2023年中考數(shù)學(xué)重難點突破-動點問題

2023年中考數(shù)學(xué)重難點突破—動點問題

一、綜合題

1.如圖1,△ABC中，CD±AB于D,且BD：AD：CD=2：3：4,

(1)試說明△ABC是等腰三角形；

(2)已知SAABC=40CITI2，如圖2,動點M從點B出發(fā)以每秒1cm的速度沿線段

BA向點A運動，同時動點N從點A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點C運動，當(dāng)其中

一點到達終點時整個運動都停止.設(shè)點M運動的時間為t(秒)，

①若△DMN的邊與BC平行，求t的值；

②若點E是邊AC的中點，問在點M運動的過程中，△MDE能否成為等腰三角

形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由.

2.如圖，cABC是等邊三角形，AB=6,動點P沿折線AB-BC以每秒1個單位長度

的速度向終點C運動；同時，動點Q沿折線C4-AB-BC以每秒2個單位長度的速

度向終點C運動，連接PQ,設(shè)點P的運動時間為t(s)(0<r<12).

(1)用含t的式子表示BP的長；

(2)當(dāng)AAPQ是等邊三角形時，求t的值；

(3)當(dāng)線段PQ在ABC的某條邊上時，求t的取值范圍；

(4)在(3)的條件下，當(dāng)以點P、Q、A、C中的任意三個點為頂點構(gòu)成的三角形

是以PQ為底的等腰三角形時，直接寫出t的值.

3.將一ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到ADE.

(1)如圖1,當(dāng)點D恰好落在BC上時，連接CE.

①當(dāng)NB=70°,ZACB=50?時，求證：ACIDE;

②當(dāng)ABC滿足什么條件時，四邊形ABCE是平行四邊形？說明理由.

(2)如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60。時，。七交8c于點P,連接AP.當(dāng)4?=6、

NC=45。時，求PE的長.

4.如圖，在△ABC中，AB=50cm,BC=30cm,AC=40cm.

(1)求證：ZACB=90°

(2)求AB邊上的高.

(3)點D從點B出發(fā)在線段AB上以2cm/s的速度向終點A運動，設(shè)點D的運動

時間為t(s).

①BD的長用含t的代數(shù)式表示為▲.

②當(dāng)△BCD為等腰三角形時，直接寫出t的值.

5.如圖，^ABC是邊長為4cm的等邊三角形，動點P,Q同時從A,B兩點出

發(fā)，分別沿AB,BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/S,當(dāng)點P到達點B

時，P,Q兩點停止運動，設(shè)點P的運動時間為龍，解答下列問題：

(1)求ABC的面積.

(2)當(dāng)，為何值時，PBQ是直角三角形？

(3)是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是ABC面積的!?如果

O

存在，求出f的值；如果不存在，請說明理由.

6.矩形A8CO中，AC,3。為對角線，AB=4cm,BC=6cm,E為。。中點，

動點尸從點A出發(fā)沿AB向點8運動，動點Q同時以相同速度從點8出發(fā)沿8C向點

C運動，P、。的速度都是1cm/秒，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之

停止運動，設(shè)運動時間為f秒.

(1)當(dāng)PQAC時，求運動時間f;

(2)當(dāng)8。時，求運動時間f；

(3)當(dāng).BPQsCEQ時，求運動時間/；

(4)連接依，的面積能否達到矩形ABCD面積的三分之一？若能，求出r

的值；若不能，說明理由.

7.如圖，在小ABC中，D為AB的中點，AB=AC=10cm,BC=8cm,動點P從點B

出發(fā)，沿BC方向以每秒3cm的速度向點C運動；同時動點Q從點C出發(fā)，沿CA方

向以每秒3cm的速度向點A運動，運動時間是t秒.

(1)在運動過程中，當(dāng)點C位于線段PQ的垂直平分線上時，求出t的值；

(2)在運動過程中，是否存在某一時刻t,使ABPD和ACQP全等，若存在，求出

t的值.若不存在，請說明理由.

