2023年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷(文科)答案與解析

2023年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）

參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題，每題5分，總分值50分）

1.（5分）（2023?浙江）集合A={x|x>0},B={x|-l<x<2},那么AUB=（）

A.{x|x>-1}B.{x|x<2}C.{x|0<x<2）D.{x|-l<x<2）

【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算.

【分析】根據(jù)并集的求法，做出數(shù)軸，求解即可.

【解答】解：根據(jù)題意，作圖可得，

那么AUB={x|x>-1},應(yīng)選A.

【點(diǎn)評】此題考查集合的運(yùn)算，要結(jié)合數(shù)軸發(fā)現(xiàn)集合間的關(guān)系，進(jìn)而求解.

2.（5分）（2023?浙江）函數(shù)y=（sinx+cosx）2+1的最小正周期是（）

AA.——兀BD.TiC.—3—兀DC.o2n

22

【考點(diǎn)】二倍角的正弦；同角三角函數(shù)根本關(guān)系的運(yùn)用.

【分析】先將原函數(shù)進(jìn)行化簡，再求周期.

【解答】解：；y=（sinx+cosx）2+l=sin2x+2,

故其周期為T/^二兀.

應(yīng)選B.

【點(diǎn)評】此題主要考查正弦函數(shù)周期的求解.

3.（5分）（2023?浙江）a,b都是實(shí)數(shù)，那么"a2>b2"是"a>b"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

【專題】常規(guī)題型.

【分析】首先由于"a2>b2"不能推出"a>b”；反之,由"a>b"也不能推出“a2>b2".故喈

>b2/,是"a>b"的既不充分也不必要條件.

【解答】解：?.?"a2>b2”既不能推出"a>b"；

反之，由"a>b"也不能推出，2>b2".

"a2>b2，/是"a>b"的既不充分也不必要條件.

應(yīng)選D.

【點(diǎn)評】本小題主要考查充要條件相關(guān)知識.

4.（5分）（2023?浙江）{an}是等比數(shù)列，a2=2,a5=l,那么公比4=（）

4

A.-1B.-2C.2D.1

22

【考點(diǎn)】等比數(shù)列.

【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】根據(jù)等比數(shù)列所給的兩項(xiàng)，寫出兩者的關(guān)系，第五項(xiàng)等于第二項(xiàng)與公比的三次方的

乘積，代入數(shù)字，求出公比的三次方，開方即可得到結(jié)果.

【解答】解：?二⑶}是等比數(shù)列，a2=2,a5」，

4

設(shè)出等比數(shù)列的公比是q,

3

a5=a2*q',

1

3_a5_4_J.

28

應(yīng)選：D.

【點(diǎn)評】此題考查等比數(shù)列的根本量之間的關(guān)系，假設(shè)等比數(shù)列的兩項(xiàng)，那么等比數(shù)列的所

有量都可以求出，只要簡單數(shù)字運(yùn)算時不出錯，問題可解.

5.(5分)(2023?浙江)a>0,b>0,且a+b=2,那么()

2222

A.abB.ab>lC.a+b>2D.a+b<3

【考點(diǎn)】根本不等式.

【分析】ab范圍可直接由根本不等式得到，a?+b2可先將a+b平方再利用根本不等式聯(lián)系.

【解答】解：由a20,b>0,且a+b=2,

ab《(?;一)J1，

而4=(a+b)2-a2+b2+2ab<2(a2+b2),

a2+b2>2.

應(yīng)選C.

【點(diǎn)評】此題主要考查根本不等式知識的運(yùn)用，屬基此題.根本不等式是溝通和與積的聯(lián)系

式，和與平方和聯(lián)系時，可先將和平方.

6.15分)(2023?浙江)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展開式中，含的

項(xiàng)的系數(shù)是()

A.-15B.85C.-120D.274

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.

【分析】此題主要考查二項(xiàng)式定理展開式具體項(xiàng)系數(shù)問題.此題可通過選括號(即5個括號

中4個提供x,其余1個提供常數(shù))的思路來完成.

【解答】解：含X’的項(xiàng)是由(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的5個括號中4個括

號出x僅1個括號出常數(shù)

???展開式中含X’的項(xiàng)的系數(shù)是(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15.

