二次曲線的新探索

二次曲線的新探索摘要：本文從一個引理出發(fā)，探討了二次曲線的幾個新的性質(zhì)及推論。關(guān)鍵詞：二次曲線引理：設(shè)，二次曲線：與過點且傾斜角為的直線交于點A、B，則.直線的參數(shù)方程為代入曲線并整理得：，即，故有.作為特例當(dāng)直線與曲線相切于點A時（A、B重合），顯然有.對于圓來說，顯然定值，這是一個與直線的方向無關(guān)僅與點P的位置有關(guān)的常量，即所謂的圓冪定理（相交弦定理與切割線定理）；可是橢圓、雙曲線并沒有類似的性質(zhì)，但是我們卻有下面令人興奮的發(fā)現(xiàn)：定理1己知的三條所在直線分別與二次曲線交于點A、B；C、D；E、F，則有.AAP2P1P3BCDFEl1l2l3如圖，設(shè)點及直線的傾斜角為，二次曲線的方程為，其中.由引理可知，，所以，同理可得，，三式相乘得，定理1得證.從上述證明過程可看出，定理1可推廣至邊形各邊所在真線與二次曲線相交的情況，例如下圖中的四邊形各邊所在直線分別與二次曲線交于點A、B；C、D；E、F；G、H；我們有：P1P1P2P3P4ABCDEFHGP1P2P3l1l2l3ABC定理2設(shè)的三條所在直線分別與二次曲線相切于點A、B、C，則三條直線PP1P2P3l1l2l3ABC由定理1可知，從而，由塞瓦定理（GiovanniCeva，1648～1734，意大利）可知P1B、P2C、P3A相交于一點.我們知道平面上的五個點（任意三點不共線）可唯一確定一個二次曲線，現(xiàn)在我們就來逆向?qū)徱曇幌露ɡ?，我們有下面結(jié)論.P1P2P3ABCDEFG定理3己知的各邊（或延長線）上分別各取兩個點A、B；C、P1P2P3ABCDEFG設(shè)A、B、C、D、E五點唯一確定一個二次曲線，并設(shè)曲線與直線PR的另一個交點為G,由定理1可知又由己知，兩式比較，可以看出G、F兩點重合，所以A、B、C、D、E、F六點都在曲線上，定理3得證.P1P2P3ABCDEF推論1己知的各邊上分別取兩個點A、B；C、D；E、F使得P1A＝P2B；P2C=P3D；PP1P2P3ABCDEF證略.P1P2P3ABCDEF推論2己知的各邊上分別取兩個點A、B；C、D；E、F使得∠P1P3A＝∠P2P3B；∠P2P1C=∠P3P1D；∠P3P2E＝P1P2P3ABCDEF略證：據(jù)己知條件易得，，.所以必有，由定理3得證.作者：方才國日期：2010-6-25電話址：安徽省銅陵市第十七中學(xué)郵編：244001郵箱：word_math@作者簡介：方才國，男，安徽銅陵人，中學(xué)高級教師，長期在教學(xué)一線工作，教學(xué)經(jīng)驗豐富，熱愛初等數(shù)學(xué)研究，有多篇論文發(fā)表。多次參與安徽省中考數(shù)學(xué)命題工作。注：本文所述所有結(jié)論都在幾何畫板4.07中文版上實驗通過，因此可