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文檔簡介
第第頁第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)綜合提升講義——2023年暑期初升高數(shù)學(xué)銜接教材(含答案)2023年預(yù)高一全章綜合提升
試卷索引號:202301A02023
知識點一函數(shù)的值域
例題講解———————————————————————————————————————
【例1】求下列函數(shù)的值域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=x+4;
(4)y=(x>1)
(1)y3,則y≠3,
即函數(shù)的值域為{y|y≠3};
(2)y,
∵2(x﹣1)2+1≥1,∴∈(0,5],即函數(shù)的值域為(0,5];
(3)由1﹣x≥0得x≤1,則函數(shù)的定義域為(﹣∞,1],
設(shè)t,則x=1﹣t2,t≥0,
則y=x+41﹣t2+4t=﹣(t﹣2)2+5,
∵t≥0,∴y≤5,即函數(shù)的值域為(﹣∞,5]
(4)yx﹣12,
∵x>1,∴x﹣1>0,
則y=x﹣12≥2+22+2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)x﹣1,解集x﹣1=1,x=2時,取等號,
故函數(shù)的值域為[4,+∞).
【例2】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的值域;
(2)已知a為實數(shù),函數(shù)的最大值為,求.
(1)由,
,
∵
∴,
∴,
∵恒大于0,
∴的值域為;
(2),
令,則,即,
則.
①當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,;
②當(dāng)時,開口向上,對稱軸為,
在上單調(diào)遞增,;
③當(dāng)a0,x1x2+2>0.
由x10
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.若x10
6.已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時,求的最值;
(2)若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1),.
(2)
【分析】
(1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的最值即可.
(2)由區(qū)間單調(diào)性,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì):只需保證已知區(qū)間在對稱軸的一側(cè),即可求a的取值范圍.
(1)
當(dāng)時,,
∴在上單凋遞減,在上單調(diào)遞增,
∴,.
(2)
,
∴要使在上為單調(diào)函數(shù),只需或,解得或.
∴實數(shù)a的取值范圍為.
7.已知二次函數(shù),.
(1)若,寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間;
(2)若,求函數(shù)的最大值和最小值;
(3)若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)當(dāng)時,,當(dāng)時,.(3)或.
【詳解】
(1)當(dāng)時,,,
又因為拋物線開口向上,所以它的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)當(dāng)時,,,
圖像開口向上,所以當(dāng)時,,當(dāng)時,.
(3)若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),則由得知它的對稱軸為,若它在上單調(diào),則或,∴或.
8.已知函數(shù),在上單調(diào)遞增,且,求證:函數(shù)在上單調(diào)遞增.
【答案】證明見解析
【分析】
先任取,,且,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,得到,再由單調(diào)性,即可得到,從而可證明結(jié)論成立.
【詳解】
任取,,且,
因為在上單調(diào)遞增,
所以.
又在上單調(diào)遞增,,
所以,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
9.已知函數(shù)具有以下性質(zhì):如果常數(shù),那么函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù).
(1)若常數(shù),用定義證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(2)已知函數(shù),求函數(shù)的值域;
(3)對于(2)中的函數(shù)和函數(shù),若對于任意的,總存在,使得成立,求實數(shù)的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】(1)利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性;
(2)構(gòu)造函數(shù)得,換元求得值域為;(3)由(2)知的值域為,的值域是的值域的子集,所以.
【詳解】(1)設(shè)是任意兩個實數(shù),且任取,
則,
因為,則,即,
所以,
所以,即,所以在上是增函數(shù).
(2)令,因為,所以,
則,令,
由已知得:函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),
因為,所以,
所以函數(shù)的值域為.
(3)由(2)知函數(shù)的值域為,
又函數(shù)的值域為,
因為對任意的,總存在,使得成立,
所以,那么,解得:.
知識點三函數(shù)的奇偶性
例題講解———————————————————————————————————————
【例1】已知是定義域為的奇函數(shù),且時,.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)作出函數(shù)的圖象,并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域;
(3)求不等式的解集.
(1)當(dāng)時,則,
,
故.
