數(shù)與代數(shù)課件

小學數(shù)學學科素養(yǎng)

－數(shù)的認識與數(shù)的運算

安曉兵

小學數(shù)學學科素養(yǎng)

－數(shù)的認識與數(shù)的1數(shù)學的本質(zhì)數(shù)學是對結構、模式以及模式的結構和諧性的研究，其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學本身的抽象世界中所觀察到的結構和對稱性。

數(shù)學的本質(zhì)數(shù)學是對結構、模式以及模式的結構和諧性的研究，其目2數(shù)學本質(zhì)數(shù)學是研究“現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系”的科學。－恩格斯《反杜林論》“數(shù)學……是一門撇開內(nèi)容只研究形式和關系的科學。數(shù)學的首要和基本對象，是數(shù)量和空間的關系及形式……數(shù)學中不僅研究直接從客觀現(xiàn)實中抽象出來的形式和關系，還研究邏輯上可能的、在已知的形式和關系的基礎上確定的形式和關系……”－前蘇聯(lián)1964年出版《哲學百科全書》數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。－《數(shù)學課程標準》數(shù)學本質(zhì)數(shù)學是研究“現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系”的科學。3我國著名數(shù)學家王梓坤院士指出：“由于計算機的出現(xiàn)，今日數(shù)學已不僅是一門科學，還是一種普適性的技術，從航天到家庭，從宇宙到原子，從大型工程到工商管理，無一不受惠于數(shù)學技術。因而今日的數(shù)學兼有科學與技術兩種品質(zhì)，這是其他學科所少有的。”我國著名數(shù)學家王梓坤院士指出：“由于計算機的出現(xiàn)，今日數(shù)學已4內(nèi)容結構表學段第一學段（1～3年級）第二學段（4～6年級）第三學段（7～9年級）數(shù)與代數(shù)●數(shù)的認識●數(shù)的運算●常見的量●探索規(guī)律●數(shù)的認識●數(shù)的運算●式與方程●探索規(guī)律●數(shù)與式●方程與不等式●函數(shù)內(nèi)容結構表學段第一5小學階段一、數(shù)的認識二、數(shù)的運算三、常見的量、式與方程四、探索規(guī)律小學階段一、數(shù)的認識6

一、數(shù)的認識一、數(shù)的認識71、自然數(shù)與整數(shù)的產(chǎn)生基數(shù)：標準集合的產(chǎn)生、集合的一一對應

序數(shù)：考察動作順序的數(shù)數(shù)活動對應和序列構筑了人類的“數(shù)”概念。1、自然數(shù)與整數(shù)的產(chǎn)生基數(shù)：標準集合的產(chǎn)生、集合的一一對應8

記數(shù)發(fā)展過程

?人們廣泛使用的“匹配”工具逐漸固定下來，這樣計算工具就得到了“升級”,形成了人類記數(shù)發(fā)展過程的第一個階段：算具記數(shù)階段。

?“上古結繩而治，后世圣人易之以書契。”記數(shù)方法由“結繩”發(fā)展到“書契”，是一種意義重大的歷史進步。隨著“書契”記數(shù)方法逐漸推廣，人類進入了記數(shù)發(fā)展過程的第二個階段：數(shù)碼記數(shù)階段。數(shù)碼計數(shù)就是用一定的符號來表示數(shù)。各個國家和民族用不同的符號來表示數(shù)，如古巴比倫的契形數(shù)字，埃及的象形數(shù)字和中國的籌碼數(shù)字等。

?伴隨著文字的不斷創(chuàng)造，數(shù)碼計數(shù)階段也自然而然地跨入了記數(shù)發(fā)展過程的第三個階段——文字記數(shù)階段。最典型的要數(shù)“中國數(shù)字”一至十。這十個數(shù)字簡潔美觀，易識易寫，隨即廣為流傳，并為后來的“十進位值制”的產(chǎn)生奠定文字基礎。

