2021-2022學(xué)年北京力邁學(xué)校高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2021-2022學(xué)年北京力邁學(xué)校高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，若且，則的值（

）A．恒大于0

B．恒小于0

C．可能等于0

D．可正可負(fù)參考答案：B2.在區(qū)間[1，e]上任取實(shí)數(shù)a，在區(qū)間[0，2]上任取實(shí)數(shù)b，使函數(shù)f（x）=ax2+x+b有兩個(gè)相異零點(diǎn)的概率是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】設(shè)所求的事件為A，由方程ax2+x+b=0有兩個(gè)相異根，即△=1﹣ab＞0求出ab范圍，判斷出是一個(gè)幾何概型后，在坐標(biāo)系中畫(huà)出所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和事件A構(gòu)成的區(qū)域，再用定積分求出事件A構(gòu)成的區(qū)域的面積，代入幾何概型的概率公式求解．【解答】解：設(shè)事件A={使函數(shù)f（x）=ax2+x+b有兩個(gè)相異零點(diǎn)}，方程ax2+x+b=0有兩個(gè)相異根，即△=1﹣ab＞0，解得ab＜1，∵在[1，e]上任取實(shí)數(shù)a，在[0，2]上任取實(shí)數(shù)b，∴這是一個(gè)幾何概型，所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Ω={（a，b）|1≤a≤e且0≤b≤2}，面積為2（e﹣1）；事件A={（a，b）|ab＜1，1≤a≤e且0≤b≤2}，面積S==1，∴事件A的概率P（A）=．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何概型下事件的概率的求法，用一元二次方程根的個(gè)數(shù)求出ab的范圍，用定積分求不規(guī)則圖形的面積，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．3.如圖，正△ABC的中心位于點(diǎn)G（0，1），A（0，2），動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿△ABC的邊界按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影為y（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則y關(guān)于x的函數(shù)y=f（x）的圖象是（）參考答案：C4.給出下列命題：（1）存在實(shí)數(shù)使.（2）直線(xiàn)是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸.（3）的值域是.（4）若都是第一象限角，且，則.其中正確命題的題號(hào)為（

）A.（1）（2） B.（2）（3） C.（3）（4） D.（1）（4）參考答案：C【分析】（1）化簡(jiǎn)求值域進(jìn)行判斷；（2）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可判斷；（3）根據(jù)余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可判斷；（4）利用三角函數(shù)線(xiàn)可進(jìn)行判斷.【詳解】解：（1），（1）錯(cuò)誤；（2）是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，（2）錯(cuò)誤；（3）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值為，，其值域是，（3）正確；（4）若都是第一象限角，且，利用三角函數(shù)線(xiàn)有，（4）正確.故選.【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)線(xiàn)定義，著重考查學(xué)生綜合運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．5.已知向量⊥，|﹣|=2，定義：=λ+（1﹣λ），其中0≤λ≤1．若?=，則||的最大值為（）A． B． C．1 D．參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；函數(shù)的最值及其幾何意義．【專(zhuān)題】平面向量及應(yīng)用．【分析】畫(huà)出草圖，通過(guò)⊥、|﹣|=2可得||=1，利用=λ+（1﹣λ）可得B、P、D、C四點(diǎn)共線(xiàn)，結(jié)合=||cosα，可得當(dāng)B、P兩點(diǎn)重合時(shí)||最大，計(jì)算即可．【解答】解：如圖，記=，=，=，=，＜，＞=α．∵⊥，|﹣|=2，∴||=1，∵=λ+（1﹣λ），∴B、P、D、C四點(diǎn)共線(xiàn)，∵=?=||?||cosα=1?||cosα，∴在上的投影為，∴當(dāng)B、P兩點(diǎn)重合時(shí)，||最大，此時(shí)α=，||=||=1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的幾何意義，涉及到向量的加、減法運(yùn)算法則，三點(diǎn)共線(xiàn)的向量表示，向量的投影等知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于難題．6.已知a，b∈R且a≠b，若aea=beb（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列正確的是（）A．lna﹣lnb=b﹣a B．lna﹣lnb=a﹣bC．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a D．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=a﹣b參考答案：C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】構(gòu)造函數(shù)f（x）=xex，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．【解答】設(shè)f（x）=xex，則f'（x）=（x+1）ex，由f′（x）＞0得x＞﹣1．由f′（x）＜0得x＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）為減函數(shù)，（﹣1，+∞）增函數(shù)，即當(dāng)x=﹣1時(shí)，函數(shù)取得極小值f（﹣1）=﹣＜0，∵f（0）=0，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0．∴由f（a）=f（b）知a＜0，b＜0．由（﹣a）ea=（﹣b）eb得ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a．故選：C．7.下列函數(shù)中，滿(mǎn)足“對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，都有”的函數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.已知集合，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B試題分析：使有意義，必須滿(mǎn)足，，，故選B．考點(diǎn)：1、函數(shù)的定義域；2、集合的交集運(yùn)算．9.已知集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，則A∩B等于（）A．{0} B．{2} C．{0，1，2} D．?參考答案：B【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【分析】集合A和集合B的公共元素構(gòu)成集合A∩B，由此利用集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，∴A∩B={2}．故選B．10.已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知不等式的解集為，則的值為_(kāi)_______參考答案：3略12.已知向量，滿(mǎn)足，，向量在向量方向上的投影為1，則______.參考答案：【分析】由投影求得，再由模長(zhǎng)公式求解即可【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较蛏贤队盀?則∴||＝2．故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及幾何意義，考查模長(zhǎng)公式，，注意平面向量的數(shù)量積公式的靈活運(yùn)用．13.已知向量夾角為，且，則

；參考答案：略14.（08年寶山區(qū)模擬理

）由展開(kāi)所得的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有__________項(xiàng)。參考答案：答案：5115.

