經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和頻率直方圖課件

§6.2經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和頻率直方圖

分布函數(shù)是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征，既然總體可以用隨機(jī)變量來表示，而樣本又可對(duì)總體的信息進(jìn)行提取。因此，怎樣用樣本(X1,…,Xn)估計(jì)總體X的分布函數(shù)F(x)?任意給定自變量x，則

F(x)=P(X<x)．用事件{X<x)發(fā)生的頻率作為其估計(jì)即可。這就引出了下面所謂經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的概念。

§6.2經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和頻率直方圖分布函數(shù)1即設(shè)X1,…,Xn是抽自總體X的一個(gè)樣本，觀察值為x1,…,xn，次序觀測(cè)值x(1)≤…≤x(n)，則總體X的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)定義為

x一、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)x(1)x(2)即設(shè)X1,…,Xn是抽自總體X的一個(gè)樣本，觀察值為x1,…,2例總體X，樣本觀察值1，2，2，2，3，3，3，4，則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為

經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)如右圖所示：例總體X，樣本觀察值1，2，2，2，3，3，3，4，3關(guān)于經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，我們要注意一下幾點(diǎn)：經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是利用樣本得到的，而樣本是隨機(jī)向量，所以經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)也是隨機(jī)的。同一個(gè)總體，即使是在相同的樣本容量下，不同的樣本也會(huì)給出不同的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)；對(duì)于給定的x，F(xiàn)n(x)是一個(gè)隨機(jī)變量，是事件{X<x}在n重貝努里試驗(yàn)中發(fā)生的頻率；給定樣本值后，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)就成為一個(gè)普通的跳躍函數(shù)，而且恰好是一個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，該離散型隨機(jī)變量的分布列為Pi=1/n,i=1,2,,n關(guān)于經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，我們要注意一下幾點(diǎn)：經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是利用樣本4定理6.2.1(格列汶科定理或Glivenko-Cantelli定理)設(shè)F(x)是總體X的分布函數(shù)，F(xiàn)n(x)是總體X的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，所以，我們有必要研究隨著樣本的不同經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)會(huì)發(fā)生什么變化。也就是研究經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和總體分布函數(shù)之間的關(guān)系。定理6.2.1(格列汶科定理或Glivenko-Cantel5二、頻率直方圖如果總體X的分布函數(shù)F(x)有密度函數(shù)p(x)，怎樣利用樣本(X1,X2,…,Xn)來刻畫這個(gè)密度函數(shù)？任意給定x[a,b)，則當(dāng)[a,b)區(qū)間比較短，而且p(u)在[a,b)區(qū)間變化不大時(shí)，有再次利用頻率近似概率的思想，用Rn(a,b)表示樣本(X1,X2,…,Xn)中落在[a,b)的個(gè)數(shù)，那么這就引出了頻率直方圖。依次給定m+1個(gè)實(shí)數(shù)t0<t1<…<tm，其中t1-t0=t2-t1=t3-t2=…=tm-tm-1=h>0.令用fn(x)作為密度函數(shù)p(x)的估計(jì)，這就是頻率直方圖法。二、頻率直方圖如果總體X的分布函數(shù)F(x)有密度函數(shù)p(x)6（1）找出x(1),x(n)，選擇適當(dāng)?shù)腶<x(1),b>x(n).（例如將x(1)縮小半個(gè)刻度作為a，將x(n)放大半個(gè)刻度作為b）取m-1個(gè)分點(diǎn)a=t0<…<tm=b，得到m個(gè)等分區(qū)間[ti-1,ti)(i=1,…,m)。ti-1稱為第i組的下組界；ti稱為第i組的上組界；h=ti-ti-1稱為組距或步長(zhǎng)。則每個(gè)數(shù)據(jù)都落在其中的一個(gè)小區(qū)間上。（2）統(tǒng)計(jì)落在每一組上的頻數(shù)ni=Rn(ti,ti+1)；計(jì)算

fi=ni/nh，i=0,1,…,m-1.（3）以[ti-1,ti)(i=1,…,m)為底，fi為高作矩形，即頻率直方圖。設(shè)(x1,…,xn)是得到的樣本觀測(cè)值，在實(shí)際使用時(shí)，我們往往用以下步驟具體給出頻率直方圖（1）找出x(1),x(n)，選擇適當(dāng)?shù)腶<x(1),b>x7例下表為我國(guó)大陸各省、直轄市2001年人均國(guó)民生產(chǎn)總值（萬元），試做出頻率直方圖，從中判斷數(shù)據(jù)大概是來自什么樣的總體？北京25523天津20154河北8362山西5460內(nèi)蒙古6463遼寧12041吉林7640黑龍江9349上海37382江蘇12922浙江14655安徽5221福建12362江西5221山東10465河南5924湖北7813湖南6054廣東13730廣西4668海南7135重慶5654四川5250貴州2895云南4866西藏5307陜西5024甘肅4163青海5735寧夏5340新疆7913例下表為我國(guó)大陸各省、直轄市2001年人均國(guó)民生產(chǎn)總值（8解：最小值為2895，最大值為37382，取a=2894.5，b=37382.5，將區(qū)間分成6等分，統(tǒng)計(jì)頻數(shù)計(jì)算頻率，得下表：分組頻數(shù)頻率頻率/組距[2894.5,8642.5)210.6774190.000118[8642.5,14390.5)60.1935480.0000337[14390.5,20138.5)10.0322580.00000516[20138.5,25886.5)20.0645160.0000112[25886.5,31634.5)000[31634.5,37382.5)10.0322580.00000516解：最小值為2895，最大值為37382，取a=28949頻率直方圖如下圖所示：初步判斷數(shù)據(jù)是來自什么樣的總體？這個(gè)例子中數(shù)據(jù)量相對(duì)來說比較少，一般情況下數(shù)據(jù)量最好大于100，分組的個(gè)數(shù)根據(jù)數(shù)據(jù)量來確定，一般介于[n/10,n/5]之間，最多不能超過20組。頻率直方圖如下圖所示：初步判斷數(shù)據(jù)是來自什么樣的總體？這個(gè)例10定理6.2.2密度函數(shù)p(x)在點(diǎn)x[t0,tm)處連續(xù)，樣本容量為n，且由（1-3）可知，結(jié)論成立。證明：由p(x)在點(diǎn)x[t0,tm)處連續(xù)知其局部有界，即存在>0，K>0，使得對(duì)y

[x-,x+]有p(y)≤K。由已知條件知，樣本容量n充分大時(shí)，h

≤。設(shè)