第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)綜合提升講義-2023年暑期初升高數(shù)學(xué)銜接教材（含答案）

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試卷索引號：202301A02023

知識點一函數(shù)的值域

例題講解———————————————————————————————————————

【例1】求下列函數(shù)的值域：

(1)y＝；

(2)y＝；

(3)y＝x＋4；

(4)y＝(x＞1)

（1）y3，則y≠3，

即函數(shù)的值域為{y|y≠3}；

（2）y，

∵2（x﹣1）2+1≥1，∴∈（0，5]，即函數(shù)的值域為（0，5]；

（3）由1﹣x≥0得x≤1，則函數(shù)的定義域為（﹣∞，1]，

設(shè)t，則x＝1﹣t2，t≥0，

則y＝x+41﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+5，

∵t≥0，∴y≤5，即函數(shù)的值域為（﹣∞，5]

（4）yx﹣12，

∵x＞1，∴x﹣1＞0，

則y＝x﹣12≥2+22+2＝4，

當(dāng)且僅當(dāng)x﹣1，解集x﹣1＝1，x＝2時，取等號，

故函數(shù)的值域為[4，+∞）．

【例2】已知函數(shù)．

(1)求函數(shù)的值域；

(2)已知a為實數(shù)，函數(shù)的最大值為，求．

（1）由，

，

∵

∴，

∴，

∵恒大于0，

∴的值域為；

（2），

令，則，即，

則．

①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，；

②當(dāng)時，開口向上，對稱軸為，

在上單調(diào)遞增，；

③當(dāng)a0，x1x2+2>0．

由x10

B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0

C．若x10

6.已知函數(shù)，．

(1)當(dāng)時，求的最值；

(2)若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

【答案】(1)，.

(2)

【分析】

（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的最值即可.

（2）由區(qū)間單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)：只需保證已知區(qū)間在對稱軸的一側(cè)，即可求a的取值范圍．

(1)

當(dāng)時，，

∴在上單凋遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，.

(2)

，

∴要使在上為單調(diào)函數(shù)，只需或，解得或．

∴實數(shù)a的取值范圍為．

7.已知二次函數(shù)，.

(1)若，寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；

(2)若，求函數(shù)的最大值和最小值；

(3)若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，.（3）或.

【詳解】

（1）當(dāng)時，，，

又因為拋物線開口向上，所以它的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）當(dāng)時，，，

圖像開口向上，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.

（3）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則由得知它的對稱軸為，若它在上單調(diào)，則或，∴或.

8.已知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增．

【答案】證明見解析

【分析】

先任取，，且，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，得到，再由單調(diào)性，即可得到，從而可證明結(jié)論成立.

【詳解】

任取，，且，

因為在上單調(diào)遞增，

所以．

又在上單調(diào)遞增，，

所以，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

9.已知函數(shù)具有以下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).

(1)若常數(shù)，用定義證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

(2)已知函數(shù)，求函數(shù)的值域；

(3)對于(2)中的函數(shù)和函數(shù)，若對于任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)

(3)

【分析】（1）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性；

（2）構(gòu)造函數(shù)得，換元求得值域為；（3）由（2）知的值域為，的值域是的值域的子集，所以.

【詳解】（1）設(shè)是任意兩個實數(shù)，且任取，

則，

因為，則，即，

所以，

所以，即，所以在上是增函數(shù).

（2）令，因為，所以，

則，令，

由已知得：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，

因為，所以，

所以函數(shù)的值域為.

（3）由（2）知函數(shù)的值域為，

又函數(shù)的值域為，

因為對任意的，總存在，使得成立，

所以，那么，解得：.

知識點三函數(shù)的奇偶性

例題講解———————————————————————————————————————

【例1】已知是定義域為的奇函數(shù)，且時，.

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)作出函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域;

(3)求不等式的解集.

（1）當(dāng)時，則，

，

故.

（2）函數(shù)的圖象如圖所示.