下列五個(gè)命題：

①分別和兩條異面直線(xiàn)都相交的兩條直線(xiàn)一定是異面直線(xiàn)②函數(shù)是奇函數(shù)③直線(xiàn)是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸④若，則的最大值為⑤函數(shù)的最小正周期為其中不正確的命題的序號(hào)是______________（把你認(rèn)為不正確的命題序號(hào)全填上）參考答案：答案：①④⑤16.已知實(shí)數(shù)a，b，c成公差為1的等差數(shù)列，b，c，d成等比數(shù)列，a＞0，則a+b+c+d的取值范圍是

．參考答案：（7，+∞）

【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】根據(jù)題意，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得a+b+c=3b，且c=b+1，再結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得d==b++2，則a+b+c+d=3b+b++2=4b++2，分析可得b的取值范圍，令t=4b++2，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，實(shí)數(shù)a，b，c成公差為1的等差數(shù)列，則a+b+c=3b，且c=b+1，若b，c，d成等比數(shù)列，則有c2=bd，又由c=b+1，則d==b++2，則a+b+c+d=3b+b++2=4b++2，又由a＞0，則b＞1，令t=4b++2，（b＞1），分析可得t＞7，則a+b+c+d的取值范圍為（7，+∞）；故答案為：（7，+∞）17.雙曲線(xiàn)的焦距是______，漸近線(xiàn)方程是______.參考答案：8

【分析】由雙曲線(xiàn)方程求得a，b，c的值，則其焦距與漸近線(xiàn)方程可求．【詳解】由題知，＝4，＝12，故＝＝16，∴雙曲線(xiàn)的焦距為：，漸近線(xiàn)方程為：．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿(mǎn)分16分）

設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性.（3）若對(duì)任意及任意，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，無(wú)極大值.（2）

當(dāng)，即時(shí)，在定義域上是減函數(shù)；當(dāng)，即時(shí)，令得或令得當(dāng)，即時(shí)，令得或令得綜上，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（3）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，在上單減，是最大值，是最小值.

,而經(jīng)整理得，由得，所以19.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣+（a﹣1）x（a＞0）．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）試問(wèn)在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），使得f（x）在x0=處的切線(xiàn)l平行于AB，若存在，求出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求導(dǎo)f′（x）=﹣，從而確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)f′（x0）=﹣a+a﹣1，求直線(xiàn)AB的斜率kAB=﹣+a﹣1，從而可得=，再設(shè)=t，（t＞1），從而可得2=lnt，令g（t）=lnt﹣2=lnt+﹣2，從而解得．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣+（a﹣1）x，∴f′（x）=﹣，又∵a＞0，∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；（2）∵f′（x0）=f′（）=﹣a+a﹣1，kAB==﹣+a﹣1，由題意可得，﹣a+a﹣1=﹣+a﹣1；故=，故=，即設(shè)=t，（t＞1），則上式可化為=lnt，即2=lnt，令g（t）=lnt﹣2=lnt+﹣2，g′（t）=﹣==≥0，故g（t）=lnt﹣2在（0，+∞）上是增函數(shù)，而g（1）=0，故與x1＜x2相矛盾，故不存在．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用．20.已知點(diǎn)A（1，2）、B（5，﹣1），且A，B兩點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離都為2，求直線(xiàn)l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式．【專(zhuān)題】分類(lèi)討論；綜合法；直線(xiàn)與圓．【分析】此題需要分為兩類(lèi)來(lái)研究，一類(lèi)是直線(xiàn)L與點(diǎn)A（1，2）和點(diǎn)B（5，﹣1）兩點(diǎn)的連線(xiàn)平行，一類(lèi)是線(xiàn)L過(guò)兩點(diǎn)A（1，2）和點(diǎn)B（5，﹣1）中點(diǎn)，分類(lèi)解出直線(xiàn)的方程即可．【解答】解：∵|AB|==5，|AB|＞2，∴A與B可能在直線(xiàn)l的同側(cè)，也可能直線(xiàn)l過(guò)線(xiàn)段AB中點(diǎn)，①當(dāng)直線(xiàn)l平行直線(xiàn)AB時(shí)：kAB==﹣，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=﹣x+b依題意得：=2，解得：b=或b=，故直線(xiàn)l的方程為：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0②當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)線(xiàn)段AB中點(diǎn)時(shí)：AB的中點(diǎn)為（3，），可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y﹣=k（x﹣3）依題意得：=2，解得：k=，故直線(xiàn)l的方程為：x﹣2y﹣=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求解本題關(guān)鍵是掌握好點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式，對(duì)空間想像能力要求較高，考查了對(duì)題目條件分析轉(zhuǎn)化的能力．21.（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù).（1）當(dāng)?shù)膯握{(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)處的切線(xiàn)為,直線(xiàn)軸相交于點(diǎn)Q.若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)恒小于1，求實(shí)數(shù)a