隨機(jī)過程第三章-泊松過程課件

第一節(jié)泊松過程的基本概念第三章泊松過程第一節(jié)泊松過程的基本概念第三章泊松過程1隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件2

定義3.1(計數(shù)過程)隨機(jī)過程稱為計數(shù)過程,如果表示t時刻為止,某一特定事件A發(fā)生的次數(shù).由定義,計數(shù)過程具有以下兩個特點:(1)取值為非負(fù)的整數(shù);(2)時,且表示時段內(nèi)事件A發(fā)生的次數(shù).如果在不相交的時間區(qū)間中發(fā)生的事件數(shù)是獨立的,則該計數(shù)過程有獨立增量.即到時刻t已發(fā)生的事件個數(shù)必須獨立于時刻t與t+s之間所發(fā)生的事件數(shù).這就意味著,與相互獨立.定義3.1(計數(shù)過程)隨機(jī)過程3

定義3.2(泊松過程)計數(shù)過程稱為參數(shù)為的泊松過程,如果:(1)(2)有獨立增量;(3)對任意的,有由條件(3)可知泊松過程有平穩(wěn)增量并且在任一長度為t的區(qū)間中事件的個數(shù)服從參數(shù)(均值)為的泊松分布.在實際過程中,條件(3)的驗證存在著一定的困難,為此我們給出泊松過程另一個等價定義.若在任一時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)的分布只依賴于時間區(qū)間的長度,則稱計數(shù)過程有平穩(wěn)增量.這就意味著此時與有相同的分布.定義3.2(泊松過程)計數(shù)過程4隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件5隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件6隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件7

定理3.1計數(shù)過程稱為泊松過程,參數(shù)為如果(1)(2)過程有平穩(wěn)與獨立增量;(3)(4)若是參數(shù)為的泊松過程,則有于是可以認(rèn)為是單位時間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù).稱為泊松過程的強(qiáng)度、風(fēng)險率或速率.定理3.1計數(shù)過程8隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件9隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件10例1例111隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件12

例2事件A的發(fā)生形成強(qiáng)度為的泊松過程.如果每次事件發(fā)生時以概率能夠記錄下來,并以表示到t時刻被記錄下來的事件總數(shù),證明是一個強(qiáng)度為的泊松過程.證滿足定義3.2中的前兩個條件是顯然的,下證它也滿足第三個條件.顯然,的可能取值為并且由全概率公式,有而若若例2事件A的發(fā)生形成強(qiáng)度為的泊松過程13由題意于是所以,是一個強(qiáng)度為的泊松過程.由題意于是所以,是一個強(qiáng)度為14第二節(jié)與泊松過程相聯(lián)系的若干分布預(yù)備知識(1)函數(shù)定義為:(2)有關(guān)函數(shù)的幾個重要公式:第二節(jié)與泊松過程相聯(lián)系的若干分布預(yù)備知識(1)函15(3)若隨機(jī)變量的概率密度為則稱服從參數(shù)為的分布,記為當(dāng)時,就是參數(shù)為的指數(shù)分布.(4)分布關(guān)于參數(shù)具有可加性.即若且與獨立,則(3)若隨機(jī)變量的概率密度為則稱服從參數(shù)16

引理設(shè)相互獨立且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則有(5)泊松過程的樣本軌跡是跳躍度為1的階梯函數(shù).記為第次事件發(fā)生的時刻,是第次與第次事件發(fā)生的時間間隔.一.和的分布

定理3.2服從參數(shù)為的指數(shù)分布,且相互獨立.引理設(shè)17證

當(dāng)時,有所以又即相互獨立且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布.重復(fù)以上的推導(dǎo)可證定理之結(jié)論.證當(dāng)時,有所以又即18隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件19

定理3.3

證由于故由定理3.2以及引理的結(jié)論馬上可得本定理之結(jié)論.注:1的概率密度為2.定理3.3證由于故由定理3.2以及20由定理3.2,我們給出泊松過程的另一個等價定義.

定義3.3設(shè)是計數(shù)過程,如果它的相繼到達(dá)時間間隔序列相互獨立且服從相同的指數(shù)分布,則稱為泊松過程.

定理3.2的直接推論設(shè)泊松過程的強(qiáng)度為,記為過程的到達(dá)間隔,則由定理3.2,我們給出泊松過程的另一個等價定義.定義21

引理(無后效性或無記憶性)設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則

證

引理(無后效性或無記憶性)設(shè)隨機(jī)變量22隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件23隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件24隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件25隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件26隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件27隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件28隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件29隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件30隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件31隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件32隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件33隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件34第三節(jié)泊松過程的推廣一、非齊次泊松過程

定義3.4計數(shù)過程稱為強(qiáng)度為的非齊次泊松過程,如果(1)(2)過程有獨立增量;(3)(4)令,則有如下的等價定義.第三節(jié)泊松過程的推廣一、非齊次泊松過程定義3.435

定義3.5計數(shù)過程稱為強(qiáng)度為的非齊次泊松過程,如果

(1)

(2)過程有獨立增量;

(3)對于任意的實數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布.