(2)函數(shù)的圖象如圖所示.
由圖可知,函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,,其值域為.
(3)當(dāng),即時,等價于,即,
,
解得,;
當(dāng),即時,等價于,
即,
,
解得,
.
綜上所述,的解集為.
【例2】判斷下列函數(shù)的奇偶性.
(1);
(2);
(3);
(4).
(1)的定義域是,關(guān)于原點對稱,又,所以是奇函數(shù).
(2)因為的定義域為,不關(guān)于原點對稱,所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
(3)因為的定義域為,
所以,則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
(4)因為函數(shù)的定義域為,所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.
①當(dāng)時,,
所以,,
所以;
②當(dāng)時,,
所以
;
③當(dāng)時,,
所以
.
綜上,可知函數(shù)為奇函數(shù).
【例3】設(shè)函數(shù)的定義域為,且滿足條件.對任意的,有,且當(dāng)時,有.
(1)求的值;
(2)如果,求的取值范圍.
(1)根據(jù)題意,對任意的,有,令,代入計算后,即可求出的值;
(2)設(shè),則,又因為當(dāng)時,有,由函數(shù)單調(diào)性的定義可知在定義域內(nèi)為增函數(shù),令,求得,從而將原不等式可化為,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解出不等式,即可得出的取值范圍.
(1)
解:對任意的,有,
令,可得,
故.
(2)
解:設(shè),則,
又因為當(dāng)時,有,
所以,即,所以在定義域內(nèi)為增函數(shù),
由于函數(shù)的定義域為,且滿足條件,
令,得,
因為,則,則,
則原不等式可化為,
因為在定義域上為增函數(shù),所以,解得:或,
又因為,所以,所以的取值范圍為.
針對訓(xùn)練———————————————————————————————————————
下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù),又是減函數(shù)的是(C)
A.B.
C.D.
判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1);
(2);
(3).
【答案】(1)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(2)非奇非偶函數(shù).(3)奇函數(shù).
【分析】
按照函數(shù)的奇偶性的判斷,首先求出函數(shù)的定義域,然后判斷是否關(guān)于原點對稱,如果對稱,再利用奇偶性的定義判斷與的關(guān)系;如果不對稱,函數(shù)是非奇非偶的函數(shù).
【詳解】
解:(1)
,且,即,.
因此函數(shù)的定義域為,關(guān)于原點對稱,且.
,,
既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
(2)
所以函數(shù)的定義域是,不關(guān)于原點對稱,
是非奇非偶函數(shù).
(3)易得函數(shù)的定義域是,關(guān)于原點對稱任取,當(dāng)時,,;
當(dāng)時,,.
函數(shù)為奇函數(shù).
設(shè)函數(shù)的定義域為,且滿足條件.對任意的,有,且當(dāng)時,有.
(1)求的值;
(2)如果,求的取值范圍.
【答案】(1)0;
(2).
【詳解】(1)根據(jù)題意,對任意的,有,令,代入計算后,即可求出的值;
(2)設(shè),則,又因為當(dāng)時,有,由函數(shù)單調(diào)性的定義可知在定義域內(nèi)為增函數(shù),令,求得,從而將原不等式可化為,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解出不等式,即可得出的取值范圍.
(1)
解:對任意的,有,
令,可得,
故.
(2)
解:設(shè),則,
又因為當(dāng)時,有,
所以,即,所以在定義域內(nèi)為增函數(shù),
由于函數(shù)的定義域為,且滿足條件,
令,得,
因為,則,則,
則原不等式可化為,
因為在定義域上為增函數(shù),所以,解得:或,
又因為,所以,所以的取值范圍為.
設(shè)函數(shù)(且),對任意實數(shù),滿足.
(1)求和的值.
(2)求證:為偶函數(shù).
(3)若在上為減函數(shù),試求滿足不等式的的取值范圍.
【答案】();;()證明見解析;().
【詳解】
試題分析:()賦值令解得,當(dāng),時,可求得.
()賦,,結(jié)合,得,所以是偶函數(shù).
()在上為減函數(shù),且是偶函數(shù),,可得,解得.
