黑龍江省哈爾濱市六中2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線，若其過一、三象限的漸近線的傾斜角，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)等于（）A． B． C． D．3．觀察兩個變量(存在線性相關(guān)關(guān)系）得如下數(shù)據(jù):則兩變量間的線性回歸方程為（）A． B． C． D．4．已知某隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．5．為了解某高校高中學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，從編號為0001，0002，…，2000的2000名學(xué)生中采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，并把樣本編號從小到大排列，已知抽取的第一個樣本編號為0003，則最后一個樣本編號是（）A．0047 B．1663 C．1960 D．19636．已知向量滿足，點在線段上，且的最小值為，則的最小值為（）A． B． C． D．27．已知函數(shù)，當(dāng)時，，則a的取值范圍是A． B． C． D．8．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“”時的過程中，由到時，不等式的左邊（）A．增加了一項B．增加了兩項C．增加了兩項，又減少了一項D．增加了一項，又減少了一項9．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有6個紅球，2個白球和2個黑球，先從甲罐中隨機(jī)取岀一個球放入乙罐，分別以，，表示由甲罐取岀的球是紅球、白球和黑球的事件，再從乙罐中隨機(jī)取出一個球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，下列結(jié)論中不正確的是（）A．事件與事件不相互獨立 B．，，是兩兩互斥的事件C． D．10．設(shè)是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．在200件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A．種 B．種 C．種 D．種12．設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項為()A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在極坐標(biāo)系中，圓上的點到直線的距離的最小值是____14．____．15．已知點，，則__________．16．已知橢圓：的左，右焦點分別為，，焦距為，是橢圓上一點（不在坐標(biāo)軸上），是的平分線與軸的交點，若，則橢圓離心率的范圍是___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）求證：當(dāng)時，；（2）證明：不可能是同一個等差數(shù)列中的三項.18．（12分）已知函數(shù).（1）若，求的最小值，并指出此時的取值范圍；（2）若，求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)對于任意正實數(shù)x,不等式恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)（，）為奇函數(shù)，且相鄰兩對稱軸間的距離為．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象沿軸方向向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時，求函數(shù)的值域．21．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式有實數(shù)解，求的取值范圍.22．（10分）已知平面內(nèi)點到點的距離和到直線的距離之比為，若動點P的軌跡為曲線C．（I）求曲線C的方程；（II）過F的直線與C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為設(shè)O為坐標(biāo)原點.證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析：利用過一、三象限的漸近線的傾斜角θ∈[，]，可得1≤≤，即可求出雙曲線的離心率e的取值范圍.詳解：雙曲線=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=x，由過一、三象限的漸近線的傾斜角θ∈[，]，∴tan≤≤tan，∴1≤≤，∴1≤≤3，∴2≤1+≤4，即2≤e2≤4，解得≤e≤2，故選：B．點睛：求離心率的常用方法有以下兩種：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出關(guān)于的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)，消去后轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程(或不等式)求解．2、B【解析】

由復(fù)數(shù)的乘法運算法則求解.【詳解】故選．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】分析：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算、，再由線性回歸方程過樣本中心點，排除A、C、D選項即可．詳解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得；=（﹣10﹣6.99﹣5.01﹣2.98+3.98+5+7.99+8.01）=0，=（﹣9﹣7﹣5﹣3+4.01+4.99+7+8）=0；∴兩變量x、y間的線性回歸方程過樣本中心點（0，0），可以排除A、C、D選項，B選項符合題意．故選：B．點睛：本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．對于回歸方程，一定要注意隱含條件，樣本中心滿足回歸方程，再者計算精準(zhǔn)，正確理解題意，應(yīng)用回歸方程對總體進(jìn)行估計.4、A【解析】

直接利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解．【詳解】，且，．．故選：A．【點睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量和的應(yīng)用，考查曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】,故最后一個樣本編號為,故選D.6、D【解析】

依據(jù)題目條件，首先可以判斷出點的位置，然后，根據(jù)向量模的計算公式，求出的代數(shù)式，由函數(shù)知識即可求出最值．【詳解】由于，說明點在的垂直平分線上，當(dāng)是的中點時，取最小值，最小值為，此時與的夾角為，與的夾角為，∴與的夾角為，的最小值是4，即的最小值是2.故選D.【點睛】本題主要考查了平面向量有關(guān)知識，重點是利用數(shù)量積求向量的模．7、A【解析】∵當(dāng)x1≠x2時，＜0，∴f（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)，∵f（x）=，∴，∴0＜a≤，故選A．8、C【解析】解：n=k時，左邊="1"/k+1+1/k+2++1/k+k，n=k時，左邊="1"/(k+1)+1+1/(k+1)+2++1/(k+1)+(k+1)="(1/"k+1+1/k+2++1/k+k)-1/k+1+1/2k+1+1/2k+2故選C9、C【解析】

