅱ）非常滿意滿意合計(jì)301545352055合計(jì)6535100的觀察值所以沒有的把握認(rèn)為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系.（Ⅲ）從地區(qū)隨機(jī)抽取1人，抽到的觀眾“非常滿意”的概率為隨機(jī)抽取3人，的可能取值為0,1，2，3，，的分布列0123的數(shù)學(xué)期望：點(diǎn)睛：本題考查了抽樣調(diào)查，獨(dú)立性檢驗(yàn)，二項(xiàng)分布，題目比較長做題時(shí)要有耐心審題，認(rèn)真分析條件，細(xì)心求解，屬于中檔題．18、（1）沒有（2）的分布列見解析，【解析】試題分析：(1)由題意完成列聯(lián)表，然后計(jì)算可得，則沒有的有把握認(rèn)為兩種產(chǎn)品的質(zhì)量有明顯差異(2)X可能取值為90,45,30,-15,據(jù)此依據(jù)概率求得分布列，結(jié)合分布列可求得數(shù)學(xué)期望.試題解析：(1)列聯(lián)表如下：甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品合計(jì)合格品8075155次品202545合計(jì)100100200∴沒有的有把握認(rèn)為兩種產(chǎn)品的質(zhì)量有明顯差異(2)依題意，生產(chǎn)一件甲，乙產(chǎn)品為合格品的概率分別為，隨機(jī)變量可能取值為90,45,30,-15,904530-15的分布列為：∴19、（1）（2）【解析】

（1）不妨設(shè)點(diǎn)是第一象限的點(diǎn)，由四邊形的周長求出，面積求出與關(guān)系，再由點(diǎn)在直線上，得到與關(guān)系，代入橢圓方程，求解即可；（2）先求出直線斜率不存在時(shí)，原點(diǎn)到的中垂線的距離，斜率為0時(shí)與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，利用與圓相切，求出關(guān)系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，得到的中垂線方程，進(jìn)而求出原點(diǎn)到中垂線的距離表達(dá)式，結(jié)合關(guān)系，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）不妨設(shè)點(diǎn)是第一象限的點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅蔚闹荛L為12，所以，，因?yàn)?，所以，得，點(diǎn)為過原點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓的交點(diǎn)，即點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在橢圓上，所以，即，解得或（舍），所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為，線段的中垂線為軸，原點(diǎn)到軸的距離為0.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，依題意可設(shè)，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，設(shè)，，聯(lián)立，得，由，得，又因?yàn)?，所以，所以，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的中垂線方程為，化簡，得，原點(diǎn)到直線中垂線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以原點(diǎn)到的中垂線的最大距離為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離，利用基本不等式求最值，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.20、(1)；(2)不存在滿足條件，理由見詳解.【解析】

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)直線的方向向量與平面法向量的夾角余弦值得到線面角的正弦值，從而計(jì)算出線面角的大小；(2)假設(shè)存在滿足，根據(jù)表示出的坐標(biāo)，即可求解出的坐標(biāo)表示，根據(jù)、求解出的值.【詳解】(1)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：當(dāng)時(shí)，為中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，取平面一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成的角的大小為，所以，所以，所以，所以直線與平面所成的角的大小為；(2)設(shè)存在滿足條件，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，?dāng)是的公垂線時(shí)，所以，所以無解即假設(shè)不成立，所以不存在滿足條件.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量求解線面角、公垂線問題，難度一般.(1)利用直線的方向向量以及平面的法向量求解線面角時(shí)，要注意求出的直線方向向量與平面法向量夾角余弦的絕對值即為線面角的正弦；(2)公垂線的存在性問題可先假設(shè)成立，然后根據(jù)垂直關(guān)系得到向量的數(shù)量積為零，由此判斷存在性是否成立.21、(Ⅰ),，；(Ⅱ)分布列見解析，；(Ⅲ)方案一付費(fèi)更便宜.【解析】

(Ⅰ)由題目條件及頻率分布直方圖能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y．(Ⅱ)由題意可知，高度在[