8.如圖所示，在RtAABC中，ZB=90°,AC=60cm,ZA=60°,點D從點C出發(fā)沿

CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/s

的速度向點B勻速運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)點

D,E運動的時間是ts(0<tS5).過點D作DF1BC于點F,連結(jié)DE,EF.

(1)求證:AE=DF.

(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請說明

理由.

(3)當(dāng)t為何值時，ADEF是直角三角形?請說明理由.

9.如圖(1),在四邊形ABCD中,AB〃DC,CB±AB,AB=16cm,BC=6cm,CD

=8cm，動點P從點D開始沿DA邊勻速運動，動點Q從點A開始沿AB邊勻速運

動，它們的運動速度均為2cm/s.點P和點Q同時出發(fā)，設(shè)運動的時間為t(s),O<t

<5

(1)用含t的代數(shù)式表示AP；

(2)當(dāng)以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABD相似時，求t的值；

(3)如圖(2),延長QP、BD,兩延長線相交于點M,當(dāng)aQMB為直角三角形

時，求t的值.

3

10.如圖，在aABC中，AB=BC=AC=12cm，點D為AB上的點，且BD=一

4

AB,如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向終點C運動，同時，點Q在線段

CA上由C點向終點A運動.當(dāng)一點到達終點時，另一點也隨之停止運動.

(1)如(圖一)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1s后，△BPD與

△CQP是否全等，請說明理由.

(2)如(圖二)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等(點P不與點B和點C

重合)，連接點A與點P,連接點B與點Q,并且線段AP,BQ相交于點F,求NAFQ

的度數(shù).

(3)若點Q的運動速度為6cm/s，當(dāng)點Q運動幾秒后，可得到等邊△CQP?

11.在小ABC中，AB=AC,ZBAC=a,點P為線段CA延長線上一動點，連接

PB,將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段PD，連接DB,DC.

(1)如圖1,當(dāng)a=60。時，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

(2)如圖2,當(dāng)a=120。時，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

4

12.已知，如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-§x+4交x軸于點C,交y軸于點B,

直線y=kx+4經(jīng)過點B,交x軸于點A,且AC=BC.

(1)求k的值；

(2)以812為邊在第一象限內(nèi)作等腰直角BCD,ZBCD=90°,BC=CD,動點P

從點。出發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸向右運動，連接PD,設(shè)P點運動的時間為

t,PCD的面積為S,請用含t的式子表示S,并直接寫出t的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，在點P運動過程中，當(dāng)PCD為等腰三角形時，求P點坐

標(biāo).

13.如圖1,AEBF,AC平分NBA。，且交B尸于點C,BO平分NABC,且交

AE于點D,連接CO.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)如圖2,若DMLBF交BF于點、M,且C￡>=5,AC=6,求OM的長；

(3)如圖3,若點P是BO上一動點，在(2)的條件下，請求出二PCM周長的最

小值.

14.如圖，在。。中，AB為弦，CD為直徑，且ABLCD,垂足為E,P為AC上的

動點(不與端點重合)，連接PD.

(1)求證：ZAPD=ZBPD；

(2)利用尺規(guī)在PD上找到點I,使得1到AB、AP的距離相等，連接AD(保留

作圖痕跡，不寫作法).求證：ZAIP+ZDAI=180°；

(3)在(2)的條件下，連接IC、IE,若NAPB=60°,試問：在P點的移動過程

中，工是否為定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由.

IE

15.如圖，RtAABC中，AB=AC,ZBAC=90°,BC=6cm，點M,N是邊BC上的兩

個動點，點M從點B出發(fā)沿著BC以每秒1cm的速度向終點C運動；點N同時從點

C出發(fā)沿著CB以每秒2cm的速度向終點B運動.設(shè)運動時間為t秒.

(1)當(dāng)t=l時，求AAMN的面積。

(2)當(dāng)t為何值時，ZMAN=45°.

