高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.2第1課時幾個常用函數(shù)的導數(shù)與基本初等函數(shù)的導數(shù)公式學案新人教A版選修22

第1課時幾個常用函數(shù)的導數(shù)與基本初等函數(shù)的導數(shù)公式導思1.四種常用函數(shù)的導數(shù)是什么？2．基本初等函數(shù)的導數(shù)計算公式是什么？函數(shù)f(x)＝cf(x)＝xf(x)＝x2f(x)＝eq\f(1,x)導數(shù)f′(x)＝0f′(x)＝1f′(x)＝2xf′(x)＝－eq\f(1,x2)函數(shù)y＝eq\r(x)也是常用的冪函數(shù)，它的導數(shù)是什么？提示：對于冪函數(shù)y＝xα，它的導數(shù)為y′＝αxα－1，所以y＝eq\r(x)的導數(shù)為f′(x)＝eq\f(1,2\r(x)).2．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式函數(shù)導數(shù)函數(shù)導數(shù)f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝axf′(x)＝axlna(a>0)f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)f(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)(1)函數(shù)f(x)＝ax的導數(shù)與函數(shù)f(x)＝ex的導數(shù)之間有什么關系？提示：f(x)＝ex是底數(shù)為e的指數(shù)函數(shù)，是特殊的指數(shù)函數(shù)，所以其導數(shù)f′(x)＝ex也是f′(x)＝axlna當a＝e時的特殊情況．(2)函數(shù)f(x)＝logax與f(x)＝lnx的導數(shù)之間有何關系？提示：f(x)＝lnx是f(x)＝logax的一個特例，f(x)＝lnx的導數(shù)也是f(x)＝logax的導數(shù)的特例．1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)(sinx)′＝－cosx．(×)提示：(sinx)′＝cosx．(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2).(×)提示：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝(x－1)′＝－x－2＝－eq\f(1,x2).(3)(lnx)′＝eq\f(1,x).(√)2．已知f(x)＝x2，則f′(3)等于()A．0 B．2x C．6 D．9【解析】選C.因為f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，所以f′(3)＝6.3．(教材練習改編)求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝log3x.(2)y＝8x.【解析】(1)y′＝(log3x)′＝eq\f(1,xln3).(2)y′＝(8x)′＝8xln8＝3×8xln2.類型一利用導數(shù)公式計算導數(shù)(數(shù)學運算)1．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，則f′(2)＝()A．8 B．12 C．8ln3 【解析】選D.f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常數(shù)函數(shù)，所以f′(x)＝0.所以f′(2)＝0.2．求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)y＝x6.(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x).(3)y＝eq\f(1,x2).【解析】(1)y′＝(x6)′＝6x5.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)lneq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)ln2.(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝(x－2)′＝－2x－3.運用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求導的注意事項(1)對于簡單的函數(shù)，直接套用公式．(2)對于較為復雜，不能直接套用公式的，可先把題中函數(shù)恒等變形為基本初等函數(shù)，再求導．【補償訓練】1.下列結論正確的個數(shù)為()①y＝ln2，則y′＝eq\f(1,2)；②y＝2x，則y′＝2xln2；③y＝log2x，則y′＝eq\f(1,xln2).A．0 B．1 C．2 D．3【解析】選C.①y＝ln2為常數(shù)，所以y′＝0，①錯；②③均正確，直接利用公式即可驗證．2．對于函數(shù)y＝x2，其導數(shù)值等于原函數(shù)值的點是________．【解析】y′＝2x，令2x＝x2，解得x＝0或x＝2，所以滿足條件的點是(0，0)，(2，4).答案：(0，0)，(2，4)類型二導數(shù)公式的應用(數(shù)學運算，直觀想象)【典例】已知直線y＝kx是曲線y＝lnx的一條切線，求k的值．【思路導引】設出切點的坐標，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，表示出k，再由切點既在直線上又在曲線上，建立方程組，即可求出k的值．【解析】設切點坐標為(x0，y0)，因為y＝lnx，所以y′＝eq\f(1,x)，所以＝eq\f(1,x0)＝k.因為點(x0，y0)既在直線y＝kx上，也在曲線y＝lnx上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝kx0，①,y0＝lnx0.②))把k＝eq\f(1,x0)代入①式得y0＝1，再把y0＝1代入②式求出x0＝e.所以k＝eq\f(1,x0)＝eq\f(1,e).利用導數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況(1)若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導數(shù)．(2)如果已知點不是切點，則應先設出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解．1．曲線y＝eq\r(x)在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))處的切線方程為()A．4x－4eq\r(3)y＋2eq\r(3)－1＝0B．4x－4y＋1＝0C．4eq\r(3)x－4y＋2－eq\r(3)＝0D．4x＋4y－3＝0【解析】選B.由于y＝eq\r(x)，所以y′＝eq\f(1,2\r(x))，于是＝1，所以曲線在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))處的切線的斜率等于1，切線方程為4x－4y＋1＝0.2．設曲線y＝ex在點(0，1)處的切線與曲線y＝eq\f(1,x)(x＞0)上點P處的切線垂直，則點P處的切線方程為________．【解析】由題意知，y′＝ex，曲線在點(0，1)處的斜率k1＝e0＝1，設P(m，n)，y＝eq\f(1,x)(x＞0)的導數(shù)為y′＝－eq\f(1,x2)(x＞0)，曲線y＝eq\f(1,x)(x＞0)在點P處的切線斜率k2＝－eq\f(1,m2)(m＞0)，由題意知k1k2＝－1，由此易得m＝1，n＝1，即點P的坐標為(1，1)，k2＝－1.點P處的切線方程為x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝01．常數(shù)函數(shù)在任何一點處的切線是()A．上升的 B．下降的C．垂直于y軸的 D．以上都有可能【解析】選C.因為常數(shù)函數(shù)在任何一點處的導數(shù)都為零，所以其切線的斜率等于零，即任何一點處的切線垂直于y軸．2．下列結論不正確的是()A．若y＝3，則y′＝0B．若y＝eq\f(1,\r(x))，則y′＝－eq\f(1,2)eq\r(x)C．若y＝－eq\r(x)，則y′＝－eq\f(1,2\r(x))D．若y＝3x，則y′＝3【解析】選B.3．若y＝lnx，則其圖象在x＝2處的切線斜率是()A．1 B．0 C．2 D．eq\f(1,2)【解析】選D.因為y′＝eq\f(1,x)，所以＝eq\f(1,2)，故圖象在x＝2處的切線斜率為eq\f(1,2).4．曲線y＝x3上切線平行或重合于x軸的切點坐標是()A．(0，0) B．(0，1