應(yīng)選A.

【點(diǎn)評】此題考查利用分步計(jì)數(shù)原理和分類加法原理求出特定項(xiàng)的系數(shù).

7.15分)(2023?浙江)在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)尸cos儀40,2n])

的圖象和直線V：」：的交點(diǎn)個數(shù)是()

丫2

A.0B.1C.2D.4

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(3x+6)的圖象變換.

【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，再由x的范圍求出2的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象可得

2

到答案.

【解答】解：原函數(shù)可化為：y=cos(3+3；)(xG|0,2n])=sirr|tx€[0,2n].

當(dāng)xe[O,2可時，.|G[0,n],其圖象如圖，

與直線y==的交點(diǎn)個數(shù)是2個.

應(yīng)選C.

【點(diǎn)評】本小題主要考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)問題.

22

8.（5分）（2023?浙江）假設(shè)雙曲線弓-'=1的兩個焦點(diǎn)到一條準(zhǔn)線的距離之比為3：2,

ab

那么雙曲線的離心率是（）_

A.3B.5C.A/3D.A/5

【考點(diǎn)】雙曲線的定義.

【專題】計(jì)算題.

【分析】先取雙曲線的一條準(zhǔn)線，然后根據(jù)題意列方程，整理即可.

2

【解答】解：依題意，不妨取雙曲線的右準(zhǔn)線x-5-，

C

22,2

那么左焦點(diǎn)Fi到右準(zhǔn)線的距離為二+c=2±,

CC

2」-「

右焦點(diǎn)F2到右準(zhǔn)線的距離為C-一工，

----------2.2Q9

—TZRCC+a□oilr

"J22~~2=~?'即==5,

c-ac-a匕

二雙曲線的離心率

a

應(yīng)選D.

【點(diǎn)評】此題主要考查雙曲線的性質(zhì)及離心率定義.

9.（5分）（2023?浙江）對兩條不相交的空間直線a與b,必存在平面a,使得（）

A.aua,bcaB.aua,bllaC.a_La,b±aD.aua,b±a

【考點(diǎn)】空間點(diǎn)、線、面的位置.

【專題】空間位置關(guān)系與距離.

【分析】對兩條不相交的空間直線a與b,有allb或a與b是異面直線，從而得出結(jié)論.

【解答】解：1.兩條不相交的空間直線a和b,有allb或a與b是異面直線，

一定存在平面a,使得：aua,blla.

應(yīng)選B.

【點(diǎn)評】此題主要考查立體幾何中線面關(guān)系問題，屬于根底題.

'x>0

10.（5分）（2023?浙江）假設(shè)azo,b>0,且當(dāng)，y>0時，恒有ax+bySl,那么以a,b為

x+yCl

坐標(biāo)的點(diǎn)P（a,b）所形成的平面區(qū)域的面積是（）

A.1B.—C.1D.—

242

【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；壓軸題.

【分析】欲求平面區(qū)域的面積，先要確定關(guān)于a,b的約束條件，根據(jù)恒有ax+by<l成立，a>0,

b>0,確定出ax+by的最值取到的位置從而確定關(guān)于a,b約束條件.

【解答】解：,?.azO,b>0

t=ax+by最大值在區(qū)域的右上取得，即一定在點(diǎn)（0,1）或（1,0）取得，

故有b”l恒成立或axvl恒成立，

0<b<l§KO<a<l,

，以a,b為坐標(biāo)點(diǎn)P（a,b）所形成的平面區(qū)域是一個正方形，

所以面積為1.

應(yīng)選C.

【點(diǎn)評】本小題主要考查線性規(guī)劃的相關(guān)知識.此題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用

幾何意義求最值，屬于根底題.

二、填空題（共7小題，每題4分，總分值28分）

11.14分）（2023?浙江）函數(shù)f（x）=x2+|x-2|,那么f⑴=2.

【考點(diǎn)】函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素.

【分析】將x=l代入函數(shù)解析式即可求出答案.

【解答】解：（1）=12+|1-2|=1+1=2

故答案為：2

【點(diǎn)評】此題主要考查函數(shù)解析式，求函數(shù)值問題.