(3)當(dāng)以MN為直徑的圓與△AMN的邊有且只有三個公共點時，請直接寫出t的

取值范圍.

16.

(1)【問題背景】學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在專題學(xué)習(xí)中遇到一個幾何問題：如圖1,已

知等邊△ABC,D是小ABC外一點，連接AD、CD、BD,若NADC=30。，AD=3,

BD=5,求CD的長.該小組在研究如圖2中△OMNgAOPQ中得到啟示，于是作出

圖3,從而獲得了以下的解題思路，請你幫忙完善解題過程.

解：如圖3所示，以DC為邊作等邊△CDE，連接AE.

「△ABC、ADCE是等邊三角形，

,BC=AC,DC=EC,ZBCA=ZDCE=60°.

ZBCA+ZACD=▲+ZACD,

Z.ZBCD=ZACE,

-------------------------A--------------------------->

，AE=BD=5.

ZADC=30°,ZCDE=60°,

ZADE=ZADC+ZCDE=90°.

VAD=3,

CD=DE=A.

(2)【嘗試應(yīng)用】如圖4,在小ABC中，NABC=45。，AB=0,BC=4,以AC

為直角邊，A為直角頂點作等腰直角aACD，求BD的長.

(3)【拓展創(chuàng)新】如圖5,在小ABC中，AB=4,AC=8,以BC為邊向外作等腰

△BCD,BD=CD,ZBDC=120°,連接AD,求AD的最大值.

17.如圖，已知ABC中，ZB=90°,AB=8cm,SC=6cm,P、Q是ABC邊上

的兩個動點，其中點P從點A開始沿Af5方向運動，且速度為每秒1cm,點Q從

點B開始沿CfA方向運動，且速度為每秒2cm,它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時

間為t秒.

C0

(1)出發(fā)2秒后，求PQ的長；

(2)當(dāng)點Q在邊BC上運動時，出發(fā)幾秒鐘，工PQB能形成等腰三角形？

(3)當(dāng)點Q在邊CA上運動時，求能使ABCQ成為等腰三角形的運動時間(只要

直接寫出答案).

18.如圖1,口ABCD的邊長AB=5,對角線AC平分/BAD,點E從A點出發(fā)沿AB

方向以1個單位/秒的速度運動，點F從C點出發(fā)沿CA方向以2個單位/秒的速度運

動，其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒.

AEBAEB

圖1圖2

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若對角線BD=6,當(dāng)t為多少秒時，△AEF為等腰三角形；

(3)如圖2,若/BAD=60。，點G是DE是中點，作GHJ_DE交AC于H.點E

在AB邊上運動過程中，線段GH存在最小值，請你直接寫出這個最小值.

答案解析部分

1.【答案】(1)解：設(shè)BD=2x,AD=3x,CD=4x,

貝AB=5x,

在RtAACD中，AC=yjAD2+CD2=5x,

AAB=AC,

ABC是等腰三角形；

(2)解：SAABC=；x5xx4x=40cm2,而x>0,

x=2cm,

則BD=4cm,AD=6cm,CD=8cm,AC=10cm.

①當(dāng)MN〃BC時，AM=AN,

即10-t=t,

At=5;

當(dāng)DN〃BC時，AD=AN,

得：t=6；

若4DMN的邊與BC平行時，t值為5或6.

②?.?點E是邊AC的中點，CD±AB,

ADE=-AC=5,

2

當(dāng)點M在BD上,即gt<4時，△MDE為鈍角三角形，但DM^DE；

當(dāng)t=4時，點M運動到點D,不構(gòu)成三角形

當(dāng)點M在DA上，即4<飪10時，AMDE為等腰三角形，有3種可能.

如果DE=DM,貝I)t，4=5,

At=9;

如果ED=EM,則點M運動到點A,

At=10;

如果MD=ME=t4,

過點E作EF±AB于F,如圖3所示：

VED=EA,

ADF=AF=-AD=3,

2

在RtAAEF中，EF=4；

VBM=t,BF=7,

.\FM=t.7

則在RtAEFM中,(t.4)2.(t-7)2=42,

?t-竺

6

49

綜上所述，符合要求的I值為9或10或玄.