由圖可知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，，其值域為.

（3）當(dāng)，即時，等價于，即，

，

解得，;

當(dāng)，即時，等價于，

即，

，

解得，

.

綜上所述，的解集為.

【例2】判斷下列函數(shù)的奇偶性．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

（1）的定義域是，關(guān)于原點對稱，又，所以是奇函數(shù)．

（2）因為的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．

（3）因為的定義域為，

所以，則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．

（4）因為函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱．

①當(dāng)時，，

所以，，

所以；

②當(dāng)時，，

所以

；

③當(dāng)時，，

所以

．

綜上，可知函數(shù)為奇函數(shù)．

【例3】設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足條件．對任意的，有，且當(dāng)時，有．

(1)求的值；

(2)如果，求的取值范圍．

（1）根據(jù)題意，對任意的，有，令，代入計算后，即可求出的值；

（2）設(shè)，則，又因為當(dāng)時，有，由函數(shù)單調(diào)性的定義可知在定義域內(nèi)為增函數(shù)，令，求得，從而將原不等式可化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解出不等式，即可得出的取值范圍.

（1）

解：對任意的，有，

令，可得，

故.

（2）

解：設(shè)，則，

又因為當(dāng)時，有，

所以，即，所以在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

由于函數(shù)的定義域為，且滿足條件，

令，得，

因為，則，則，

則原不等式可化為，

因為在定義域上為增函數(shù)，所以，解得：或，

又因為，所以，所以的取值范圍為.

針對訓(xùn)練———————————————————————————————————————

下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)的是（C）

A．B．

C．D．

判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(1);

(2);

(3).

【答案】(1)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(2)非奇非偶函數(shù).(3)奇函數(shù).

【分析】

按照函數(shù)的奇偶性的判斷，首先求出函數(shù)的定義域，然后判斷是否關(guān)于原點對稱，如果對稱，再利用奇偶性的定義判斷與的關(guān)系；如果不對稱，函數(shù)是非奇非偶的函數(shù)．

【詳解】

解：（1）

，且，即，.

因此函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，且.

，，

既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

（2）

所以函數(shù)的定義域是，不關(guān)于原點對稱，

是非奇非偶函數(shù).

（3）易得函數(shù)的定義域是，關(guān)于原點對稱任取，當(dāng)時，，;

當(dāng)時，，.

函數(shù)為奇函數(shù).

設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足條件．對任意的，有，且當(dāng)時，有．

(1)求的值；

(2)如果，求的取值范圍．

【答案】(1)0；

(2).

【詳解】（1）根據(jù)題意，對任意的，有，令，代入計算后，即可求出的值；

（2）設(shè)，則，又因為當(dāng)時，有，由函數(shù)單調(diào)性的定義可知在定義域內(nèi)為增函數(shù)，令，求得，從而將原不等式可化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解出不等式，即可得出的取值范圍.

（1）

解：對任意的，有，

令，可得，

故.

（2）

解：設(shè)，則，

又因為當(dāng)時，有，

所以，即，所以在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

由于函數(shù)的定義域為，且滿足條件，

令，得，

因為，則，則，

則原不等式可化為，

因為在定義域上為增函數(shù)，所以，解得：或，

又因為，所以，所以的取值范圍為.

設(shè)函數(shù)（且），對任意實數(shù)，滿足．

(1)求和的值．

(2)求證：為偶函數(shù)．

(3)若在上為減函數(shù)，試求滿足不等式的的取值范圍．

【答案】（）；；（）證明見解析；（）．

【詳解】

試題分析：（）賦值令解得，當(dāng)，時，可求得．

（）賦，，結(jié)合，得，所以是偶函數(shù)．

（）在上為減函數(shù)，且是偶函數(shù)，，可得，解得．

試題解析：（）當(dāng)時，，

得，當(dāng)，時，

，

∴，∴．

（）當(dāng)時，，

又，∴，又且，

定義域關(guān)于對稱，∴是偶函數(shù)．

（）∵在上為減函數(shù)，

且是偶函數(shù)，

∴在上為增函數(shù)，

又，即使，

解得．

點睛：本題考查的是利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解不等式，對于偶函數(shù)，在對稱的區(qū)間上其單調(diào)性相反，且自變量相反時函數(shù)值相同，即，本題中，可得，解得．