12.（4分）（2023?浙江）假設(shè)sin（三+8）=->那么cos20=-」L

2525

【考點(diǎn)】誘導(dǎo)公式的作用；二倍角的余弦.

【分析】由sin(a+—)=cosa及cos2a=2cos2a-1解之即可.

2

【解答】解：由sin（8)=2可知，cos0

55

而cos28=2cos？8-1=2X（-|）2-1=-

525

故答案為：-L

25

【點(diǎn)評】此題考查誘導(dǎo)公式及二倍角公式的應(yīng)用.

22

13.（4分）（2023?浙江）Fi、F2為橢圓工一+工二1的兩個焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A、B

259

兩點(diǎn)，假設(shè)|F2A|+|F2B|=12,那么|AB|=8.

【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】運(yùn)用橢圓的定義，可得三角形ABF2的周長為4a=20,再由周長，即可得到AB的

長.

22

【解答】解：桶圓二+左1的a=5,

259

由題意的定義，可得，|AFi|+|AF2|=|BFi|+|BF2|=2a,

那么三角形ABF2的周長為4a=20,

假設(shè)|F2A|+|F2B|=12,

那么|AB|=20-12=8.

故答案為：8

【點(diǎn)評】此題考查橢圓的方程和定義，考查運(yùn)算能力，屬于根底題._

14.（4分）（2023?浙江）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、C、假設(shè)

-c）cosA=acosC,那么cosA=^^'.

3

【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用；兩角和與差的正弦函數(shù).

【專題】計(jì)算題.

【分析】先根據(jù)正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦值的關(guān)系，再運(yùn)用兩角和與差的正弦公

式化簡可得到、乃sinBcosA=sinB,進(jìn)而可求得cosA的值.

【解答】解：由正弦定理，知

由（a-c）cosA=acosC可得

-sinC）cosA=sinAcosC,

V^sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA

=sin（A+C）=sinB,

cosA=^^.

3_

故答案為：爽

3

【點(diǎn)評】此題主要考查正弦定理、兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用.考查對三角函數(shù)公式的記

憶能力和綜合運(yùn)用能力.

15.（4分）（2023?浙江）如圖，球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D,DA_L平面ABC,AB_LBC,

DA=AB=BC=J5，那么球O的體積等于曉.

【考點(diǎn)】球的體積和外表積；球內(nèi)接多面體.

【專題】計(jì)算題.

【分析】說明ACDB是直角三角形，4ACD是直角三角形，球的直徑就是CD,求出CD,

即可求出球的體積.

【解答】解：AB_LBC,△ABC的外接圓的直徑為AC,AC=近，

由DA_LjffABC得DA_LAC,DA_LBC,△CDB是直角三角形，ZkACD是直角三角形，

CD為球的直徑，CD={D慶2+AC球的半徑R=-,V理=&R3=gi.

232

故答案為：當(dāng).

2

【點(diǎn)評】此題是根底題，考查球的內(nèi)接多面體，說明三角形是直角三角形，推出CD是球的

直徑，是此題的突破口，解題的重點(diǎn)所在，考查分析問題解決問題的能力.

16.14分）（2023?浙江）W是平面內(nèi)的單位向量，假設(shè)向量R菌足E?（W-E）=0,那么后1

的取值范圍是［0,11.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

【專題】壓軸題.

【分析】本小題主要考查向量的數(shù)量積及向量模的相關(guān)運(yùn)算問題，由向量b滿足b?（a-b）

=0,變化式子為模和夾角的形式，整理出位的表達(dá)式，根據(jù)夾角的范圍得到結(jié)果.

【解答】解：.??萬G-E）=o>

即。；-E2=0,

,?|"a|?|b|cos9=|b|2^-0et0,呼

??,W為單位向量，

lbf=cos9，

|bl€[o,U-

故答案為：[O,i]

【點(diǎn)評】此題是向量數(shù)量積的運(yùn)算，條件中給出兩個向量的模和兩向量的夾角，代入數(shù)量積

的公式運(yùn)算即可，只是題目所給的向量要應(yīng)用向量的性質(zhì)來運(yùn)算，此題是把向量的數(shù)量積同

三角函數(shù)問題結(jié)合在一起.