記數(shù)發(fā)展過程

?人們廣泛使用的“匹配”工具逐漸固定下9印度·阿拉伯數(shù)字

?現(xiàn)在國際上通用的阿拉伯數(shù)字“0，1，2，3，…，9，”是印度人對數(shù)學乃至對整個人類文化發(fā)展的重要貢獻。

?這些數(shù)字因阿拉伯人而傳入歐州，所以人們就叫它們?yōu)椤鞍⒗當?shù)字”。印度·阿拉伯數(shù)字10十進制計數(shù)法

歷史上使用過的進位制有以2、5、6、10、12、16、20、60等為基數(shù)的進位制。十進制計數(shù)法

歷史上使用過的進位制有以2、5、6、10、1211進位制的產(chǎn)生

?歷史上較為典型的進位制主要有，二進位制、五進位制、十進位制、十二進位制和六十進位制。

?很自然，手是人類天然的記數(shù)工具。如果說一只手是低級記數(shù)單位，那么一雙手就是高級記數(shù)單位了。這也許是二進位制產(chǎn)生的最早原型。

?玻里尼亞群島、美拉尼西亞群島的居民至今仍使用五進位制。我國算籌和算盤中就采用“以一代五”的五進位制思想。

進位制的產(chǎn)生?歷史上較為典型的進位制主要有，二進位制、五12美拉尼西亞群島所羅門國美拉尼西亞群島所羅門國13十進位制在各民族部落都有廣泛的應用，特別是在我國把它用于算籌之中，從而煥發(fā)出其具大的生命力。

?另外,現(xiàn)今的時鐘，一年的月數(shù)，中國的“地支”以及西方的“一打”等都留有十二進位制的痕跡。

?六十進位制記數(shù)法在古代巴比倫廣為流行，并在稍晚的時候流傳到別的民族。如角度的度量，時間的分秒，“六十甲子”等都是六十進位制的印記。數(shù)與代數(shù)課件14十進制和位值制

現(xiàn)代計數(shù)法中包含著三個重要的因素，它就是①簡潔的符號；②十進位制；③位值制。這三個因素是十進位值制之所以成為現(xiàn)代計數(shù)法的根本原因。整數(shù)的計數(shù)方法是十進制計數(shù)法：一是計數(shù)單位間的關系——每相鄰兩個計數(shù)單位間的進率是10；二是計數(shù)法的位值原則——哪一個數(shù)位上的數(shù)是幾，就表示有幾個這樣的單位。

?然而，盡管有了簡潔“印度·阿拉伯數(shù)字”，和有效的十進位制，記數(shù)依然繁瑣無序。因為現(xiàn)代計數(shù)法中的第三個因素，也是最重要的一個因素——位值制是記數(shù)法的靈魂。

?所謂位值制就是同一數(shù)碼符號在不同的位置表示不同的數(shù)值。這一做法充分體現(xiàn)了固定（位置固定）與變化（符號變化）；有限（數(shù)碼符號個數(shù)有限）與無限（表示的數(shù)值無限）的辯正關系。十進制和位值制15中國的算籌中國的算籌16位值制記數(shù)法中國古代的籌算中的位值制記數(shù)法?；I式的數(shù)碼有縱、橫兩種形式：123456789縱式橫式位值制記數(shù)法中國古代的籌算中的位值制記數(shù)法。17縱橫相間籌式數(shù)字擺放的方法規(guī)定：個位、百位、萬位以上的數(shù)用縱式，十位、千位、十萬位上的數(shù)用橫式，縱橫相間，以免發(fā)生誤會；又規(guī)定用空位來表示零。例如197和1907的籌式分別表示為

《孫子算經(jīng)》：一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當?？v橫相間籌式數(shù)字擺放的方法規(guī)定：個位、百位、萬位以上的18數(shù)的認識教學策略1、認識10是關鍵。2、按單位數(shù)數(shù)。3、不斷擴展數(shù)位順序表，體會位值原則。數(shù)的認識教學策略1、認識10是關鍵。19黃愛華：萬以內(nèi)數(shù)的認識黃愛華：萬以內(nèi)數(shù)的認識20關于“萬萬為億”的計數(shù)法