已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，．

(1)求在R上的解析式；

(2)判斷在(0,1)的單調(diào)性，并給出證明．

【答案】(1)；

(2)在上是減函數(shù)，證明見解析.

【詳解】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解析式即可．

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行判斷單調(diào)性．

（1）

∵是定義在R上的奇函數(shù)，

∴＝0，又當(dāng)x＞0時，．

∴當(dāng)x＜0時，則x＞0，則＝x1＝，則＝x1（x＜0），

綜上，．

（2）

設(shè)，則＝＝(1)＝，

∵，

∴，0＜＜1，＜0，則，即，

∴函數(shù)在(0,1)上是減函數(shù)．

已知函數(shù)的定義域為，值域為，且對任意，，都有．．

(1)求的值，并證明為奇函數(shù)．

(2)若，，且，證明為上的增函數(shù)，并解不等式．

【答案】(1)；證明見解析

(2)證明見解析；解集為

【分析】

（1）賦值法令，可得；由給定性質(zhì)，證明即可.

（2）證明的單調(diào)性，再由單調(diào)性解不等式.

(1)

令，得，

又函數(shù)的值域為，∴．

∵，

∴，

∴，

∴為奇函數(shù)．

(2)

任取，．

．

∵，∴．

∵當(dāng)時，，∴，∴．

又函數(shù)的值域為，

∴，即，

∴為上的增函數(shù)．

由，即，化簡得．

∵，

∴，∴．

又為上的增函數(shù)，∴，

故的解集為．

若函數(shù)在時，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，就稱區(qū)間為的一個“倒域區(qū)間”．定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．

（1）求的解析式；

（2）求函數(shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”；

（3）若函數(shù)在定義域內(nèi)所有“倒域區(qū)間”上的圖象作為函數(shù)的圖象，是否存在實數(shù)，使集合恰含有2個元素？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在；．

【分析】（1）運用奇函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)題意列出方程組，從而求解；

（3）分析題意得出，從而只需考慮或兩種情況；再根據(jù)（2）的結(jié)論求出，從而根據(jù)方程思想求的值.

【詳解】（1）當(dāng)時，．

所以．

（2）設(shè)，因為在上遞減，

所以，整理得，解得．

所以在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為．

（3）因為在時，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，其中，，

所以，即，同號，所以只需考慮或，

當(dāng)時，根據(jù)的圖象知，最大值為1，，，

所以，由（2）知在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為；

當(dāng)，最小值為，，，

所以，同理知在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為．

所以．

依題意：拋物線與函數(shù)的圖象有兩個交點時，一個交點在第一象限，一個交點在第三象限．

因此，應(yīng)當(dāng)使方程在內(nèi)恰有一個實數(shù)根，

并且使方程在內(nèi)恰有一個實數(shù)．

由方程在內(nèi)恰有一根知；

由方程在內(nèi)恰有一根知，

知識點四冪函數(shù)

例題講解———————————————————————————————————————

【例題】已知冪函數(shù)經(jīng)過點．

(1)求此冪函數(shù)的表達式和定義域；

(2)若，求實數(shù)的取值范圍．

(1)設(shè)，則，可得，解得，

所以，，

由可得，所以，函數(shù)的定義域為.

(2)由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的定義域為，且在定義域上為減函數(shù)，

由可得，可得.

針對訓(xùn)練———————————————————————————————————————

比較下列各組數(shù)的大小.

（1）與，；

（2）與.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

利用作差法求解即可.

【詳解】

（1），

，且，

，.