2.【答案】(1)解：根據(jù)題意可得，

①當(dāng)()<Y6時，點P在AB上運動，BP=6-t

②當(dāng)6<r<12時，點P在BC上運動，BP=t-6

(2)解：當(dāng)-APQ是等邊三角形時，

WAPQ是等邊三角形，

AAP=AQ,

A,Q=6—2t,AP—t

：.6-2t=t，解得：t=2,

.?.當(dāng)t=2s時，,APQ是等邊三角形；

(3)解：當(dāng)點Q運動到點A時，

2r=6,解得「=3;

當(dāng)點P到點B時，

t=6，此時點Q與點B重合，

...當(dāng)3<r<12,且時，線段PQ在二ABC的某條邊上；

(4)解：根據(jù)題意有，

如圖①，當(dāng)P、Q都在A3上時，

滿足AQ=BP時，_CPQ是等腰三角形，

AQ=2t-6,BP=6—t,

2r—6=6—1，解得：r=4；

如圖②，當(dāng)P、Q都在BC上時，

滿足BQ=CP時，一CPQ是等腰三角形，

5Q=2f-12,CP=\2-t,

2-12=12T，解得：f=8;

...當(dāng)f=4或f=8時，滿足以點P、Q、A、C中的任意三個點為頂點構(gòu)成的三角形

是以PQ為底的等腰三角形.

3.【答案】(1)解：①證明：如圖，設(shè)AC,DE交于占0,

a

BDC

圖1

：_ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到ADE,ZB=70°,

AAB^AD,ZADE=N3=70。，

:.ZADB=/B=7。。,

ZADB+ZADE+ZODC=180°,

/.ZODC=180°-ZADE-ZADB=180°-70°-70°=40°,

又：ZACB=50?,

/DOC=180°-NODC-ZACB=180°-40°-50°=90°,

ACIDE;

②當(dāng).ABC滿足AC=B。時，四邊形ABCE是平行四邊形.理由如下：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，AE^AC,

AE=BC,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，DE=BC,

，AE=DE,

ZDAE=ZADE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，AB=AD,ZB=ZADE,

二ZB=ZADB,

二ZADE=ZADB,

ZDAE^ZADB,

，AE//BC,

四邊形/iBCE是平行四邊形；

(2)解：如圖所示，作AFJ_3C于點F,作AGLOE于點G,連接BD,CE.

.??由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，AE=AC=6,NAED=NACB=45°,

又,:AGA.DE,

ZAEG=NE4G=45。，

AG-GE,

在RtAAGE中，由勾股定理得：AE2=AG2+GE2=2GE2,即6?=26后2,

解得：GE=372.

：旋轉(zhuǎn)角為60。,

二NC4E=6()。，

?.?在AAOE和APOC中，ZAED=ZACB^45°,ZAOE=NPOC,

二NQPC=NE4C=60°,

二ZFP￡>=NQPC=60°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，AABC=AAZ)E,

-

S1sADE>BC—DE,

：.-BCAF^-DEAG,

22

AF^AG,

在RtAAEP和RtAAG尸中，

AF=AG

AP=AP'

RtAAFP=RtAAGP(HL),

ZAPF=ZAPG=g(180°—NF尸0)=g(18O°—60°)=60。，

ZPAF=ZPAG=90°-60°=30°,

PG=-AP,

2

設(shè)PG=x,則AP=2x,

在RtAAG尸中，由勾股定理得：AP2=AG2+GP2,

即(2x)2=(3夜『+一,

解得x-A/6,

PG=G

APE=GE+PG=3y/2+y/6,

即PE的長為3亞+指.

4.【答案】(1)證明：*.*BC2+AC2=900+1600=2500cm2,AB2=2500cm2,

.\BC2+AC2=AB2,

ZACB=90°,

ABC是直角三角形；

(2)解：設(shè)AB邊上的高為hem,

50-h30x40

由題意得SAABC=

22

解得h=24.