關于“萬萬為億”的計數(shù)法到了20世紀40年代中期才確定下來。當時我國人口已有四萬萬五千萬，但是人們在讀的時候，常常誤讀為四萬五千萬。為了糾正這一弊端，1944年11月28日，重慶《中央日報》對此作了規(guī)定：“我國數(shù)位系十進位制，數(shù)字大者則以億、兆、京、垓四字代之，而此四字之含義有二：（一）以十萬為億，十億為兆，十兆為京，十京為垓。（二）以萬萬為億，萬億為兆，萬兆為京，萬京為垓。今人事進化，數(shù)字用途亦廣，即如人口貨幣兩端而論，如以十萬為億，即有單位太小，不足敷用之虞，宜以萬萬為億；??根據(jù)上述理由提請大會通過，請建議政府明今確定數(shù)位，以萬萬為億。”從此以后，萬萬為億正式被我國所采用。關于“萬萬為億”的計數(shù)法

關于“萬萬為億”的計數(shù)法到了2021兆=10000000000000000，這個用法在古代中國文獻《孫子算經(jīng)》中記載：“凡大數(shù)之法，萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰垓（ㄍㄞ），萬萬垓曰秭（ㄗˇ），萬萬秭曰穰（ㄖㄤˊ），萬萬穰曰溝，萬萬溝曰澗，萬萬澗曰正，萬萬正曰載?！?，由小到大依次為一、十、百、千、萬、億、兆、京、垓、秭、穰、溝、澗、正、載、極、恒河沙、阿僧祇、那由他、不可思議、無量大數(shù)，萬以下是十進制，萬以后則為萬進制，即萬萬為億，萬億為兆、萬京為垓；小數(shù)點以下為“十退位”，名稱依次為分、厘、毫、絲、忽、微、纖、沙、塵、埃、渺、莫、模糊、逡巡、須臾、瞬息、彈指、剎那、六德、空虛、清靜。恒河沙、阿僧祇、那由他、不可思議、無量等很明顯是受了佛經(jīng)傳入中國的影響。

兆=10000000000000000，這個用法在古代中國文22“彈指”也是佛教中的一個時間量詞，出自于印度的梵語，佛家常用來比喻時光的短暫。

【出處】

《僧祗律》：“一剎那者為一念，二十念為一瞬，二十瞬為一彈指，二十彈指為一羅預，二十羅預為一須臾，一日一夜有三十須臾。”

【換算】

一日一夜＝30須臾＝1.2萬彈指＝24萬瞬間＝480萬剎那；

一日一夜為86400秒，

一“須臾”為2880秒，合48分鐘，

一“彈指”為7.2秒，

一“瞬間”為0.36秒，

一“剎那”為0.018秒。

以上皆為佛教用語，多為音譯。

“彈指”也是佛教中的一個時間量詞，出自于印度的梵語，佛家常用232、分數(shù)的產(chǎn)生分數(shù)含義的解釋

雖然各個國家語言文化的背景不盡相同，但對“分數(shù)”一詞的解釋大體一致，那就是“被分割的數(shù)”。中文：八和刀分數(shù)是在實際度量和均分中產(chǎn)生的。2、分數(shù)的產(chǎn)生分數(shù)含義的解釋24公元1世紀的《九章算術》：分數(shù)的四則運算法則。分數(shù)的加減法，通分，“齊同術”。公元1世紀的《九章算術》：分數(shù)的四則運算法則。253、小數(shù)的產(chǎn)生

中國是最早采用小數(shù)的國家。早於三世紀，劉徽注《九章算術》的時候，已指出在開方不盡的情況下，可以十進分數(shù)（小數(shù)）表示。在元朝劉瑾（約1300年）所著的《律呂成書》中更把現(xiàn)今的106368.6312之小數(shù)部分降低一行來記，可謂是世界最早之小數(shù)表達法。

除中國外，較早采用小數(shù)的便是阿拉伯人卡西。他以十進分數(shù)（小數(shù)）計算出π的17位有效數(shù)值。求得圓周長與半徑的比=3.14159265358979325

至於歐洲，法國人佩洛斯於1492年，首次在他出版之算術書中以點“．”表示小數(shù)。但他的原意是：於兩數(shù)相除時，若除數(shù)為10的倍數(shù)，如123456÷600，先以點把末兩位數(shù)分開再除以6，即1234.56÷6，這樣雖是為了方便除法，不過已確有小數(shù)之意。