依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.乙罐取出的球是紅球的事件與前面是否取出紅球相關(guān)，正確B.，，兩兩不可能同時發(fā)生，正確C.，不正確D.，正確故答案選C【點睛】本題考查了獨立事件，互斥事件，條件概率，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計算能力.10、C【解析】對于A、B、D均可能出現(xiàn)，而對于C是正確的．11、D【解析】分析：據(jù)題意，“至少有2件次品”可分為“有2件次品”與“有3件次品”兩種情況，由組合數(shù)公式分別求得兩種情況下的抽法數(shù)，進(jìn)而相加可得答案．詳解：根據(jù)題意，“至少有2件次品”可分為“有2件次品”與“有3件次品”兩種情況，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973種，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972種，則共有C32C1973+C33C1972種不同的抽取方法，故選：D．點睛：本題考查組合數(shù)公式的運用，解題時要注意“至少”“至多”“最多”“最少”等情況的分類討論．12、A【解析】試題分析：二項式(x+i)6的展開式的通項為Tr+1=C6rx6-ri【考點】二項展開式，復(fù)數(shù)的運算【名師點睛】本題考查二項式定理及復(fù)數(shù)的運算，復(fù)數(shù)的概念及運算也是高考的熱點，幾乎是每年必考的內(nèi)容，屬于容易題.一般來說，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運算即可．二項式(x+i)6可以寫為(i+x)6，則其通項為C6ri二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】試題分析：圓的直角坐標(biāo)方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為，圓心到直線的距離，圓上的點到直線的距離的最小值為.考點：直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)、距離公式.14、【解析】

分別求得和的值，相加求得表達(dá)式的結(jié)果.【詳解】由于表示圓心在原點，半徑為的圓的上半部分，故..故原式.【點睛】本小題主要考查利用幾何意義計算定積分的值，考查定積分的計算，屬于基礎(chǔ)題.15、5【解析】分析：運用向量坐標(biāo)的求法以及向量的模長公式即可.詳解：點，，，.故答案為5.點睛：向量的坐標(biāo)運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進(jìn)行．若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則．16、【解析】

由已知結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理可得|PF1|＝2|PF2|，再由橢圓定義可得|PF2|，得到a﹣c，從而得到e，再與橢圓離心率的范圍取交集得答案．【詳解】∵，∴，，∵是的角平分線，∴，則，由，得，由，可得，由，∴橢圓離心率的范圍是．故答案為：【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，訓(xùn)練了角平分線定理的應(yīng)用及橢圓定義的應(yīng)用，是中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明過程詳見試題解析；（2）證明過程詳見試題解析.【解析】

（1）利用綜合法證明即可；（2）利用反證法證明，假設(shè)是同一個等差數(shù)列中的三項，分別設(shè)為am，an，ap，推出為無理數(shù)，又為有理數(shù)，矛盾，即可證明不可能是等差數(shù)列中的三項．【詳解】解：（1）∵（）2＝2a+2?，0，0且a+2≠a﹣2，∴，∴2（2）假設(shè)是同一個等差數(shù)列中的三項，分別設(shè)為am，an，ap，則為無理數(shù)，又為有理數(shù)，矛盾．所以，假設(shè)不成立，即不可能是同一個等差數(shù)列中的三項．【點睛】反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得．應(yīng)用反證法證明的具體步驟是：①反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；②歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；③結(jié)論：說明反設(shè)成立，從而肯定原命題成立．18、(1)見解析;(2).【解析】

（1）根據(jù)絕對值的意義求出的范圍即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，解出即可.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為，此時的取值范圍是.（2）時，顯然成立，所以此時；時，由，得.由及的圖象可得且，解得或.綜上所述，的取值范圍是【點睛】該題考查的是有關(guān)絕對值不等式的問題，涉及到的知識點有絕對值的意義，絕對值三角不等式，分類討論思想，靈活掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.19、（1）在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增（2）【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可；【詳解】(1)因為.所以,令,得,當(dāng)時,;當(dāng)時,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)由于,恒成立,所以.構(gòu)造函數(shù),所以.令,解得,當(dāng)時,,當(dāng)時,.所以函數(shù)在點處取得最小值,即.因此所求k的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的恒成立問題，考查計算能力和分析問題的能力，以及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20、（1），]（2）值域為[，]．【解析】

（1）利用三角恒等變換化簡的解析式，根據(jù)條件，可求出周期和，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，求出，再用整體代入法求出內(nèi)的遞減區(qū)間；（2）利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求出的解析式，再利用正弦函數(shù)定義域，即可求出時的值域.【詳解】解：（1）由題意得，因為相鄰兩對稱軸之間距離為，所以，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，∴，因為，所以故函數(shù)令.得.令得，因為，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，]（2）由題意可得，因為，所以所以，.即函數(shù)的值域為[，]．【點睛】本題主要考查正弦函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性和值域，包括周期性，奇偶性，單調(diào)性和最值，還涉及三角函數(shù)圖像的平移伸縮和三角恒等變換中的輔助角公式.21、（1）；（2）或.【解析】分析：（1）利用零點分類討論法解不等式.(2)先求的最小值為,再解不等式得的取值范圍.詳解：（1）由題意的：,兩邊平方得：,即，解得或，所以原不等式的解集為.（2）,所以的最小值為,所以，即或,亦即或.點睛：（1）本題主要考查絕對值不等式的解法和不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分類討論思想方法.(2)解答本題的關(guān)鍵是求的最小值，這里利用了三角絕對值不等式求最值.22、（I）（II）見解析【解析】

（I）根據(jù)題目點到點的距離和到直線的距離之比為，列出相應(yīng)的等式方程，化簡可得軌跡C的方程；（II）對直線分軸、l與x軸重合以及l(fā)存在斜率且斜率不為零三種情況進(jìn)行分析，當(dāng)l存在斜率且