2011-2020年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 專題19 數(shù)列的求和問(wèn)題（含解析）

專題19數(shù)列的求和問(wèn)題十年大數(shù)據(jù)*全景展示年份題號(hào)考點(diǎn)考查內(nèi)容2011理17拆項(xiàng)消去求和法等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)、等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式及拆項(xiàng)相消求和法，運(yùn)算求解能力2012理16公式法與分組求和法靈活運(yùn)用數(shù)列知識(shí)求數(shù)列問(wèn)題能力2013卷2理16數(shù)列綜合問(wèn)題等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式及數(shù)列最值問(wèn)題，函數(shù)與方程思想卷1文17拆項(xiàng)消去求和法等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式及列項(xiàng)求和法，方程思想卷1理12數(shù)列綜合問(wèn)題遞推數(shù)列、數(shù)列單調(diào)性、余弦定理、基本不等式應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題能力2014卷1文17錯(cuò)位相減法等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及錯(cuò)位相減法，方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想2015卷1理17拆項(xiàng)消去求和法利用數(shù)列利用前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關(guān)系求通項(xiàng)公式、等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式、利用拆項(xiàng)消去法數(shù)列求和2016卷3理12數(shù)列綜合問(wèn)題對(duì)新概念的理解和應(yīng)用新定義列出滿足條件的數(shù)列卷1理17公式法與分組求和法等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式、對(duì)新概念的理解與應(yīng)用，分組求和法2017卷3文17拆項(xiàng)消去求和法利用數(shù)列利用前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關(guān)系求通項(xiàng)公式及利用拆項(xiàng)消去法數(shù)列求和卷2理15拆項(xiàng)消去求和法等差數(shù)列基本量的運(yùn)算等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式及拆項(xiàng)消去求和法，方程思想卷1理12數(shù)列綜合問(wèn)題等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式、等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式，邏輯推理能力2020卷2文12等差數(shù)列等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式卷3理17數(shù)列綜合問(wèn)題數(shù)學(xué)歸納法，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和文17等差數(shù)列與等比數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式大數(shù)據(jù)分析*預(yù)測(cè)高考考點(diǎn)出現(xiàn)頻率2021年預(yù)測(cè)考點(diǎn)61公式法與分組求和法1/132021年高考數(shù)列求和部分仍將重點(diǎn)拆線消去法和錯(cuò)位相減法及與不等式恒成立等相關(guān)的數(shù)列綜合問(wèn)題，求和問(wèn)題多為解答題第二問(wèn)，難度為中檔，數(shù)列綜合問(wèn)題為小題壓軸題，為難題考點(diǎn)62裂項(xiàng)相消法求和5/13考點(diǎn)63錯(cuò)位相減法2/13考點(diǎn)64并項(xiàng)法與倒序求和法1/13考點(diǎn)65數(shù)列綜合問(wèn)題4/13十年試題分類*探求規(guī)律考點(diǎn)61公式法與分組求和法1．(2020全國(guó)Ⅱ文14)記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【思路導(dǎo)引】∵SKIPIF1<0是等差數(shù)列，根據(jù)已知條件SKIPIF1<0，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和，即可求得答案．【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0等差數(shù)列的公差SKIPIF1<0，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0根據(jù)等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式：SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．2．(2020浙江11)已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】10【思路導(dǎo)引】根據(jù)通項(xiàng)公式可求出數(shù)列SKIPIF1<0的前三項(xiàng)，即可求出．【解析】由題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：10．3．(2020山東14)將數(shù)列SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為．【答案】SKIPIF1<0【思路導(dǎo)引】首先判斷出數(shù)列SKIPIF1<0與SKIPIF1<0項(xiàng)的特征，從而判斷出兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果．【解析】因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列SKIPIF1<0是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．4．(2012新課標(biāo)，理16)數(shù)列{SKIPIF1<0}滿足SKIPIF1<0，則{SKIPIF1<0}的前60項(xiàng)和為．【答案】1830【解析】由題設(shè)知，SKIPIF1<0=1，①SKIPIF1<0=3②SKIPIF1<0=5③SKIPIF1<0=7，SKIPIF1<0=9，SKIPIF1<0=11，SKIPIF1<0=13，SKIPIF1<0=15，SKIPIF1<0=17，SKIPIF1<0=19，SKIPIF1<0，……，∴②－①得SKIPIF1<0=2，③+②得SKIPIF1<0=8，同理可得SKIPIF1<0=2，SKIPIF1<0=24，SKIPIF1<0=2，SKIPIF1<0=40，…，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，是各項(xiàng)均為2的常數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…是首項(xiàng)為8，公差為16的等差數(shù)列，∴{SKIPIF1<0}的前60項(xiàng)和為SKIPIF1<0=1830．5．(2020山東18)已知公比大于SKIPIF1<0的等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0SKIPIF1<0中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【思路導(dǎo)引】(1)利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0的形式，求解出SKIPIF1<0，由此求得數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)通過(guò)分析數(shù)列SKIPIF1<0的規(guī)律，由此求得數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】(1)由于數(shù)列SKIPIF1<0是公比大于SKIPIF1<0的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0，依題意有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0．(2)由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的區(qū)間為：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0個(gè)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0個(gè)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0個(gè)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0個(gè)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0個(gè)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0個(gè)SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．6．(2016?新課標(biāo)Ⅱ，理17)SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示不超過(guò)SKIPIF1<0的最大整數(shù)，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(Ⅰ)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(Ⅱ)求數(shù)列SKIPIF1<0的前1000項(xiàng)和．【解析】(Ⅰ)SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0，則公差SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的前1000項(xiàng)和為：SKIPIF1<0．7．(2015湖南)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(Ⅰ)證明：SKIPIF1<0；(Ⅱ)求SKIPIF1<0．【解析】(Ⅰ)由條件，對(duì)任意，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因而對(duì)任意，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，兩式相減，得，即，又，所以，故對(duì)一切，．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，所以，于是數(shù)列是首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，于是．從而，綜上所述，8．(2013安徽)設(shè)數(shù)列滿足，，且對(duì)任意，函數(shù)，滿足(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(Ⅰ)由，SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以，∴SKIPIF1<0是等差數(shù)列．而，，，，(Ⅱ)考點(diǎn)62裂項(xiàng)相消法求和1．(2020浙江20)已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，SKIPIF1<0．(Ⅰ)若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求q與an的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【答案】(I)SKIPIF1<0；(II)證明見(jiàn)解析【思路導(dǎo)引】(I)根據(jù)SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，進(jìn)而求得數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，利用累加法求得數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．(II)利用累乘法求得數(shù)列SKIPIF1<0的表達(dá)式，結(jié)合裂項(xiàng)求和法證得不等式成立．【解析】(I)依題意SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，∴解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)．∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(II)依題意設(shè)SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．2．(2017?新課標(biāo)Ⅱ，理15)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為1，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．3．(2017?新課標(biāo)Ⅲ，文17)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．【解析】(1)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，上式也成立．SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0．SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．4．(2015新課標(biāo)Ⅰ，理17)SKIPIF1<0為數(shù)列{SKIPIF1<0}的前n項(xiàng)和．已知SKIPIF1<0＞0，SKIPIF1<0=QUOTESKIPIF1<0．(Ⅰ)求{SKIPIF1<0}的通項(xiàng)公式：(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列}的前n項(xiàng)和【解析】(Ⅰ)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=3，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=2，所以數(shù)列{SKIPIF1<0}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，所以數(shù)列{SKIPIF1<0}前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．5．(2013新課標(biāo)Ⅰ，文17)已知等差數(shù)列｛SKIPIF1<0｝的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0=0，SKIPIF1<0=-5．(Ⅰ)求｛SKIPIF1<0｝的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)求數(shù)列{SKIPIF1<0}的前n項(xiàng)和．【解析】(Ⅰ)由SKIPIF1<0=0，SKIPIF1<0=-5得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0=1，SKIPIF1<0=-1，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；(Ⅱ)由已知SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴數(shù)列{SKIPIF1<0}的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．6．(2011新課標(biāo)，理17)等比數(shù)列{SKIPIF1<0}的各項(xiàng)均為整數(shù)，且SKIPIF1<0=1，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，(Ⅰ)求數(shù)列{SKIPIF1<0}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，求數(shù)列{SKIPIF1<0}的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．【解析】(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{SKIPIF1<0}的公比為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0=SKIPIF1<0得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，由條件可知SKIPIF1<0＞0，故SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0=1得SKIPIF1<0=1，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故數(shù)列{SKIPIF1<0}的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．(Ⅱ)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0故SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0所以數(shù)列{SKIPIF1<0}的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0．7．(2016年天津高考)已知SKIPIF1<0是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0，對(duì)任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)．(Ⅰ)設(shè)SKIPIF1<0，求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(Ⅱ)設(shè)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0【解析】(Ⅰ)由題意得SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列．(Ⅱ)SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．8．(2011安徽)在數(shù)1和100之間插入SKIPIF1<0個(gè)實(shí)數(shù)，使得這SKIPIF1<0個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這SKIPIF1<0個(gè)數(shù)的乘積記作SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(Ⅰ)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)SKIPIF1<0求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】(Ⅰ)設(shè)SKIPIF1<0構(gòu)成等比數(shù)列，其中SKIPIF1<0則SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②①×②并利用SKIPIF1<0SKIPIF1<0(Ⅱ)由題意和(Ⅰ)中計(jì)算結(jié)果，知SKIPIF1<0另一方面，利用SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<09．(2014山東)已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為2，前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列．(Ⅰ)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)令SKIPIF1<0=SKIPIF1<0求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】(Ⅰ)SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0(Ⅱ)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．10．(2013廣東)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且構(gòu)成等比數(shù)列．(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅲ)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有．【解析】(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，，(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，，,當(dāng)時(shí)，是公差的等差數(shù)列．構(gòu)成等比數(shù)列，，，解得,由(Ⅰ)可知，是首項(xiàng),公差的等差數(shù)列．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為．(Ⅲ)考點(diǎn)63錯(cuò)位相減法1．(2020全國(guó)Ⅲ理17)設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)計(jì)算SKIPIF1<0，猜想SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式并加以證明；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【思路導(dǎo)引】(1)利用遞推公式得出SKIPIF1<0，猜想得出SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；(2)由錯(cuò)位相減法求解即可．【解析】(1)由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…猜想SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0．證明如下：(數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，顯然成立；(1)假設(shè)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0成立；其中SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)故假設(shè)成立，綜上(1)(2)，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)解法一：令SKIPIF1<0，則前項(xiàng)和SKIPIF1<0(1)由(1)兩邊同乘以2得：SKIPIF1<0(2)由(1)SKIPIF1<0(2)的SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0．解法二：由(1)可知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②由①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．2．(2014新課標(biāo)I，文17)已知{SKIPIF1<0}是遞增的等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根。(=1\*ROMANI)求{SKIPIF1<0}的通項(xiàng)公式；(=2\*ROMANII)求數(shù)列{SKIPIF1<0}的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．【解析】(=1\*ROMANI)設(shè)數(shù)列{SKIPIF1<0}的公差為SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0兩根為2,3，由題得SKIPIF1<0=2，SKIPIF1<0=3，在SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴數(shù)列{SKIPIF1<0}的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．……6分(=2\*ROMANII)設(shè)數(shù)列{SKIPIF1<0}的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，由(=1\*ROMANI)知，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，②①-②得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．……12分3．(2015浙江)已知數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0滿足，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(Ⅰ)求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0；(Ⅱ)記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【解析】(Ⅰ)由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．4．(2013湖南)設(shè)為數(shù)列{}的前項(xiàng)和，已知，2，N(Ⅰ)求，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)求數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和．