AAB邊上的高為24cm;

(3)①2t

25

②當(dāng)t=15s或18s或時，△BCD為等腰三角形.

5.【答案】(1)解：如圖1,過點A作ADA.BC于點D

則NBA。=30°.

VAC=4,CD=2.

.?.在Rt_ACD中，AD=y/AC2-CD2=26

SAliC=-BC-A￡)=-x4x2V3=46

(2)解：設(shè)經(jīng)過t秒，PBQ是直角三角形，

則AP=rem,BQ=rem.

在ABC中，AB=BC=4cm,NB=60°,

BP=(4—，)cm.

若PBQ是直角三角形，則分兩種情況：

①當(dāng)NBQP=90"時，BQ=^BP,

14

即r=-(4-r),解得r=]

②當(dāng)NBPQ=90*時，BP=；BQ,

1Q

即4T=,,解得.

48

綜上所述，當(dāng)f=§s或時，PBQ是直角三角形.

(3)解：不存在這樣的t.

理由：如圖2,作QE_LAB于E,

1/Q

???QE=y/3BE=y/3x-t=—t,

-22

,?SBQP=3BP.QE

=—x（4-r）x—r

22

4

當(dāng)四邊形APQC的面積是ABC面積的1時，一BQP的面積是ABC面積的

O

3

8，

即亞-儲=鼠4也，化簡得/_今+6=0.

48

,b1—=16—4x1x6=-8<0,

不存在這樣的t，使四邊形APQC的面積是面積的1.

8

6.【答案】（1）解：由題意得，AP=BQ=t（0<t<4）,則3P=A8-AP=4-r,

PQAC,

lABCsjBQ,

BPBQ

"~AB~~BC'

4—Zt?,12

即一1=：,解得t=u

465

(2)解：四邊形ABC。是矩形，

/.ZABC=ZBCD=90,CD=AB=4cm,

PQ±BD,

;.NBPQ+NPBD=90=NPBD+NDBC,

:.NBPQ=NCBD,

:._PBQs_BCD,

Q

解得；

(3)解：???￡為CD的中點，CO=4,

/.CE=DE=2,

?:_BPQs_CEQ,

.BPBQ

''~CE~~CQ'

.4-zt

---=----.

26-t

產(chǎn)一12，+24=0

解得：f=6±2百，經(jīng)檢驗符合題意；

0</<4,貝h=6-2G.

(4)解：能，理由如下：

如圖，連接PE,

A1)

-e-§PQE=]S矩形468-8cnr

SPQE=S梯形P8CE-SPBQ-SCQE,

2+(4T),6，(4T)

22

r-8r+8=0(0<z<4),

:1=4-2丘,（不合題意的根已舍去）

二當(dāng)f=4-2及時，尸。石的面積能達到矩形A8QD面積的三分之一.

7.【答案】（1）解：由題意得CQ=3fcm,CP=BC-5P=（8-3r）cm,

???點C位于線段PQ的垂直平分線上，

?.CP=CQ,

:?3/=8—3，,

4

解得

(2)解：VAB=AC,

AZB=ZC,

又?:BP-CQ-3tcm,

???當(dāng)BD=CP時,△BPD^ACQP,

VAB=10cm,口為AB的中點,

/.BD=5cm,

/.8—3z=5,

解得f=l;

當(dāng)PB=PC,BD=CQ時，△BPD^ACPQ,

[3/=8-3z

???,<，此方程組無解，

5t=J

不存在△BPD^ACPQ這種情況，

綜上所述，當(dāng)t=1時，△BPD^ACQP.

8.【答案】(1)證明：在Rt一ABC中，易得ZC=90°-ZA=30c.由題可知

CD=46AE=2t.

又???在RtCDF中，ZC=30°,

DF=-CD=2t

2

AE=DF

(2)解：能理由如下：：ZB=90°,DF±BC,

ADF//AB.

