復(fù)變函數(shù)第一講

復(fù)變函數(shù)第一講第1頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月對象復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)、共形映射等。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、第2頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月學習方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學習中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。第3頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月背景復(fù)數(shù)是十六世紀人們在解代數(shù)方程時引進的。為使負數(shù)開方有意義，需要再一次擴大數(shù)系，使實數(shù)域擴大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀以前，由于對復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進行計算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長時期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。直到十八世紀，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學等方面的一些問題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。第4頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀奠定的。A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分別應(yīng)用積分和級數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)。他們是這一時期的三位代表人物。經(jīng)過他們的巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學的許多分支，同時，它在熱力學，流體力學和電學等方面也得到了很多的應(yīng)用。二十世紀以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學等方面，與數(shù)學中其它分支的聯(lián)系也日益密切。第5頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月第一講復(fù)數(shù)第6頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.復(fù)數(shù)的概念

2.代數(shù)運算

3.共軛復(fù)數(shù)CH1§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算第7頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

一般,任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小。1.復(fù)數(shù)的概念定義對任意兩實數(shù)x、y,稱z=x+iy或z=x+yi為復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)z的實部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)復(fù)數(shù)的模判斷復(fù)數(shù)相等第8頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代數(shù)運算四則運算第9頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.運算規(guī)律復(fù)數(shù)的運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。（與實數(shù)相同）即，第10頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)3.共軛復(fù)數(shù)定義若z=x+iy,稱z=x-iy為z的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)第11頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.點的表示

2.向量表示法

3.三角表示法

4.指數(shù)表示法§2復(fù)數(shù)的表示方法第14頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月1.點的表示點的表示：

數(shù)z與點z同義.第15頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2.向量表示法

oxy(z)P(x,y)xy

稱向量的長度為復(fù)數(shù)z=x+iy的?；蚪^對值；以正實軸為始邊,以為終邊的角的弧度數(shù)稱為復(fù)數(shù)z=x+iy的輻角.(z≠0時)第16頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月輻角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中滿足的θ0稱為輻角Argz的主值，記作θ0=argz。

z=0時，輻角不確定。

計算argz(z≠0)

的公式第17頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月當z落于一,四象限時，不變。

當z落于第二象限時，加。

當z落于第三象限時，減。

第18頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1由向量表示法知3.三角表示法4.指數(shù)表示法第19頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月引進復(fù)數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復(fù)數(shù)方程（或不等式）表示；反之，也可由給定的復(fù)數(shù)方程（或不等式）來確定它所表示的平面圖形。例1

用復(fù)數(shù)方程表示:（1）過兩點zj=xj+iyj

(j=1,2)的直線；（2）中心在點(0,-1),

半徑為2的圓。oxy(z)Lz1z2z解（1）z=z1+t(z2-z1)

（-∞<t<+∞）第20頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月xy(z)O(0,-1)2例2

方程表示什么圖形？解第21頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月注意.復(fù)數(shù)的各種表示法可以相互轉(zhuǎn)化,以適應(yīng)不同問題的需要.第22頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.復(fù)數(shù)的乘積與商

2.復(fù)數(shù)的乘冪

3.復(fù)數(shù)的方根§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根第23頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1

兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。證明設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)

1.乘積與商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2第24頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何意義將復(fù)數(shù)z1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度

Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。定理1可推廣到n個復(fù)數(shù)的乘積。oxy(z)z1z2z2第25頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月要使上式成立,必須且只需k=m+n+1.第26頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2

兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差。證明Argz=Argz2-Argz1即：由復(fù)數(shù)除法的定義z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）第27頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)z=reiθ，由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學歸納法可證明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。2.復(fù)數(shù)的乘冪定義n個相同的復(fù)數(shù)z的乘積，稱為z的n次冪，記作zn，即zn=zzz（共n個）。定義特別：當|z|=1時，即：zn=cosnθ+isinnθ，則有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

一棣模佛(DeMoivre)公式。第28頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月問題給定復(fù)數(shù)z=rei，求所有的滿足ωn=z的復(fù)數(shù)ω。3.復(fù)數(shù)的方根（開方）——乘方的逆運算當z≠0時，有n個不同的ω值與相對應(yīng)，每一個這樣的ω值都稱為z的n次方根，第29頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月當k=0，1，…，n-1時，可得n個不同的根，而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復(fù)出現(xiàn)。幾何上，的n個值是以原點為中心，為半徑的圓周上n個等分點，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個頂點。xyo第30頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.區(qū)域的概念

2.簡單曲線（或Jordan曲線)3.單連通域與多連通域§4區(qū)域第32頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月1.區(qū)域的概念鄰域復(fù)平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)內(nèi)部的點的集合稱為點z0的δ（去心）鄰域。記為Ｕ(z0,δ)即，設(shè)G是一平面上點集內(nèi)點對任意z0屬于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使該鄰域內(nèi)的所有點都屬于G，則稱z0是G的內(nèi)點。第33頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月開集若G內(nèi)的每一點都是內(nèi)點，則稱G是開集。連通是指區(qū)域設(shè)D是一個開集，且D是連通的，稱

D是一個區(qū)域。D-區(qū)域邊界與邊界點已知點P不屬于D，若點P的任何鄰域中都包含D中的點及不屬于D的點，則稱P是D的邊界點；內(nèi)點外點D的所有邊界點組成D的邊界。P第34頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月有界區(qū)域與無界區(qū)域若存在R>0,對任意z∈D,均有z∈G={z||z|<R}，則D是有界區(qū)域；否則無界。閉區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,第35頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2.簡單曲線（或Jardan曲線)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;則曲線方程可記為：z=z(t)，a≤t≤b有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線。第37頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月重點設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t)，a≤t≤b，對于t1∈(a，b),t2∈[a,b],當t1≠t2時，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重點。定義稱沒有重點的連續(xù)曲線C為簡單曲線或Jardan曲線;若簡單曲線C