定理定義3.4與定義3.5是等價的.

證

只需證

證明過程將要用到母函數(shù)的概念,從略.定義3.5計數(shù)過程稱為強(qiáng)度為36隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件37隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件38隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件39隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件40

例3.7設(shè)某設(shè)備的使用期限是10年,在使用期限內(nèi),如果出現(xiàn)故障則需要維修.設(shè)出現(xiàn)故障的計數(shù)過程是一個非齊次的泊松過程,并且已知前5年它平均2.5年需要維修一次,后5年平均2年需要維修一次.求它在使用期內(nèi)只維修過一次的概率.

解由題意,強(qiáng)度函數(shù)為則在使用的期限(10年)內(nèi),故障發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布,故例3.7設(shè)某設(shè)備的使用期限是10年,在使用期限內(nèi),41隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件42隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件43隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件44隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件45二.復(fù)合泊松過程

定義3.6稱隨機(jī)過程為復(fù)合泊松過程,如果對于,它可以表示為如下形式其中是一個泊松過程,是一族獨立同分布的隨機(jī)變量,并且與獨立.二.復(fù)合泊松過程定義3.6稱隨機(jī)過程46

例3.3設(shè)進(jìn)入商店的顧客數(shù)可以用一個泊松過程來近似.第個顧客在商店購物支付的款數(shù)記作,并設(shè)相互獨立同分布,則在時段中商店的營業(yè)額是一個復(fù)合泊松過程.

例3.4設(shè)保險公司接到的索賠次數(shù)服從一個泊松過程,每次要求賠付的金額獨立同分布,則在任一時段內(nèi)保險公司需要賠付的總金額就是一個復(fù)合泊松過程.例3.3設(shè)進(jìn)入商店的顧客數(shù)可以用一個泊松過程來近似47

定理3.6設(shè)是一復(fù)合泊松過程,其中泊松過程的強(qiáng)度為,則(1)具有獨立增量;(2)若均存在,則證(1)令由于具有獨立增量性,故相互獨立,即具有獨立增量性.(2)

（2）的證明需要用到矩母函數(shù)（略）.定理3.6設(shè)48隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件49隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件50隨機(jī)過程第三章-泊松過程ppt課件51

例3.10在保險中的索賠模型中,設(shè)索賠要求以平均2次/月的速率的泊松過程到達(dá)保險公司.每次賠付為均值為10000元的正態(tài)分布,則一年中保險公司平均賠付額是多少?

解由題意,有,故所求的值為(元)例3.10在保險中的索賠模型中,設(shè)索賠要求以平均252三.條件泊松分布

在實際問題中,常常會出現(xiàn)這樣的情形,此時某些意外事件出現(xiàn)的頻率是不能預(yù)先確定的,往往是一個隨機(jī)變量,而當(dāng)頻率確定時,意外事件出現(xiàn)的規(guī)律就是一個泊松過程.這就是本節(jié)所要研究的條件泊松過程.

定義3.7設(shè)是具有分布的正值隨機(jī)變量,如果在給定的條件下,計數(shù)過程服從參數(shù)為的泊松過程,則稱是條件泊松過程.

由定義可知,如果是條件泊松過程,則有三.條件泊松分布在實際問題中,常常會出現(xiàn)這樣的情形,53

定理3.7設(shè)是條件泊松過程,且,則(1)(2)證(1)(2)定理3.7設(shè)是條件泊松過程,且54

例3.11設(shè)意外事故的發(fā)生頻率受某種未知因素影響有兩種可能,且為已知,并且已知到時刻已發(fā)生了次事故.(1)求下次事故在之前不會到來的概率;(2)發(fā)生的頻率是的概率.

解(1)所求的概率為例3.11設(shè)意外事故的發(fā)生頻率受某種未知因素影響有兩55以及以及56課堂練習(xí)習(xí)題1.通過某十字路口的車流是一泊松過程，設(shè)每分鐘內(nèi)沒有車輛通過的概率為0.2，求兩分鐘內(nèi)有多于一輛車通過的概率。習(xí)題2.在時間t內(nèi)向電話臺呼叫k次的概率為

如果任意兩相鄰的時間間隔內(nèi)的呼叫次數(shù)是相互獨立的，求在時間2t被呼叫n次的概率。習(xí)題3.設(shè)顧客到達(dá)商場的速率為2個/分鐘，求：（1）5分鐘內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的平均值；（2）5分鐘內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的方差；（3）5分鐘內(nèi)至少有一個顧客到達(dá)的概率。課堂練習(xí)習(xí)題1.通過某十字路口的車流是一泊松過程，設(shè)每分57習(xí)題4.設(shè)顧客到某商場的過程是泊松過程，已知平均每小時有30人到達(dá)，求下列事件的概率：兩個顧客相繼到達(dá)的時間間隔（1）超過2min；（2）少于4min；（3）在1~3min之間習(xí)題5.某商店從上午8時開始營業(yè)下午5時關(guān)門，平均顧客到達(dá)率滿足：從8時到1