試題解析:()當(dāng)時,,
得,當(dāng),時,
,
∴,∴.
()當(dāng)時,,
又,∴,又且,
定義域關(guān)于對稱,∴是偶函數(shù).
()∵在上為減函數(shù),
且是偶函數(shù),
∴在上為增函數(shù),
又,即使,
解得.
點睛:本題考查的是利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解不等式,對于偶函數(shù),在對稱的區(qū)間上其單調(diào)性相反,且自變量相反時函數(shù)值相同,即,本題中,可得,解得.
已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,.
(1)求在R上的解析式;
(2)判斷在(0,1)的單調(diào)性,并給出證明.
【答案】(1);
(2)在上是減函數(shù),證明見解析.
【詳解】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解析式即可.
(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行判斷單調(diào)性.
(1)
∵是定義在R上的奇函數(shù),
∴=0,又當(dāng)x>0時,.
∴當(dāng)x<0時,則x>0,則=x1=,則=x1(x<0),
綜上,.
(2)
設(shè),則==(1)=,
∵,
∴,0<<1,<0,則,即,
∴函數(shù)在(0,1)上是減函數(shù).
已知函數(shù)的定義域為,值域為,且對任意,,都有..
(1)求的值,并證明為奇函數(shù).
(2)若,,且,證明為上的增函數(shù),并解不等式.
【答案】(1);證明見解析
(2)證明見解析;解集為
【分析】
(1)賦值法令,可得;由給定性質(zhì),證明即可.
(2)證明的單調(diào)性,再由單調(diào)性解不等式.
(1)
令,得,
又函數(shù)的值域為,∴.
∵,
∴,
∴,
∴為奇函數(shù).
(2)
任取,.
.
∵,∴.
∵當(dāng)時,,∴,∴.
又函數(shù)的值域為,
∴,即,
∴為上的增函數(shù).
由,即,化簡得.
∵,
∴,∴.
又為上的增函數(shù),∴,
故的解集為.
若函數(shù)在時,函數(shù)值的取值區(qū)間恰為,就稱區(qū)間為的一個“倒域區(qū)間”.定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,.
(1)求的解析式;
(2)求函數(shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”;
(3)若函數(shù)在定義域內(nèi)所有“倒域區(qū)間”上的圖象作為函數(shù)的圖象,是否存在實數(shù),使集合恰含有2個元素?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在;.
【分析】(1)運用奇函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)題意列出方程組,從而求解;
(3)分析題意得出,從而只需考慮或兩種情況;再根據(jù)(2)的結(jié)論求出,從而根據(jù)方程思想求的值.
【詳解】(1)當(dāng)時,.
所以.
(2)設(shè),因為在上遞減,
所以,整理得,解得.
所以在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為.
(3)因為在時,函數(shù)值的取值區(qū)間恰為,其中,,
所以,即,同號,所以只需考慮或,
當(dāng)時,根據(jù)的圖象知,最大值為1,,,
所以,由(2)知在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為;
當(dāng),最小值為,,,
所以,同理知在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為.
所以.
依題意:拋物線與函數(shù)的圖象有兩個交點時,一個交點在第一象限,一個交點在第三象限.
因此,應(yīng)當(dāng)使方程在內(nèi)恰有一個實數(shù)根,
并且使方程在內(nèi)恰有一個實數(shù).
由方程在內(nèi)恰有一根知;
由方程在內(nèi)恰有一根知,
知識點四冪函數(shù)
例題講解———————————————————————————————————————
【例題】已知冪函數(shù)經(jīng)過點.
(1)求此冪函數(shù)的表達式和定義域;
(2)若,求實數(shù)的取值范圍.
(1)設(shè),則,可得,解得,
所以,,
由可得,所以,函數(shù)的定義域為.
(2)由冪函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)的定義域為,且在定義域上為減函數(shù),
由可得,可得.
針對訓(xùn)練———————————————————————————————————————
比較下列各組數(shù)的大小.
(1)與,;
(2)與.
【答案】(1);(2).
【分析】
利用作差法求解即可.
【詳解】
(1),
,且,
,.