到了1585年，比利時人斯蒂文首次明確地闡述小數(shù)的理論，他發(fā)明了表示單位的符號，用3①7②5③表示o．375．表示小數(shù)的人則是意大利人克拉烏斯。他於1593年在自己的數(shù)學著作中以46.5表示461/2=465/10。這表示法很快就為人所接受，但具體之用法還有很大差別。3、小數(shù)的產(chǎn)生26數(shù)與代數(shù)課件274、負數(shù)的產(chǎn)生我國是世界上最早使用負數(shù)概念的國家。早在西漢時期(約公元前2世紀)，就已經(jīng)使用赤籌表示正數(shù)，用黑籌表示負數(shù)。約成書于公元50至100年間的名著《九章算術》在其第八章“方程”章也述及正負數(shù)的概念?！毒耪滤阈g》中已經(jīng)開始使用負數(shù)，而且明確指出若“賣”是正，則“買”是負；“余錢”是正，則“不足錢”是負。劉徽注《九章算術》，定義正負數(shù)為“兩算得失相反”，同時還規(guī)定了有理數(shù)的加、減法則，認為“正、負術曰：同名相益，異名相除?！绷硗庥《纫彩禽^早研究負數(shù)的國家之一。歐州直到15世紀在對方程的討論中才首次出現(xiàn)負數(shù)。4、負數(shù)的產(chǎn)生我國是世界上最早使用負數(shù)概念的國家。28

負數(shù)概念及正負數(shù)運算的教學

（1）通過豐富多彩的現(xiàn)實生活情境，幫助學生了解負數(shù)的意義。（2）借助直觀，理解相反的分界點與“0”的關系。知道0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。（3）通過分步呈現(xiàn)數(shù)軸（不用告訴數(shù)軸名稱）等辦法，使學生認識到正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0。

負數(shù)概念及正負數(shù)運算的教學

（1）通過豐富多彩的現(xiàn)實生活29

30數(shù)與代數(shù)課件31數(shù)與代數(shù)課件32課例：繆宇虹《認識負數(shù)》36′課例：繆宇虹《認識負數(shù)》335、0的意義

5、0的意義340的作用（1）占位的作用例如：103.04，表示十位和十分位上一個單位也沒有。0.10為近似數(shù)時，表示精確到百分位。5.00元表示特別的單價是5元整。（2）數(shù)量的界限例如在數(shù)軸上0是正數(shù)與負數(shù)的界限?！?”既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。在攝氏溫度計上“0”是零上溫度與零下溫度的分界。（3）表示溫度在通常情況下水結冰的溫度為攝氏“0”度。說今天的氣溫為零度，并不是指今天沒有溫度。（4）表示起點如在刻度尺上，刻度的起點為“0”。從甲城到乙城的公路上，靠近路邊豎有里程碑，每隔1千米豎一個，開始第一個樁子上刻的是“0”，表明這是這段公路的起點。0的作用（1）占位的作用350為什么不能作除數(shù)？除法的定義：已知數(shù)a、b（b≠0），求一個數(shù)q，使b×q=a，這種運算叫除法，記作a÷b=q，其中a、b、q分別叫被除數(shù)、除數(shù)和商.

為什么b≠0呢？這是因為如果b=0，那么（1）當a=0時，任何數(shù)乘0都等于0，此時商q可以取任意數(shù)，即不確定，這不符合四則運算結果唯一性的規(guī)定；（2）當a≠0時，因為任何數(shù)乘0都等于0而不等于a，此時商q不存在.