【解析】(Ⅰ)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0-SKIPIF1<0(Ⅱ)SKIPIF1<0SKIPIF1<0上式左右錯(cuò)位相減：SKIPIF1<0SKIPIF1<0。5．(2016年山東高考)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，是等差數(shù)列，且(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)令求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．【解析】(Ⅰ)因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0也成立，所以SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0是等差數(shù)列，設(shè)公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0．(Ⅱ)由SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，兩邊同乘以２，得SKIPIF1<0，兩式相減，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．6．(2015湖北)設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(Ⅰ)求數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，記SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】(Ⅰ)由題意有，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．(Ⅱ)由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0．②①-②可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0．7．(2013山東)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和,且(λ為常數(shù))，令(SKIPIF1<0)．求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，由，得，解得，，．因此．(Ⅱ)由題意知：所以時(shí)，故，所以，則兩式相減得整理得，所以數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．8．(2017山東)已知SKIPIF1<0是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(Ⅰ)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)如圖，在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，依次連接點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0得到折線SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0，求由該折線與直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所圍成的區(qū)域的面積．【解析】(Ⅰ)設(shè)數(shù)列的公比為SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0．由題意得，所以，因?yàn)镾KIPIF1<0,所以，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為(Ⅱ)過(guò)…，向軸作垂線，垂足分別為…，,由(Ⅰ)得記梯形的面積為．由題意，所以…+=…+①又…+②①SKIPIF1<0②得=所以9．(2017天津)已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(Ⅰ)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0．由已知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0①．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0②，聯(lián)立①②，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0．所以，數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0．(Ⅱ)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上述兩式相減，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．所以，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0．10．(2015湖北)設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(Ⅰ)求數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，記SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】(Ⅰ)由題意有，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．(Ⅱ)由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0．②①-②可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0．11．(2014四川)設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上(SKIPIF1<0)．(Ⅰ)若SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0；(Ⅱ)若SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線在SKIPIF1<0軸上的截距為SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】(Ⅰ)點(diǎn)SKIPIF1<0在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，所以SKIPIF1<0，又等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(Ⅱ)由SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0所以切線在SKIPIF1<0軸上的截距為SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．12．(2012浙江)已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0=，n∈N﹡，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(Ⅰ)求SKIPIF1<0；(Ⅱ)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】(Ⅰ)由SKIPIF1<0=，得當(dāng)SKIPIF1<0=1時(shí)，；當(dāng)SKIPIF1<02時(shí)，，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得，SKIPIF1<0．(Ⅱ)由(1)知，SKIPIF1<0所以，，，SKIPIF1<0．考點(diǎn)64并項(xiàng)法與倒序求和法1．(2011安徽)若數(shù)列的通項(xiàng)公式是SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0=A．15B．12C．－12D．－15【答案】A【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0．考點(diǎn)65數(shù)列綜合問(wèn)題1．(2017?新課標(biāo)Ⅰ，理12)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，SKIPIF1<0，其中第一項(xiàng)是SKIPIF1<0，接下來(lái)的兩項(xiàng)是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再接下來(lái)的三項(xiàng)是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)SKIPIF1<0且該數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．440 B．330 C．220 D．110【解析】設(shè)該數(shù)列為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由題意可設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可知當(dāng)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，即為SKIPIF1<0，容易得到SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0項(xiàng)，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0項(xiàng)符合題意．SKIPIF1<0項(xiàng)，仿上可知SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，顯然不為2的整數(shù)冪，故SKIPIF1<0項(xiàng)不符合題意．SKIPIF1<0項(xiàng)，仿上可知SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，顯然不為2的整數(shù)冪，故SKIPIF1<0項(xiàng)不符合題意．SKIPIF1<0項(xiàng)，仿上可知SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，顯然不為2的整數(shù)冪，故SKIPIF1<0項(xiàng)不符合題意．故選SKIPIF1<0．2．(2016?新課標(biāo)Ⅲ，理12)定義“規(guī)范01數(shù)列”SKIPIF1<0如下：SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0項(xiàng)，其中SKIPIF1<0項(xiàng)為0，SKIPIF1<0項(xiàng)為1，且對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，若SKIPIF1<0，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．18個(gè) B．16個(gè) C．14個(gè) D．12個(gè)【答案】C【解析】由題意可知，“規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項(xiàng)SKIPIF1<0項(xiàng)，且所含0與1的個(gè)數(shù)相等，首項(xiàng)為0，末項(xiàng)為1，若SKIPIF1<0，說(shuō)明數(shù)列有8項(xiàng)，滿足條件的數(shù)列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14個(gè)，故選SKIPIF1<0．3．(2013新課標(biāo)Ⅰ，理12)設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an,bn,cn，△AnBnCn的面積為Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝eq\f(cn＋an,2)，cn＋1＝eq\f(bn＋an,2)，則( )A．{Sn}為遞減數(shù)列 B。{Sn}為遞增數(shù)列QUOTE C．{S2n－1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列D．{S2n－1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列 【答案】B【解析】∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0+SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0(∵SKIPIF1<0)，∴SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，故選B．4．(2019浙江10)設(shè)a，b∈R，數(shù)列{an}中an=a，an+1=an2+b，,則A．當(dāng)b=時(shí)，a10＞10 B．當(dāng)b=時(shí)，a10＞10 C．當(dāng)b=-2時(shí)，a10＞10 D．當(dāng)b=-4時(shí)，a10＞10【答案】A【解析】對(duì)于B，令QUOTEx2-λ+14=0，得QUOTEλ=12，