又?：DF=AE,

二四邊形AEFD是平行四邊形.

當(dāng)AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，

即60-4r=2。,解得=10,

即當(dāng)r=10時，四邊形AEFD是菱形.

(3)解：①如圖1,當(dāng)AEDF=9Q)時，DE//BC.

此時AE=-AD，即2/=-(60-4r)，解得Z=—

222

.15一。

:.t=w時，NEDF=90.

②如圖2,當(dāng)NDEF=90°時，DELEF.

圖2

四邊形AEFD是平行四邊形，

AD//EF

：.DE±AD

是直角三角形，/ADE=90".

,/ZA=60°

:.ZDE4=30°

AAD=-AE,

2

即6Q-4t=t，解得Z=12.

綜上所述，當(dāng)r=y或12時，..DEF是直角三角形.

9.【答案】（1）解：如圖，作DHLAB于H

則四邊形DHBC是矩形

/.CD=BH=8cm,DH=BC=6cm

AH=AB-BH=16-8=8(cm)

在RSADH中，由勾股定理得4)=+=j6?+82=10(cm)

VDP=2tcm

AAP=AD-DP=(10-2t)cm

(2)解：①當(dāng)△APQ^AADB時

APAD

Jjii］有----

AQ~AB

.10-2110

,?-----------------

2t16

解得：f=￡

②當(dāng)AAPQ^AABD時

APAB

則有而

AD

.10—2716

??-------------

2t10

解得：r=||

4025

綜上所述，當(dāng)f==或f=三時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABD相似；

(3)解：①當(dāng)NQMB=90°時，△QMB為直角三角形

如圖，過點P作PN±AB于N,DH±AB于H

AZPNQ=ZBHD

,/ZQMB=90"

.,.ZPQN+ZDBH=90

VZPQN+ZQPN=90

NQPN=NDBH

.*.△PNQ^>ABHD

.QN_PH_6_3

艮［J4QN=3PN

VPN/7DH

.*.△APN^AADH

.PN_DH_6_3ANAH_8_4

,?方一茄一記一M'77一茄一正一勺

3344

PN=jAP=](10—2f),4N=]AP=](10_2r)

418

/.QN=AN-AQ=-(10-2t)-2t=8--l-t

1Q3

由4QN=3PN得：4(8-yO=3xj(10-2/)

解得：r=E

27

②當(dāng)NMQB=90。時，△QMB為直角三角形，如圖

ra（3）

貝ijPQ/7DH

/.△APQ^AADH

.AQAH_4

4

AQ=-AP

4

即2/=g(10—2f)

“20

解得：'=3

3520

綜上所述，當(dāng)￡=石或豆時，△QMB是直角三角形.

10.【答案】(1)MPDg二CQP.

證明：點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向終點C運動，經(jīng)過1s后，

，BP=Tx3=3,

:點Q的運動速度與點P的運動速度相等，

：.CQ=BP=3,

3

VAB=BC=AC=12cm,BD=-AB,

4

3

是等邊三角形，NB=NC=60。，8D=12x—=9,

4

PC=BC-BP=12—3=9,

在BOP和.C尸。中，

'□□=□□

ZD=ZD

1.□□=□□

.BPDmCQP(SAS).

(2)解：?.?點Q的運動速度與點P的運動速度相等，

:.BP=CQ,

VAB=BC=AC,

??一ABC是等邊三角形，N84C=NABC=NC=60°,

；在ABP和BCQ中，

,□□=□□

■/■□□□=ZD

.□□=□□

.ABP9BCQ,

NBAP=/CBQ；

在BPF中,=180°-(ZCBQ+ZAPB),

4CBQ+ZAPB=ZCBQ+NCAP+ZC,

VZCBQ+ZCAP=ZBAP+ZCAP=60°,NC=60?,

4CBQ+ZAPB=60°+60°=l20°,

NBFP=180°-(ZCBQ+ZAPB)=180°-120°=60°,

/.NAFQ=ZBEP=60。(對頂角相等).

