理論力學(xué)第二章質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)課件

§2.3動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒律一、質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量矩定理1.對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩2.相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量矩描述S系（固定系）S′系（平動(dòng)系）′oo′ii§2.3動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒律一、質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量矩定13.在質(zhì)心系中分析以上四項(xiàng)s′系的原點(diǎn)固定在質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心上，則：第一項(xiàng)：質(zhì)心對(duì)o點(diǎn)的動(dòng)量矩3.在質(zhì)心系中分析以上四項(xiàng)s′系的原點(diǎn)固定在質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心上，2第二項(xiàng)：第二項(xiàng)：3第四項(xiàng)：質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩總結(jié)：

質(zhì)點(diǎn)組對(duì)一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩等于質(zhì)心對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩與質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩之矢量和。慣性系某一固定點(diǎn)第三項(xiàng)：第四項(xiàng)：質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩總結(jié)：質(zhì)點(diǎn)組對(duì)一固定點(diǎn)的動(dòng)44、質(zhì)點(diǎn)組對(duì)固定點(diǎn)o的動(dòng)量矩定理單個(gè)質(zhì)點(diǎn)：對(duì)每質(zhì)點(diǎn)求和：則：xyOi0合外力對(duì)o點(diǎn)的力矩4、質(zhì)點(diǎn)組對(duì)固定點(diǎn)o的動(dòng)量矩定理單個(gè)質(zhì)點(diǎn)：對(duì)每質(zhì)點(diǎn)求5理論力學(xué)第二章質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)ppt課件6''對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：以質(zhì)心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則形式與固定參考系一樣′oo′ii慣性力矩在動(dòng)系中質(zhì)心的位置動(dòng)系相對(duì)靜系的平動(dòng)加速度''對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：以質(zhì)心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則形式與固定7xo選逆時(shí)針為正方向繩對(duì)質(zhì)點(diǎn)組的力為內(nèi)力【例4】xo選逆時(shí)針為正方向繩對(duì)質(zhì)點(diǎn)組的力為內(nèi)力【例4】8解法二：隔離二人并分別用牛頓第二定律選地面為參照系隔離質(zhì)量為的人，(1)隔離質(zhì)量為的人，(2)由方程(1)和(2)得二人均以勻加速向上爬對(duì)地面的加速度注：也可用對(duì)通過滑輪中心水平軸的動(dòng)量矩定理解法二：隔離二人并分別用牛頓第二定律選地面為參照系隔離質(zhì)量為9注：若兩人質(zhì)量相等，且，至少有一個(gè)人努力就可以同時(shí)到達(dá)頂端，爬繩所需時(shí)間則與兩人的努力程度有關(guān)。質(zhì)量不等的兩人能同時(shí)到達(dá)頂端的前提條件兩人能否同時(shí)到達(dá)頂端與他們共同努力的程度有關(guān)，但誰較努力些則無關(guān)緊要。注：若兩人質(zhì)量相等，且，至少有一個(gè)人質(zhì)10選【例5】質(zhì)量分別為m1,m2的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，用一長為a+b的無重剛性桿連接，c為質(zhì)心（如圖所示）。最初處于水平位置，突然給m2以v0的速度，試求兩質(zhì)點(diǎn)此后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律？m2m1abcv0解：