因此，在除法運算中規(guī)定“0不能作除數(shù)”.0為什么不能作除數(shù)？除法的定義：已知數(shù)a、b（b≠0）36數(shù)的認識在小學主要分為認識整數(shù)、認識分數(shù)（正分數(shù)）和認識小數(shù)三大塊。我們知道，《數(shù)學課程標準（實驗稿）》對數(shù)系作了以下規(guī)定：正整數(shù)整數(shù)0負整數(shù)有理數(shù)正分數(shù)分數(shù)負分數(shù)（正整數(shù)和0統(tǒng)稱為自然數(shù)）數(shù)的認識在小學主要分為認識整數(shù)、認識分數(shù)（正分數(shù)）和認識小數(shù)376、無理數(shù)畢達哥拉斯學派有一個信條：宇宙間的一切數(shù)都能歸結為整數(shù)或整數(shù)之比。畢氏的一個門徒希伯索斯，在研究等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比，或正方形對角線與其一邊之比時，發(fā)現(xiàn)其比不能用整數(shù)之比表達時，便很吃驚。6、無理數(shù)畢達哥拉斯學派有一個信條：宇宙間的一切數(shù)都能歸結為387、對數(shù)

應用對數(shù)，乘法和除法可以歸結為簡單的加法和減法運算現(xiàn)在所用的對數(shù)表是由蘇格蘭著名的數(shù)學家納皮爾發(fā)明的加、減、乘、除、乘方、開方、指數(shù)、對數(shù)等“八則運算”。7、對數(shù)

應用對數(shù)，乘法和除法可以歸結為簡單的加法和減法運算398、虛數(shù)虛數(shù)是在解方程時產(chǎn)生的。求解方程時，常常需要將數(shù)開方，如果被開方數(shù)是正數(shù)，就可以算出要求的根；但如果被開方數(shù)是負數(shù)，那怎么辦呢？比如，方程x+1=0，x=-1，x=±那么有沒有意義呢？很早以前，大多數(shù)人都認為負數(shù)是沒有平方根的。到了16世紀，意大利數(shù)學家卡當在其著作《大法》（1545年）中，把記為R.m.15，這是最早的虛數(shù)記號。8、虛數(shù)虛數(shù)是在解方程時產(chǎn)生的。求解方程時，常常需要將數(shù)開方40

9、復數(shù)

復數(shù)就是實數(shù)和虛數(shù)的統(tǒng)稱。復數(shù)的基本形式是a+bi,其中a，b是實數(shù)，a稱為實部，bi稱為虛部，i是虛數(shù)單位,在復平面上，a+bi是點Z(a,b)。

9、復數(shù)