取QUOTEa1=12，所以QUOTE∴a2=12,…,an=12<10，

所以QUOTE∴當(dāng)QUOTEb=14時(shí)，QUOTEa10<10，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，令QUOTEx2-λ-2=0，得QUOTEλ=2或QUOTEλ=-1，

取QUOTEa1=2，所以QUOTE∴a2=2，所以QUOTE∴當(dāng)QUOTEb=-2時(shí)，QUOTEa10<10，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，令QUOTEx2-λ-4=0，得QUOTEλ=1±172，取QUOTEa1=1+172，所以QUOTE∴a2=1+172，QUOTE……，QUOTEan=1+172<10，

所以當(dāng)QUOTEb=-4時(shí)，QUOTEa10<10，故D錯(cuò)誤；

對(duì)于A，QUOTEa2=a2+12≥12，QUOTEa3=(a2+12)2+12≥34，QUOTEa4=(a4+a2+34)2+12≥916+12=1716>1，

QUOTEan+1-an>0，QUOTE{an}遞增，當(dāng)QUOTEn≥4時(shí)，QUOTEan+1an=an+12an>1+12=32，所以QUOTE∴a5a4>32a4a5>32???a10a9>32，所以QUOTE∴a10a4>(32)6，所以QUOTE∴a10>72964>10.故A正確．故選A．5．(2015湖北)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若p：SKIPIF1<0成等比數(shù)列；q：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是