可先確定質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，再確定m1,m2對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。1.對(duì)象：質(zhì)點(diǎn)組（m1,m2)2.參照系：地面；坐標(biāo)系：o-xym1xy選【例5】質(zhì)量分別為m1,m2的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，用一長為a+b的無113.受力分析外力4.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理（不考慮內(nèi)力）分量式：解得：3.受力分析外力4.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理（不考慮內(nèi)力）分量式：解得：12其中：質(zhì)心為豎直上拋運(yùn)動(dòng)5.求m1，m2對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)分析特點(diǎn)：m2gm1gabc其中：質(zhì)心為豎直上拋運(yùn)動(dòng)5.求m1，m2對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)分析特點(diǎn)13即任意時(shí)刻動(dòng)量矩等于初始時(shí)刻動(dòng)量矩。設(shè)t時(shí)刻桿的角速度為ω質(zhì)點(diǎn)m1，m2相對(duì)質(zhì)心作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)則：abc即任意時(shí)刻動(dòng)量矩等于設(shè)t時(shí)刻桿的角速度為ω質(zhì)點(diǎn)m1，m2相對(duì)14§2.4動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能1.質(zhì)點(diǎn)組中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能。質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能′oo′ii2.動(dòng)能的相對(duì)運(yùn)動(dòng)描述S系（固定系）S′系（平動(dòng)系）§2.4動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能1.153.柯尼希定理引入質(zhì)心參照系，分析上式3.柯尼希定理引入質(zhì)心參照系，分析上式16第一項(xiàng)：第二項(xiàng)：第三項(xiàng)：柯尼希定理敘述：質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能等于質(zhì)心的動(dòng)能與各質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能之和。相對(duì)固定參照系第一項(xiàng)：第二項(xiàng)：第三項(xiàng)：柯尼希定理敘述：質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能等于質(zhì)心17【例6】一半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，直立在水平面上向前滾動(dòng)而不滑動(dòng)，若圓心的速度為，求圓盤的動(dòng)能。解：由柯尼希定理圓盤相對(duì)于其質(zhì)心軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)cP圓盤作純滾動(dòng)的條件：【例6】一半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，直立在水平面上向前滾18二、質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理(在慣性系S中)由第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：求和后，敘述:質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能的微分等于質(zhì)點(diǎn)組所受的外力與內(nèi)力的元功之和。

特點(diǎn)：①內(nèi)力所作的功不能互相抵消。

二、質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理(在慣性系S中)由第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：19②質(zhì)點(diǎn)組不受外力或合外力為零，動(dòng)能不一定守恒。

三、質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能定理引入質(zhì)心參照系，質(zhì)點(diǎn)組中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能求和：質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)力做功②質(zhì)點(diǎn)組不受外力或合外力為零，動(dòng)能不一定守恒。三、質(zhì)點(diǎn)組20敘述:質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心系的動(dòng)能的微分等于外力與內(nèi)力對(duì)質(zhì)心系的元功之和。

說明（1）質(zhì)心系一般為非慣性系，但在質(zhì)心系中質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理仍保持與慣性系中相同的形式。（2）慣性力對(duì)質(zhì)點(diǎn)組做功為零。四、機(jī)械能守恒定律內(nèi)力與外力均為保守力或只有保守力做功，則質(zhì)點(diǎn)組的機(jī)械能守恒敘述:質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心系的動(dòng)能的微分等于外力與內(nèi)力對(duì)質(zhì)心系的元功21解：質(zhì)點(diǎn)組沒有受外力作用，兩質(zhì)點(diǎn)相互作用的內(nèi)力為保守力，質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒。（1）選的動(dòng)量方向?yàn)檎较颍?）聯(lián)立方程（1）、（2）解得方程（2）也可用質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理代替（3）選【例7】質(zhì)量為m1和m2的兩質(zhì)點(diǎn)以萬有引力吸引，開始時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)靜止且距離為。求兩質(zhì)點(diǎn)相距為時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)的速度。解：質(zhì)點(diǎn)組沒有受外力作用，兩質(zhì)點(diǎn)相互作用的內(nèi)力為保守力，質(zhì)點(diǎn)22選【例8】質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)，沿傾角為θ的光滑直角劈滑下，劈的質(zhì)量為m2，可在光滑水平面上自由滑動(dòng)，試求：質(zhì)點(diǎn)從靜止開始下滑距離時(shí)的速度？m1m2θ分析:①②重力為保守力，地面支持力不做功，m1,m2之間的相互作用內(nèi)力做功之和為零，質(zhì)點(diǎn)組機(jī)械能守恒。解:(1)研究對(duì)象：質(zhì)點(diǎn)組（m1,m2)選【例8】質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)，沿傾角為θ的光滑直角劈滑下，劈的23(2)參照系：水平面；建立oxy坐標(biāo)系(3)受力分析（4）設(shè)m1的速度為，m2的速度為，則(1)m1m2θoxy(2)參照系：水平面；(3)受力分析（4）設(shè)m1的速度為24(2)(3)(5)機(jī)械能守恒(4)選小球滑下時(shí)所在處為零勢(shì)能位置聯(lián)立方程(1)(2)(3)(4)解得(2)(3)(5)機(jī)械能守恒(4)選小球滑下時(shí)所在處25§2.5兩體問題一.什么是兩體問題(1)問題的提出（地球繞太陽運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)，雙星運(yùn)動(dòng)，電子繞核運(yùn)動(dòng)）(2)兩體問題的定義

選擇慣性系o-xyzxyzos(M)P(m)c

任何兩個(gè)相互作用的質(zhì)點(diǎn)（無外力作用）在慣性系中的運(yùn)動(dòng)。二.先確定質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，再確定行星、太陽對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)日心系不是慣性系§2.5兩體問題一.什么是兩體問題(1)問題的提出（261.確定系統(tǒng)(S,P)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)在慣性系o-xyz中，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心作慣性運(yùn)動(dòng)且系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，即2.確定行星和太陽相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)在質(zhì)心系(慣性系)中，行星的動(dòng)力學(xué)方程為s(M)P(m)xyzoc上式用到行星和太陽繞(S,P)系統(tǒng)的質(zhì)心作圓錐曲線運(yùn)動(dòng)，1.確定系統(tǒng)(S,P)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)在慣性系o-xyz中，由27在慣性系o-xyz中，行星的動(dòng)力學(xué)方程為：太陽的動(dòng)力學(xué)方程為：三.直接確定行星相對(duì)太陽的運(yùn)動(dòng),并考慮太陽的運(yùn)動(dòng)在慣性系o-xyz中，行星的動(dòng)力學(xué)方程為：太陽的動(dòng)力學(xué)方程為28（3）的形式和太陽固定不動(dòng)時(shí)行星的動(dòng)力學(xué)方程完全一樣。說明：(1)若M>>m，由上式引起的誤差極小，仍可以將太陽視為靜止，可視為單體問題處理;

(2)如果M>>m不成立，兩質(zhì)量差別不大，則必須視為兩體問題處理;(3)若考慮其他行星的吸引，則為多體問題。表明：考慮太陽的運(yùn)動(dòng)后，行星對(duì)太陽做圓錐曲線運(yùn)動(dòng)，但質(zhì)量不為m，而是折合質(zhì)量。(4)（3）的形式和太陽固定不動(dòng)時(shí)行星的動(dòng)力學(xué)方程完全一樣。說明：29(5)應(yīng)用:如當(dāng)求一個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1相對(duì)另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)m2的運(yùn)動(dòng)時(shí)，可認(rèn)為m2不動(dòng)，但動(dòng)力學(xué)方程中必須把m1換成折合質(zhì)量。即：如：p96頁例題，求m1相對(duì)m2的速度。(利用機(jī)械能守恒）(4)太陽為非慣性系，在對(duì)行星應(yīng)用牛頓第二定律時(shí)須考慮慣性力，應(yīng)該可以得到方程(4)；方程(4)也說明了另一種修正的方式，即只要把行星的質(zhì)量用約化質(zhì)量代替，在質(zhì)點(diǎn)所受的力上就無需修正，這種方式帶來很大的方便。(5)應(yīng)用:如當(dāng)求一個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1相對(duì)另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)m2的運(yùn)動(dòng)時(shí)，30四.對(duì)開普勒第三定律的修正四.對(duì)開普勒第三定律的修正31當(dāng)考慮太陽的運(yùn)動(dòng)時(shí)當(dāng)考慮太陽的運(yùn)動(dòng)時(shí)32說明:當(dāng)m<<M時(shí)，對(duì)開普勒定律的修正很小，但對(duì)質(zhì)量相近的雙星系統(tǒng)，必須考慮修正，雙星系統(tǒng)中可能有一顆星是暗星，可以根據(jù)兩體理論，由亮星的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致暗星的發(fā)現(xiàn)。例如：木星,地球說明:當(dāng)m<<M時(shí)，對(duì)開普勒定律的修正很小，但對(duì)質(zhì)量相近的雙33§2.6（選）

實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系與質(zhì)心坐標(biāo)系

一、實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系即以大地為參照系(靜系)研究力學(xué)問題。實(shí)驗(yàn)室中觀察一個(gè)粒子對(duì)另外一個(gè)粒子的散射：特點(diǎn)：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)，碰撞過程中動(dòng)量守恒，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為若為彈性碰撞：總動(dòng)能守恒§2.6（選）實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系與質(zhì)心坐標(biāo)系一、實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)34二.質(zhì)心坐標(biāo)系在質(zhì)心坐標(biāo)系中觀察碰撞問題：結(jié)論：質(zhì)心靜止，開始兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)向質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，散射后逐漸遠(yuǎn)離質(zhì)心。分析：質(zhì)點(diǎn)系未受外力作用，碰撞前后質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒并恒為零。若為彈性碰撞：總動(dòng)能守恒二.質(zhì)心坐標(biāo)系在質(zhì)心坐標(biāo)系中觀察碰撞問題：結(jié)論：質(zhì)35確定和的關(guān)系由速度合成關(guān)系標(biāo)量方程為兩式相除得xyoc確定和的關(guān)系由速度合成關(guān)系標(biāo)量方程為兩式相36對(duì)彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)的總動(dòng)能不變得再根據(jù)最后得對(duì)彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)的總動(dòng)能不變得再根據(jù)最后得37一、變質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)方程(慣性系)tmΔmt+Δt

對(duì)合并前后（即在Δt時(shí)間內(nèi)），對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理：§2.7變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)

一、變質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)方程(慣性系)tmΔmt+38展開：取極限，并舍去二階小量：即：或者

變質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)方程展開：取極限，并舍去二階小量：即：或者變質(zhì)量39二、討論1、若dm>0，說明主體的質(zhì)量在增大（合并）2、若dm<0，說明主體的質(zhì)量在減?。ǚ蛛x）3、若方程為（雨滴粘附問題）：注：m不是恒量即：二、討論1、若dm>0，說明主體的質(zhì)量在增大（合并）404、若方程為：

即：形式和定質(zhì)量的動(dòng)力學(xué)方程一樣，但是實(shí)際不一樣，此處m為t的函數(shù)。

例：一車廂在光滑的水平面上勻加速向右行駛，車廂上方有一漏斗，裝有沙子，如圖：注：m不是恒量4、若方程為：即：形式和定質(zhì)量的動(dòng)力41欲保持原加速度前進(jìn)，F(xiàn)要增大。5、反推力(火箭)由：即：欲保持推力不變，m增大,減小。（1）若漏斗固定,則：（2）若漏斗和車廂同速度，則：欲保持原加速度前進(jìn)，F(xiàn)要增大。5、反推力(火箭)由：即42可寫成：令：可寫成：令：43該方程研究對(duì)象是主體m(下面分析一維情況）例：從后面向小船上投沙袋。該方程研究對(duì)象是主體m(下面分析一維情況）例：從后面向小船上44理論力學(xué)第二章質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)ppt課件45【例9】【例9】46理論力學(xué)第二章質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)ppt課件47解法一：用變質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)方程求解

1.研究對(duì)象：空中部分鏈條。

長為的均勻細(xì)鏈條伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向與桌面邊緣垂直，開始時(shí)鏈條靜止，一半從桌上下垂，如下圖所示。求鏈條末端滑到桌子邊緣時(shí)鏈條的速度？【例10】2.參照系：地面；建立坐標(biāo)系：桌子邊緣為

o點(diǎn)，豎直向下為x軸，如右圖所示。ox4.用變質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)方程：3.受力分析解法一：用變質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)方程求解1.研究對(duì)象：空中部分48豎直方向分量形式：即:因?yàn)椋悍匠套優(yōu)椋?1)豎直方向分量形式：即:因?yàn)椋悍匠套優(yōu)椋?1)49

設(shè)線質(zhì)量密度為