(3)解：設(shè)點Q運動時間是x秒，若CP=CQ,可列方程：

[2-3x-6x,

4

解得：x=§.

..?在ACQP中，CP=CQ,NC=60°,

4

.?.當(dāng)x=§秒時，CQP是等邊三角形(任意角是60。的等腰三角形是等邊三角形).

4

???當(dāng)點Q運動]秒后,可得到等邊.CQP.

11.【答案】(1)解：PA=DC,理由如下，

VAB^AC,NBAC=60。,

ABC是等邊三角形，ZABC^60°,

V線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到線段PD,

：...PBD是等邊三角形，PB=PD,NB~D=60°,

：.ZABP+ZABD=ZCBD+ZABD,

...ZABP=ZCBD,

：..AB咯CBD(SAS),

AP=CD;

(2)解：CD=6PA.理由如下，

如圖，過點A作AEJ_3C于E,過點P作/,

???AB^AC,N84C=120°,

Z.Z/WC=30。，BE=LBC

2

..cos/LABC=——

AE2

二型3,

AB

???PB=PD,ZBPD^nO0,

：.ZPBD=30°,BF=-BD

2

cccBF拒

1.cosPBD----=—

PB2

.?羋=6,

BP

.BC_BDBC_AB

''~AB~~BP'即茄一而‘

4PBA=ZPBD+ZABD,

ZDBC=ZABC+ZABD,

:.ZDBC=4PBA,

:.」CB*_ABP,

.d些=G,

APBP

：?CD=8Ap.

12.【答案】(I)解：當(dāng)x=0時，y=4,.?.B(0,4),.-.OB=4，當(dāng)y=0時，x=3,

AC(3,0),AOC=3,ABC=5,AAC=BC=5,AOA=2，二A(-2,0)JE(-

2,0)代入丫=1?+4中，...k=2;

(2)解：作DH_Lx軸于H,ZBCD=90°,ZBCO+ZDCH=90°,

圖2

VZBCO+ZOBC=90°,.*.ZDCH=ZOBC,VBC=CD,?.△BOC^ACHD

193

(AAS),.*.OC=DH=3，當(dāng)0勺<3時，PC=3-t,S=-x3(3-f)=---t;當(dāng)t>3

139

時，PC=t-3,S=—x3(/-3)=-t—;

222

(3)解：由(2)可知D(7,3),設(shè)P(n,0),.;PC=|n-3|,PD=J(〃一7『+9,

--------------49do

CD=5,①當(dāng)PC=PD時，7(/7-7)2+9=|n-3|，解得n=?,.,.P(—,0);②當(dāng)

88

CP=CD時，|n.3|=5，解得n=8或n=-2(舍)，.?1(8,0);③當(dāng)DC=DP時，

7(?-7)2+9=5,解得n=3(舍)或n=ll,11,0);綜上所述：P點坐標(biāo)為

49

(7,0)或(8,0)或(11,0).

O

13.【答案】(1)證明：VAC平分NBAD,

AZBAC=ZDAC,

又TAEBF,

ZDAC=ZACB=ZBAC,

???AB=BC,

同理，BD平分NABC,

???NABD=NCBD,

又???AEBF,

AZCBD=ZADB=ZABD,

AAB=AD,

VAB=BC,AB=AD,

AAD=BC,

VADBC,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

VAB=AD,

???四邊形ABCD是菱形；

(2)解：:菱形ABCD中，CD=5,AC=6,

A0D10C,OC=3,OB=OD,

yjcif-OC2=V52-32=4，

.\BD=2OB=8,

VDM1BF,

JZDMB=90°,

1

.\OM=-BD=4;