，即.

（2）

（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），

又，，.

.2023年預(yù)高一全章綜合提升

試卷索引號：202301A02023

知識點一函數(shù)的值域

例題講解———————————————————————————————————————

【例1】求下列函數(shù)的值域：

(1)y＝；

(2)y＝；

(3)y＝x＋4；

(4)y＝(x＞1)

（1）y3，則y≠3，

即函數(shù)的值域為{y|y≠3}；

（2）y，

∵2（x﹣1）2+1≥1，∴∈（0，5]，即函數(shù)的值域為（0，5]；

（3）由1﹣x≥0得x≤1，則函數(shù)的定義域為（﹣∞，1]，

設(shè)t，則x＝1﹣t2，t≥0，

則y＝x+41﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+5，

∵t≥0，∴y≤5，即函數(shù)的值域為（﹣∞，5]

（4）yx﹣12，

∵x＞1，∴x﹣1＞0，

則y＝x﹣12≥2+22+2＝4，

當(dāng)且僅當(dāng)x﹣1，解集x﹣1＝1，x＝2時，取等號，

故函數(shù)的值域為[4，+∞）．

【例2】已知函數(shù)．

(1)求函數(shù)的值域；

(2)已知a為實數(shù)，函數(shù)的最大值為，求．

（1）由，

，

∵

∴，

∴，

∵恒大于0，

∴的值域為；

（2），

令，則，即，

則．

①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，；

②當(dāng)時，開口向上，對稱軸為，

在上單調(diào)遞增，；

③當(dāng)a0，x1x2+2>0．

由x10

B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0

C．若x10

已知函數(shù)，．

(1)當(dāng)時，求的最值；

(2)若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

已知二次函數(shù)，.

(1)若，寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；

(2)若，求函數(shù)的最大值和最小值；

(3)若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

已知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增．

已知函數(shù)具有以下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).

(1)若常數(shù)，用定義證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

(2)已知函數(shù)，求函數(shù)的值域；

(3)對于(2)中的函數(shù)和函數(shù)，若對于任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的值.

知識點三函數(shù)的奇偶性

例題講解———————————————————————————————————————

【例1】已知是定義域為的奇函數(shù)，且時，.

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)作出函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域;

(3)求不等式的解集.

（1）當(dāng)時，則，

，

故.

（2）函數(shù)的圖象如圖所示.

由圖可知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，，其值域為.

（3）當(dāng)，即時，等價于，即，

，

解得，;

當(dāng)，即時，等價于，

即，

，

解得，

.

綜上所述，的解集為.

【例2】判斷下列函數(shù)的奇偶性．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

（1）的定義域是，關(guān)于原點對稱，又，所以是奇函數(shù)．

（2）因為的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．

（3）因為的定義域為，

所以，則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．

（4）因為函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱．

①當(dāng)時，，

所以，，

所以；

②當(dāng)時，，

所以

；

③當(dāng)時，，

所以

．

綜上，可知函數(shù)為奇函數(shù)．

【例3】設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足條件．對任意的，有，且當(dāng)時，有．

(1)求的值；

(2)如果，求的取值范圍．

（1）根據(jù)題意，對任意的，有，令，代入計算后，即可求出的值；

（2）設(shè)，則，又因為當(dāng)時，有，由函數(shù)單調(diào)性的定義可知在定義域內(nèi)為增函數(shù)，令，求得，從而將原不等式可化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解出不等式，即可得出的取值范圍.

（1）

解：對任意的，有，

令，可得，

故.

（2）

解：設(shè)，則，

又因為當(dāng)時，有，

所以，即，所以在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

由于函數(shù)的定義域為，且滿足條件，

令，得，

因為，則，則，

則原不等式可化為，

因為在定義域上為增函數(shù)，所以，解得：或，

又因為，所以，所以的取值范圍為.

針對訓(xùn)練———————————————————————————————————————

下列函數(shù)在其