復數(shù)就是實數(shù)和虛數(shù)的統(tǒng)稱。復數(shù)的基本形式是a+4110、數(shù)系……超復數(shù)（四元數(shù)、八元數(shù)、n元數(shù)）10、數(shù)系42二、數(shù)的運算二、數(shù)的運算43運算符號的由來：“+、-”，15世紀，德國數(shù)學家魏德曼創(chuàng)造。“×”，1631年，英國數(shù)學家奧特累得（w.oughtred)提出用符號“×”表示相乘。乘法是表示增加的另一種方法，所以把“+”號斜過來。另一個乘法符號“·”是德國數(shù)學家萊布尼茲首先使用的。“÷”，表示分解，18世紀瑞士學者哈納創(chuàng)造的?！埃健保ǖ龋┨柺?6世紀英國學者列科爾德（雷科德）發(fā)明的，他認為世界上再沒有比這兩條平行而又相等的直線更相同了，所以他采用這個符號表示兩數(shù)相等?！啊ぁ保ǔ耍┨柡汀埃骸保ū然虺┨柺窃?7世紀末由發(fā)明微積分的著名數(shù)學家萊布尼茲創(chuàng)造并引入數(shù)學運算的。相似符號“∽”和全等符號“≌”也應該歸功于萊布尼茨?！啊?，17世紀，法國數(shù)學家笛卡兒首先使用，“”包含兩層意思：“”是由拉丁字母“r”演變而來，它的原詞是“root”，是方根的意思；上面這條短線“—”是擴線，即我們現(xiàn)在常用的括號。運算符號的由來：44課標要求：應重視口算，加強估算，提倡（鼓勵）算法多樣化；避免繁雜計算，避免……課標要求：應重視口算，加強估算，提倡（鼓勵）算法多樣化；451、口算口算不只是筆算的基礎，而是一種不同的訓練，是課程中獨立的部分?？谒阌泻芨叩膶嵱脙r值。適時、適量、適度。100以內(nèi)的兩位數(shù)加一位數(shù)進位加法共369道題1、口算口算不只是筆算的基礎，而是一種不同的訓練，是課程中獨46●“64+7”和“65+7”，哪一道題應該練得更多一些？為什么？●“9+2”、“7+8”、“6+7”，哪一道題該多練？練幾遍？●“64+7”和“65+7”，哪一道題應該練得更多一47張?zhí)煨ⅲ骸?+7”該出現(xiàn)10次以上，“8+7”次之，“9+2”只需兩三次就夠了。張?zhí)煨ⅲ骸?+7”該出現(xiàn)10次以上，“8+7”次之，“9+248口算教學的策略1、在數(shù)形結合中理解口算原理直觀動作思維－具體形象思維－抽象邏輯思維2、合理訓練，強化基本口算20以內(nèi)加減法，表內(nèi)乘法和表內(nèi)除法，四張九九表是一切口算的基礎，必須讓學生達到“脫口而出”的熟練程度。小學數(shù)學口算的方法一般有三個層次：逐一重新計數(shù)－借數(shù)數(shù)加算或減算－按數(shù)群運算。所謂數(shù)群，是指學生在計數(shù)時能將最后說出的數(shù)作為所數(shù)過的一群對象的總體來把握。所謂按群計數(shù)，就是計數(shù)時不以某個物體為單位，而是以數(shù)群為單位，如兩個兩個地數(shù)、五個五個地數(shù)，等等。3、針對難點反復練習。特級教師徐斌和、邱學華等老師都特別強調(diào)過，不能平均有力，要注意練習的針對性。4、加強聽算訓練5、加法九九表6、口算表的利用7、24點游戲口算教學的策略1、在數(shù)形結合中理解口算原理49２０以內(nèi)進位加法口訣九二１１八三１１七四１１六五１１九三１２八四１２七五１２兩個六１２九四１３八五１３七六１３九五１４八六１４兩個七１４九六１５八七１５九七１６兩個八１６九八１７兩個九１８２０以內(nèi)進位加法口訣九二１１八三１１七四１１六五１１502、估算教學策略：簡約、轉換、補償

估算策略主要有：1、簡約：（1）湊整的方法。如湊成一個整十整百的數(shù)。例如：495+310＝500+300＝800；（2）利用特殊的數(shù)據(jù)特點進行估數(shù)。如126×8，就可以想到125×8，125的8倍，就得到1000。（3）尋找區(qū)間。也就是說叫尋找它的范圍，也叫做去尾進一，“去尾”就是只看首位，那么只看首位的時候，估得的結果就是它至少是多少，“進一”就是首位加一，假如說278，我們就看成了300，首位加一，這樣就是它最多可能是多少，這樣得到一個范圍，就是尋找它的區(qū)間范圍。

2、

轉換：取一個中間數(shù)，轉換為乘法問題。比如32373039這四個數(shù)求和，這些數(shù)都很接近35，有的比35多一點，有的比35少一點，就取一個中間數(shù)35，直接用35×4，就大約地計算出這幾個數(shù)相加的結果。

3、補償：兩個數(shù)，一個數(shù)往大了估，一個數(shù)往小了估，或者一個數(shù)估一個數(shù)不估。先估后調(diào)：學生根據(jù)不同的情況，采取不同估計的策略，這是對學生估算能力的一種很好地培養(yǎng)過程。在這里我們只是提了六種具體的策略，其實還有很多，一線的老師們有很多豐富的經(jīng)驗，希望你們不斷地完善估算策略，并且在適當時候幫助學生進行總結。2、估算教學策略：簡約、轉換、補償