17.（4分）（2023?浙江）用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相

鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰.這樣的六位數(shù)的個數(shù)是（用數(shù)字作答）.

【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理.

【專題】計(jì)算題；壓軸題.

【分析】欲求可組成符合條件的六位數(shù)的個數(shù)，只須利用分步計(jì)數(shù)原理分三步計(jì)算：第一步:

先將3、5排列，第二步：再將4、6插空排列，第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空

中即可.

【解答】解析：可分三步來做這件事：

第一步：先將3、5排列,共有A22種排法;

第二步:再將4、6插空排列，共有2A22種排法；

第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C51種排法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有A22*2A22?C51=40（種）.

答案：40

【點(diǎn)評】此題考查的是分步計(jì)數(shù)原理，分步計(jì)數(shù)原理（也稱乘法原理）完成一件事，需要分

成n個步驟，做第1步有ml種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法…做第n步有mn

種不同的方法.那么完成這件事共有N=mlxm2x...xmn種不同的方法.

三、解答題（共5小題，總分值0分）

18.114分）（2023?浙江）數(shù)列｛xn｝的首項(xiàng)xi=3,通項(xiàng)xn=2，+nq（neN*,p,q為常數(shù)〕，

且XI,X4,X5成等差數(shù)列.求：

[I）p,q的值；

[口）數(shù)列｛Xn｝前n項(xiàng)和Sn的公式.

【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；綜合題.

【分析】（I）根據(jù)xi=3,求得p,q的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)通項(xiàng)xn=2np+np（neN*,p,q為常

數(shù)），且XI,X4,X5成等差數(shù)列.建立關(guān)于p的方求得p,進(jìn)而求得q.

（口）進(jìn)而根據(jù)（1）中求得數(shù)列的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得答案.

【解答】解：（I）.??xi=3,

2p+q=3）①

XX4=24p+4q,X5=25p+5q,且XI+X5=2X4,

3+25p+5q=25p+8q,②

聯(lián)立①②求得p=l,q=l

（□）由（1）可知Xn=2n+n

Sn=（2+2~+...+2“）+（l+2+...+n）

=2日-2+%》.

【點(diǎn)評】此題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的根本知識，考查運(yùn)算及推理能力.

19.（14分）（2023?浙江〕一個袋中裝有大小相同的黑球、白球和紅球，袋中共有10個球，

從中任意摸出1個球，得到黑球的概率是2;從中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概

5

率是工求：

9

（I）從中任意摸出2個球，得到的數(shù)是黑球的概率；

（口）袋中白球的個數(shù).

【考點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】計(jì)算題.

【分析】（I）先做出袋中的黑球數(shù)，此題是一個古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從袋中

任意摸出兩個球，共有Cl（）2種結(jié)果，滿足條件的事件是得到的都是黑球，有C42種結(jié)果，

根據(jù)概率公式得到結(jié)果.

（口）根據(jù)從中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是工，寫出從袋中任意摸出兩個

9

球，至少得到一個白球的對立事件的概率，列出關(guān)于白球個數(shù)的方程，解方程即可.

【解答】解：（I）由題意知此題是一個古典概型，

從中任意摸出I個球，得到黑球的概率是2,袋中黑球的個數(shù)為iox2=小

55

試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從袋中任意摸出兩個球，共有CIO2種結(jié)果

滿足條件的事件是得到的都是黑球，有C42種結(jié)果，

記"從袋中任意摸出兩個球，得到的都是黑球"為事件A,

c2

那么P（A）=—

15

v10

（口）從中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是工

9

記"從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”為事件B.

設(shè)袋中白球的個數(shù)為X,

那么P(B)=1-P(B)=1-C10~^=X

9

L10

得到x=5

【點(diǎn)評】此題主要考查排列組合、概率等根底知識，同時考查邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，

考查對立事件的概率，考查古典概型問題，是一個綜合題.

20.(14分)(2023?浙江)如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，

NBCF=NCEF=90°,AD=V3>EF=2.

(I)求證：AEII平面DCF；

(n)當(dāng)AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60。？

【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題.

【專題】計(jì)算題；證明題；綜合題.

