江西省贛州市五云中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

江西省贛州市五云中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知、都是實(shí)數(shù)，且，則“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．不充分也不必要條件參考答案：B略2.已知函數(shù)f(x)=sin(2x－φ)－cos(2x－φ)（）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)在區(qū)間上的最大值為（

）A.1

B.

C.

D.2參考答案：A點(diǎn)睛：判定三角函數(shù)的奇偶性時(shí)，往往與誘導(dǎo)公式進(jìn)行結(jié)合，如：若為奇函數(shù)，則；若為偶函數(shù)，則；若為偶函數(shù)，則；若為奇函數(shù)，則.3.

函數(shù)的遞增區(qū)間是（

）

A.〔，）

B.（，〕

C.〔，〕

D.〔，3〕參考答案：C4.已知，，且，則

A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知直線，且(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則實(shí)數(shù)的值為（

）A.2

B.

C.2或-2

D.參考答案：C略6.一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，則該幾何體的表面積為()

A．4+。w-w*k&s%5￥uB．2+

C．3+

D．6參考答案：C7.當(dāng)a＞l時(shí)，函數(shù)f（x）=logax和g（x）=（l﹣a）x的圖象的交點(diǎn)在(

) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷解答： 解：∵a＞l時(shí)，f（x）=logax的圖象經(jīng)過第一四象限，g（x）=（l﹣a）x的圖象經(jīng)過第二四象限，∴f（x）=logax和g（x）=（l﹣a）x的圖象的交點(diǎn)在第四象限故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題8.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則（

）A．45

B．43

C．40

D．42

參考答案：D，9.已知全集，集合，，則

（）

A．（0，2）

B．

C．[0，2]

D．

參考答案：D略10.若函數(shù)的定義域?yàn)椋?，8］，則函數(shù)的定文域?yàn)锳．(0,3)

B．[1,3)∪(3,8]

C．[1,3)

D．[0,3)參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知α∈（，π），且sin+cos=，則cosα的值．參考答案：﹣【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．【分析】采用“平方”將sin+cos=化簡(jiǎn)可得sinα的值，即可求解cosα的值．【解答】解：∵sin+cos=，∴（sin+cos）2=1+sinα=，即sinα=．又∵α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案為﹣12.地面上放一個(gè)半球?yàn)榈那?，在球的正上方與球面的距離為處有一發(fā)光點(diǎn)，則在地面上球的陰影面積是

.參考答案：.略13.定義在上的函數(shù)滿足是偶函數(shù)且是奇函數(shù)，又，則

；參考答案：-201314.復(fù)數(shù)z=（i為虛數(shù)單位）的虛部為

．參考答案：1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解：z==i+1的虛部為1．故答案為：1．15.若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則

．參考答案：試題分析：當(dāng)時(shí),為減函數(shù);當(dāng)時(shí),為增函數(shù),結(jié)合已知有.考點(diǎn)：絕對(duì)值函數(shù)的單調(diào)性.16.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

）A. B.或 C. D.或參考答案：B【分析】分雙曲線的焦點(diǎn)在x軸和y軸兩種情況，由結(jié)合漸近線方程可得解.【詳解】焦點(diǎn)在x軸時(shí)，焦點(diǎn)在y軸時(shí)，.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.17.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知函數(shù)f（x）=．（1）求f（x）的定義域及最小正周期；（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的定義域和值域；復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性．【專題】：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】：（1）由sinx≠0可得x≠kπ（k∈Z），將f（x）化為f（x）=sin（2x﹣）﹣1即可求其最小正周期；（2）由（1）得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，再由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）即可求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．解：（1）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），故求f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠kπ，k∈Z}．∵f（x）==2cosx（sinx﹣cosx）=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1∴f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）得kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z）∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+，kπ+]（k∈Z）【點(diǎn)評(píng)】：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，注重輔助角公式的考察應(yīng)用，求得f（x=sin（2x﹣）﹣1是關(guān)鍵，屬于中檔題．19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：（1）當(dāng)，，解得；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得，化簡(jiǎn)得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以.（2）由（1）可得，所以，，，兩式相減得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.因?yàn)?，所?20.（12分）解關(guān)于的不等式參考答案：解：由原不等式得當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，解得所以，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為21.(14分)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，N*，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；ks5u（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；（3）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，試求最小的集合,使。參考答案：解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，

……2分∴，

…………3分∴，∴數(shù)列從第二項(xiàng)起成等比數(shù)列，而，∴

………4分∴

數(shù)列的通項(xiàng)公式為

………5分（2），

………………7分；

……………9分

（3），

……10分∴又，∴遞增，∴，

………………13分綜上，，∴＝。

……………14分22.已知函數(shù)f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0對(duì)任意x∈[e，e2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（e為自然常數(shù)）；（Ⅲ）求證ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）（n!=1×2×3×…×n）．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題；不等式的證明．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=（x＞0），從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，從而求導(dǎo)F′（x）=，再由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的最大值，從而化恒成立問題為最值問題即可；（Ⅲ）令a=﹣1，此時(shí)f（x）=﹣lnx+x﹣3，從而可得f（1）=﹣2，且f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，從而可得﹣lnx+x﹣1＞0，即lnx＜x﹣1對(duì)一切x∈（1，+∞）成立，從而可得若n≥2，n∈N*，則有l(wèi)n（+1）＜＜=﹣，從而化ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）為ln（+1）+ln（+1）+…+ln（+1）＜1（n≥2，n∈N*）；從而證明．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（x＞0），當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，單調(diào)減區(qū)間為[1，+∞）；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1]；（Ⅱ）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，則F′（x）=，若﹣a≤e，即a≥﹣e，F(xiàn)（x）在[e，e2]上是增函數(shù)，F(xiàn)（x）max=F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，a≤，無解．若e＜﹣a≤e2，即﹣e2≤a＜﹣e，F(xiàn)（x）在[e，﹣a]上是減函數(shù)；在[﹣a，e2]上是增函數(shù)，F(xiàn)（e）=a+1≤0，即a≤﹣1．F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，即a≤，∴﹣e2≤a≤．若﹣a＞e2，即a＜﹣e2，F(xiàn)（x）在[e，e2]上是減函數(shù)，F(xiàn)（x）max=F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1，∴a＜﹣e2，綜上所述，a≤．（Ⅲ）證明：令a=﹣1，此時(shí)f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞f