浙江省杭州市第四中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

浙江省杭州市第四中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.為了解學(xué)生在課外活動方面的支出情況，抽取了n個同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果顯示這些學(xué)生的支出金額（單位：元）都在[10，50]，其中支出金額在[30，50]的學(xué)生有17人，頻率分布直方圖如圖所示，則n=（

）A．180

B．160

C．150

D．200參考答案：A對應(yīng)的概率為，所以，選A.2.下列關(guān)于命題的說法錯誤的是（

）A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”；B.“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件；C.若命題，則；D.命題“”是假命題.參考答案：C對于，命題“若，則”的逆否命題為“若，則”正確；對于，只要時，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，故正確；對于，若命題，則故錯誤；對于，根據(jù)冪函數(shù)圖象得“時，”，故正確，故選C.

3.圖1中的陰影部分由底為，高為的等腰三角形及高為和的兩矩形所構(gòu)成．設(shè)函數(shù)是圖1中陰影部分介于平行線及之間的那一部分的面積，則函數(shù)的圖象大致為(

)參考答案：C略4.在的展開式中，常數(shù)項是（

）A． B． C． D．參考答案：D5.已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={x||x|＜2}，則A∩B=（）A．（﹣2，0） B．（0，2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，﹣1）參考答案：C【考點】交集及其運算．【分析】求解對數(shù)型函數(shù)的定義域化簡集合A，然后直接利用交集運算求解．【解答】解：由x+1＞0，得x＞﹣1∴A=（﹣1，+∞），B={x||x|＜2}=（﹣2，2）∴A∩B=（﹣1，2）．故選：C6.加強體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為400N，則該學(xué)生的體重（單位：kg）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）A.63 B.69 C.75 D.81參考答案：B【分析】根據(jù)平行四邊形法則得到該學(xué)生的體重,利用余弦定理即可求出得解.【詳解】如圖，設(shè)該學(xué)生的體重為,則.由余弦定理得.所以.故選：B【點睛】本題主要考查向量的平行四邊形法則和余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7.設(shè)P為等邊所在平面內(nèi)的一點，滿足，若AB=1，則的值為（

）

A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：B略8.設(shè)，其中實數(shù)滿足且，則的最大值是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：【答案解析】D

解析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由由z=2x+5y，得，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點A時，直線的截距最大，此時z最大.由得，即此時故選D.【思路點撥】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義進(jìn)行求解即可.9.設(shè),分別為雙曲線的左,右焦點.若在雙曲線右支上存在一點,滿足,且到直線的距離等于雙曲線的實軸長,則該雙曲線的離心率為【

】.A.

B.

C.

D.參考答案：B易知=2c，所以由雙曲線的定義知：，因為到直線的距離等于雙曲線的實軸長,所以，即，兩邊同除以，得。10.設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限參考答案：A【分析】先求出，再求得解.【詳解】因為.所以，所以點位于第一象限.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和共軛復(fù)數(shù)，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知||=4，||=5，=λ+μ（λ，μ∈R），若⊥，⊥（﹣），則=．參考答案：【考點】9T：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【分析】由⊥，⊥（﹣），可得?=0，?（﹣）=（λ+μ）?（﹣）=﹣=0，即可得出．【解答】解：∵⊥，⊥（﹣），∴?=0，?（﹣）=（λ+μ）?（﹣）=﹣=0，∴=．故答案為：．【點評】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．12.如圖，正方體中，、分別為、的中點，則與所成角的大小為

．參考答案：13.函數(shù)的圖像恒過定點A，若點A在直線上，則的最小值為 .參考答案：414.已知函數(shù)的圖像與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)＝_______________。參考答案：－2或2略15.已知，，則向量在向量方向上的投影為

．參考答案：向量在向量方向上的投影為．16.設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上以2為周期的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=log2（4x+1），則f（）=．參考答案：﹣2【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先利用函數(shù)的周期性、奇偶性，把自變量轉(zhuǎn)化到所給的區(qū)間[0，1]，即可求出函數(shù)值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）最小正周期為2，∴f（）=f（﹣4）=f（﹣），又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（﹣）=﹣f（），∵當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=log2（4x+1），∴f（）=log2（4×+1）=log24=2，∴f（）=﹣f（）=﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、周期性及函數(shù)值，充分理解以上有關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．17.設(shè)圓C：，過圓心C作直線l交圓于A、B兩點，交y軸于點P，若A恰好為線段BP的中點，則直線l的方程為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知向量。（1）求的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為，若，求的值.參考答案：（1）；（2）.試題分析：（1）由向量的數(shù)量積可得：.由此即可得其周期和單調(diào)減區(qū)間；

（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，則將換成，所得函數(shù)為；將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，則將換成，所得函數(shù)為，即.由題設(shè)可求得；由題設(shè)可求得；又由正弦定理即可求得的值.試題解析：（1）..由得：，所以的單調(diào)減區(qū)間為：.（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得函數(shù)為，再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，所得函數(shù)為，即.由題設(shè)得：.又.由正弦定理得：.考點：1、向量及三角函數(shù)；2、正弦定理.19.（本小題滿分12分）A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2．根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為

X15％10％P0.80.2

X22％8％12％P0.20.50.3

（Ⅰ）在兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差DY1，DY2；（Ⅱ）將萬元投資A項目，萬元投資B項目，表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和．求的最小值，并指出x為何值時，取到最小值．（注：）參考答案：（Ⅰ）由題設(shè)可知和的分布列分別為-Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3

，

，，．（Ⅱ），當(dāng)時，為最小值．20.（本題滿分14分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）若，設(shè)求數(shù)列的前項和.參考答案：解：（Ⅰ）由題意知當(dāng)時，當(dāng)兩式相減得（）整理得：（）

………………4分∴數(shù)列是為首項，2為公比的等比數(shù)列.

……6分（Ⅱ）

………………7分

……①

……②①－②得

……………9分

………12分

………14分

21.數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，，是方程的兩實數(shù)根；（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)，求{bn}的前n項和Sn．參考答案：（1）（2）【分析】（1）將看成一個整體，利用一元二次方程的解法、等差數(shù)列的通項公式即可得出；（2）先利用對數(shù)恒等式解得，再利用等比數(shù)列求和即可得出．【詳解】（1），∴或4，，，又是遞增