估算策略主要有：513、算法多樣化的價值

1、發(fā)展思維，建構創(chuàng)新；2、資源共享，促進交流；3、了解學生，因材施教。3、算法多樣化的價值

1、發(fā)展思維，建構創(chuàng)新；52算法多樣化教學建議

第一，獨立思考；

第二，互動交流；

第三，善于比較。算法多樣化教學建議

第一，獨立思考；

第二，互動交流；

第三534、算理與算法算理是四則運算的理論依據(jù)，它是由數(shù)概念、運算定律、運算性質(zhì)等構成的。運算定律能夠保證整個計算的正確性，取得唯一的結果。算法是具體的計算方法（主要指計算法則），它是四則運算的基本程序和方法。4、算理與算法算理是四則運算的理論依據(jù)，它是由數(shù)概念、運算定54整數(shù)加法的算理：324+324＝648＝（300+20+4）+（300+20+4）＝（300+300）+（20+20）+（4+4）＝600+40+8＝648運用交換律、結合律，還利用了整數(shù)十進制計數(shù)法，最后得到結果。相同數(shù)位上的數(shù)相加減。小數(shù)乘法的算理：0.3×0.2＝（3×0.1）×（2×0.1）＝（3×2）×（0.1×0.1）＝6×0.01＝0.06計算中根據(jù)小數(shù)的意義，利用乘法的交換律與結合律，保證計算結果的正確性。相同數(shù)位上的數(shù)相乘。整數(shù)加法的算理：55

除法和減法有什么聯(lián)系

除法和減法有什么聯(lián)系：“60÷15=4”，既可以表示把60平均分成15份，每份是4，也可以表示60里面包含有4個15，就是從60里面連續(xù)減去相同的數(shù)15，減4次剛好減完。列成減法算式是：60-15-15-15-15=0我們由此可以看出，除法也可以看作連續(xù)減去相同數(shù)的簡便運算。被除數(shù)就是被減數(shù)，除數(shù)就是相同的減數(shù)，連減的最多次數(shù)就是商。如果連續(xù)減去若干次以后，剛好減完，說明余數(shù)為0。如果連續(xù)減去若干次以后，最后的差不是0，但比減數(shù)小，那么最后的差就是余數(shù)。例如：89-28-28-28=5寫成除法算式就是：89÷28=3??5除法和減法有什么聯(lián)系

除法和減法有什么聯(lián)系：56介紹棄九驗算法一個數(shù)除以9的余數(shù)叫棄九數(shù)。如84÷9=9……3，84的棄九數(shù)是3。

我們可以把一個數(shù)，每位數(shù)字加起來，繼續(xù)加，直到結果是一位數(shù)（如果是9再減9是0），如8+4=12。1+2=3。

介紹棄九驗算法一個數(shù)除以9的余數(shù)叫棄九數(shù)。如84÷9=9……57乘法棄9驗算看“被乘數(shù)的棄9數(shù)×乘數(shù)的棄9數(shù)”所得的積是否等于“原來積的棄9數(shù)”，如果相等，此題為對（大至如此），否則為錯。如200×75=15000被乘數(shù)的棄9數(shù)：2+0+0=12，棄9為2.乘數(shù)的棄9數(shù)：7+5=12，棄9得3.兩個棄9數(shù)相乘：2×3=6。等號左邊為6.等號右邊的原積的棄9數(shù)：1+5+0+0+0=6，棄9數(shù)為6.則等號右邊也為6，該題為對。

除法棄9驗算看“商的棄9數(shù)×除數(shù)的棄9數(shù)”所得的積是否等于“被除數(shù)的棄9數(shù)”，如果相等，此題為對（大至如此），否則為錯。如238/4=59.5除數(shù)是4棄9是4;商5+9+5=19棄9的1;被除數(shù)2+3+8=13棄9的4;4*1=4對.

加法棄9驗算看“兩個加數(shù)的棄9數(shù)”的和是否等于“和的棄9數(shù)”，如果相等，此題為對（大至如此），否則為錯。如12231+58799=71030;加數(shù)1+2+2+3+1=0棄9得0;加數(shù)5+8+7+9+9=38棄9得2;和7+1+0+3+0=11棄9得2;0+2=2對

減法棄9驗算看“差的棄9數(shù)＋減數(shù)的棄9數(shù)”所得的和是否等于“被減數(shù)的棄9數(shù)”，如果相等，此題為對（大至如此），否則為錯。如97-16=81差8+1=9棄9得0;減數(shù)1+6=7棄9得7;被減數(shù)9+7=16棄9得7;0+7=7

乘法棄9驗算58有余數(shù)的除法

看下面一組除法算式：11