2

??,四邊形ABCD是菱形，

???DA二DC,NADB=NCDB,

又?..PD=PD,

/.△ADP^ACDP(SAS),

APA=PC,

VAPCM周長=CM+PC+PM,

.?.當(dāng)A,P,M三點共線時，PC+PM的最小值為AM,

由(2)可知，AD=CD=5,BD=8,AC=6,

I

S菱形ABCD=-DBxAC=AD?DM,

I

-x8x6=5?DM,

2

24

ADM=——,

5

CM=^CET-DM-=^52-(y)2=1,AM=

S!AD-+DM

5

PCM周長的最小值為AM+CM="1?+N7+V120T

555

14.【答案】(1)證明：?..直徑CD_L弦AB,

：?AD=BD,

AZAPD=ZBPD;

(2)解：如圖，

作/BAP的平分線，交PD于I,

證：VAI平分/BAP,

AZPAI=ZBAI,

AZAID=ZAPD+ZPAI=ZAPD+BAI,

7AD=BD,

JZDAB=ZAPD,

AZDAI=ZDAB+ZBAI=ZAPD+ZBAI,

.\ZAID=ZDAI,

VZAIP+ZDAI=180°,

.\ZAIP+ZDAI=180°;

(3)解：如圖2,

VAI平分NBAP,PD平分NAPB,

ABI平分NABP,NBAI=gZBAP,

AZABI=-ZABP,

2

???ZAPB=60°,

AZPAB+ZPBA=120°,

AZBAI+ZABI=-(ZBAP+ZABP)=60°,

\ZAIB=120°,

??點I的運動軌跡是A3,

\DI=DA,

.?ZAOB=2ZAPB=120°,

ZAD1AB,

??AD=BD>

,.ZAOB=ZBOD=60°,

.,OA=OD,

??△AOD是等邊三角形，

??AD=AO,

「CD是。O的直徑，

??ZDAC=90°,

/CD±AB,

\NAED=90。，

,?NAED=NCAD,

.'ZADC=ZADE,

??△ADE^ACDA,

.ADDE

U~CD~~AD'

,?AD2=DE?CD,

.,DF=DI=AD,

\DI2=DE<D,

??/IDE是公共角，

??△DIE^ADCI,

.IC_CD

IEDI

15.【答案】（1）解：過點A作AH±BC于點H,

.?.AH=BH=HC=3cm,

當(dāng)t=l時，BM=1,NC=2,

/.MN=6-l-2=3cm,

119,

2

SAAMN=—MNAH=—x3x3=—cm.

222

(2)解：①當(dāng)t=3時，BM=3cm,CN=6cm,即C運動到點B,M運動到BC的中點

處，

由(1)可知，NBAH=45。，

/.ZMAN=45°;

②當(dāng)Ovt<3時，若NMAN=45。，

...NMAC=NMAN+NNAC=45°+NNAC,

又：/MAC=/C+NNAC=45°+NNAC,

.\ZMAC=ZMAC,

?.△BAN^ACMA,

.AB_BN

MC-AC'

VBN=6-2t,MC=6-t,AB=AC=30,

??.浮諾加2g0,

解得：t=9+3”（舍去），,

22

二綜上，當(dāng)t=3或上亙5時，ZMAN=45°.

2

（3）解：分三種情況：

①當(dāng)M與B重合，N與C重合，此時圓為△AMN的外接圓，如圖所示，

...圓與^AMN相交于點A、M、N三點，

/.t=0;

②當(dāng)N運動到M的右側(cè)時，AM>AN,如圖所示，

3

...此時圓與AM相交于兩點，與AN交于一點N（t=5時，N在BC的中點處，圓與

AN相切于點N）,

3

<2時，圓與△AMN相交于三點；

③當(dāng)N運動到M點左側(cè)時，AM<AN,如圖所示，

A

...此時圓與AN相交于兩點，與AM交于M點（t=3時，M在BC的中點處，圓與

AM相切與點M）,

.?.2v<3時,圓與AAMN相交于三點,

3

綜上所述，當(dāng)t=0或］厘<2或2cts3時，圓與△AMN有且只有三個公共點.

16.【答案】（1）解：如圖3所示，以DC為邊作等邊三角形AC0E，連接AE,

VAABC,ACDE是等邊三角形，

/.