【分析】(I)過點(diǎn)E作EG_LCF并CF于G,連接DG,證明AE平行平面DCF內(nèi)的直線

DG,即可證明AEII平面DCF；

(口)過點(diǎn)B作BH_LEF交FE的延長線于H,連接AH,說明NAHB為二面角A-EF-C

的平面角，通過二面角A-EF-C的大小為60。，求出AB即可.

【解答】(I)證明：過點(diǎn)E作EGLCF并CF于G,連接DG,可得四邊形BCGE為矩形.又

ABCD為矩形，

所以ADJ.IIEG,從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AEIIDG.

因?yàn)锳EU平面DCF,DGu平面DCF,所以AEII平面DCF.

(II)解：過點(diǎn)B作BH_LEF交FE的延長線于H,連接AH.

由平面ABCD_L平面BEFG,AB±BC,得

ABJ?平面BEFC,

從而AHXEF,

所以NAHB為二面角A-EF-C的平面角.

在RSEFG中，因?yàn)镋G=AD=a,EF=2,所以/CFE=60°,FG=1.

又因?yàn)镃E_LEF,所以CF=4,

從而BE=CG=3.

于是BH=BE?sinZBEH=22Z1.

2

因?yàn)锳B=BH?tanZAHB,

所以當(dāng)AB=9時，二面角A-EF-G的大小為60。.

2

【考點(diǎn)】空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，空間向量與立體幾何.

【點(diǎn)評】由于理科有空間向量的知識，在解決立體幾何試題時就有兩套根據(jù)可以使用，這為

考生選擇解題方案提供了方便，但使用空間向量的方法解決立體幾何問題也有其相對的缺

陷，那就是空間向量的運(yùn)算問題，空間向量有三個分坐標(biāo)，在進(jìn)行運(yùn)算時極易出現(xiàn)錯誤，而

且空間向量方法證明平行和垂直問題的優(yōu)勢并不明顯，所以在復(fù)習(xí)立體幾何時，不要純粹以

空間向量為解題的工具，要注意綜合幾何法的應(yīng)用.

【點(diǎn)評】此題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等根底知識，同時考查空間想

象能力和推理運(yùn)算能力.

21.(15分)(2023?浙江)a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2(x-a).

(I)假設(shè)F(1)=3,求a的值及曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(D)處的切線方程；

(n)求f(x)在區(qū)間［o,2］上的最大值.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【專題】計(jì)算題；壓軸題.

【分析】(I)求出f(X),利用F(1)=3得到a的值，然后把a(bǔ)代入f(x)中求出f(1)

得到切點(diǎn)，而切線的斜率等于F(1)=3,寫出切線方程即可；

(II)令f(x)=0求出x的值，利用x的值分三個區(qū)間討論f(x)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值.

【解答】解：(I)f(x)=3x2-2ax.因?yàn)閒⑴=3-2a=3,所以a=0.

又當(dāng)a=0時，f(1)=1,f(1)=3,那么切點(diǎn)坐標(biāo)(1,1),斜率為3

所以曲線丫=￡(x)在［1,f(1))處的切線方程為y-1=3(x-1)化簡得3x-y-2=0.

(II)令f(X)=0,解得乂=0,Y;在.

A23

當(dāng)&40，即a?O時,f(x)在［0,2］上單調(diào)遞增，從而fmax=f(2)=8-4a.

3

當(dāng)年》2時，即a23時，f(X)在［0,2］上單調(diào)遞減，從而fmax=f(0)=0.

O

當(dāng)0〈號<2,即o<a<3,f(X)在［0,咨］上單調(diào)遞減，在肯，2］上單調(diào)遞增，從

'8-4a,0<a<2.

而—

0,2<a<3.

8-4a,a<3

綜上所述，fmax=<

0,a》3

【點(diǎn)評】此題主要考查導(dǎo)數(shù)的根本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等根底知識，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分

析問題和解決問題的能力.

22.(15分)(2023?浙江)曲線C是到點(diǎn)p(-1，心)和到直線尸-至距離相等的點(diǎn)的

288

軌跡，1是過點(diǎn)Q(-1,0)的直線，M是C上(不在1上)的動點(diǎn)；A、B在1上，MALI,

MB_Lx軸(如圖).

(I)求曲線C的方程；

(口)求出直線1的方程，使得J^一為常數(shù).