,即.
(2)
(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),
又,,.
.2023年預(yù)高一全章綜合提升
試卷索引號:202301A02023
知識點一函數(shù)的值域
例題講解———————————————————————————————————————
【例1】求下列函數(shù)的值域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=x+4;
(4)y=(x>1)
(1)y3,則y≠3,
即函數(shù)的值域為{y|y≠3};
(2)y,
∵2(x﹣1)2+1≥1,∴∈(0,5],即函數(shù)的值域為(0,5];
(3)由1﹣x≥0得x≤1,則函數(shù)的定義域為(﹣∞,1],
設(shè)t,則x=1﹣t2,t≥0,
則y=x+41﹣t2+4t=﹣(t﹣2)2+5,
∵t≥0,∴y≤5,即函數(shù)的值域為(﹣∞,5]
(4)yx﹣12,
∵x>1,∴x﹣1>0,
則y=x﹣12≥2+22+2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)x﹣1,解集x﹣1=1,x=2時,取等號,
故函數(shù)的值域為[4,+∞).
【例2】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的值域;
(2)已知a為實數(shù),函數(shù)的最大值為,求.
(1)由,
,
∵
∴,
∴,
∵恒大于0,
∴的值域為;
(2),
令,則,即,
則.
①當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,;
②當(dāng)時,開口向上,對稱軸為,
在上單調(diào)遞增,;
③當(dāng)a0,x1x2+2>0.
由x10
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.若x10
已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時,求的最值;
(2)若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
已知二次函數(shù),.
(1)若,寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間;
(2)若,求函數(shù)的最大值和最小值;
(3)若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
已知函數(shù),在上單調(diào)遞增,且,求證:函數(shù)在上單調(diào)遞增.
已知函數(shù)具有以下性質(zhì):如果常數(shù),那么函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù).
(1)若常數(shù),用定義證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(2)已知函數(shù),求函數(shù)的值域;
(3)對于(2)中的函數(shù)和函數(shù),若對于任意的,總存在,使得成立,求實數(shù)的值.
知識點三函數(shù)的奇偶性
例題講解———————————————————————————————————————
【例1】已知是定義域為的奇函數(shù),且時,.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)作出函數(shù)的圖象,并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域;
(3)求不等式的解集.
(1)當(dāng)時,則,
,
故.
(2)函數(shù)的圖象如圖所示.
由圖可知,函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,,其值域為.
(3)當(dāng),即時,等價于,即,
,
解得,;
當(dāng),即時,等價于,
即,
,
解得,
.
綜上所述,的解集為.
【例2】判斷下列函數(shù)的奇偶性.
(1);
(2);
(3);
(4).
(1)的定義域是,關(guān)于原點對稱,又,所以是奇函數(shù).
(2)因為的定義域為,不關(guān)于原點對稱,所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
(3)因為的定義域為,
所以,則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
(4)因為函數(shù)的定義域為,所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.
①當(dāng)時,,
所以,,
所以;
②當(dāng)時,,
所以
;
③當(dāng)時,,
所以
.
綜上,可知函數(shù)為奇函數(shù).
【例3】設(shè)函數(shù)的定義域為,且滿足條件.對任意的,有,且當(dāng)時,有.
(1)求的值;
(2)如果,求的取值范圍.
(1)根據(jù)題意,對任意的,有,令,代入計算后,即可求出的值;
(2)設(shè),則,又因為當(dāng)時,有,由函數(shù)單調(diào)性的定義可知在定義域內(nèi)為增函數(shù),令,求得,從而將原不等式可化為,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解出不等式,即可得出的取值范圍.
(1)
解:對任意的,有,
令,可得,
故.
(2)
解:設(shè),則,
又因為當(dāng)時,有,
所以,即,所以在定義域內(nèi)為增函數(shù),
由于函數(shù)的定義域為,且滿足條件,
令,得,
因為,則,則,
則原不等式可化為,
因為在定義域上為增函數(shù),所以,解得:或,
又因為,所以,所以的取值范圍為.
針對訓(xùn)練———————————————————————————————————————
下列函數(shù)在其
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