山西省朔州市第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，則（）A．a(chǎn)＜c＜b B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“（，）”的過(guò)程中，由推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是（）A． B．C． D．3．如圖，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．4．三位女歌手和她們各自的指導(dǎo)老師合影，要求每位歌手與她們的老師站一起，這六人排成一排，則不同的排法數(shù)為（）A．24 B．48 C．60 D．965．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取4%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，206．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若橢圓離心率，則雙曲線的離心率（）A． B． C．3 D．47．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱,且，則直線與直線夾角的余弦值為（）A． B． C． D．8．已知曲線C：y＝，曲線C關(guān)于y軸的對(duì)稱曲線C′的方程是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝9．中，若，則該三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10．已知，的最小值為，則的最小值為（）A． B． C． D．11．若是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛數(shù)根，則（）A．， B．， C．， D．，12．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件“第一次取到的是偶數(shù)”，“第二次取到的是偶數(shù)”，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．駐馬店市某校高三年級(jí)學(xué)生一次數(shù)學(xué)診斷考試的成績(jī)(單位:分)服從正態(tài)分布,記為事件為事件,則__________.(結(jié)果用分?jǐn)?shù)示)附：；；.14．已知非零向量滿足，，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.15．在的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是__________．16．《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問(wèn)題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問(wèn)積幾何？答曰：二千一百一十二尺，術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，這里所說(shuō)的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是說(shuō)：圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長(zhǎng)的平方高），則由此可推得圓周率的取值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知中，，且.（1）求m；（2）求.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線交于兩點(diǎn).(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，的值.19．（12分）中國(guó)已經(jīng)成為全球最大的電商市場(chǎng)，但是實(shí)體店仍然是消費(fèi)者接觸商品和品牌的重要渠道.某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡介于10歲到60歲的消費(fèi)者200人，對(duì)他們的主要購(gòu)物方式進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.現(xiàn)對(duì)調(diào)查對(duì)象的年齡分布及主要購(gòu)物方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下圖表：主要購(gòu)物方式年齡階段網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)購(gòu)物實(shí)體店購(gòu)物總計(jì)40歲以下7540歲或40歲以上55總計(jì)（1）根據(jù)已知條件完成上述列聯(lián)表，并據(jù)此資料，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為消費(fèi)者主要的購(gòu)物方式與年齡有關(guān)？（2）用分層抽樣的方法從通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)購(gòu)物的消費(fèi)者中隨機(jī)抽取8人，然后再?gòu)倪@8名消費(fèi)者中抽取5名進(jìn)行答謝.設(shè)抽到的消費(fèi)者中40歲以下的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.臨界值表：20．（12分）盒子中放有大小形狀完全相同的個(gè)球，其中個(gè)紅球，個(gè)白球.（1）某人從這盒子中有放回地隨機(jī)抽取個(gè)球，求至少抽到個(gè)紅球的概率；（2）某人從這盒子中不放回地從隨機(jī)抽取個(gè)球，記每抽到個(gè)紅球得紅包獎(jiǎng)勵(lì)元，每抽到個(gè)白球得到紅包獎(jiǎng)勵(lì)元，求該人所得獎(jiǎng)勵(lì)的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)在曲線上，求面積的最大值．22．（10分）某蔬菜加工廠加工一種蔬菜，并對(duì)該蔬菜產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量評(píng)級(jí)，現(xiàn)對(duì)甲、乙兩臺(tái)機(jī)器所加工的蔬菜產(chǎn)品隨機(jī)抽取一部分進(jìn)行評(píng)級(jí)，結(jié)果（單位：件）如表1：（1）若規(guī)定等級(jí)為合格等級(jí)，等級(jí)為優(yōu)良等級(jí)，能否有的把握認(rèn)為“蔬菜產(chǎn)品加工質(zhì)量與機(jī)器有關(guān)”？（2）表2是用清水千克清洗該蔬菜千克后，該蔬菜上殘留的農(nóng)藥微克的統(tǒng)計(jì)表，若用解析式作為與的回歸方程，求出與的回歸方程.（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，.）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

∵a＝log54＜log55＝1，b＝（log53）2＜（log55）2＝1，c＝log45＞log44＝1，所以c最大單調(diào)增，所以又因?yàn)樗詁<a所以b<a<c.故選D．2、D【解析】

把用替換后兩者比較可知增加的式子．【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以由推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，掌握數(shù)學(xué)歸納法的概念是解題基礎(chǔ)．從到時(shí)，式子的變化是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵．3、B【解析】

由已知求得，代入，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】解：由圖可知，，，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

先將三位女歌手和她們各自的指導(dǎo)老師捆綁在一起，記為三個(gè)不同元素進(jìn)行全排，再將各自女歌手和她的指導(dǎo)老師進(jìn)行全排，運(yùn)算即可得解.【詳解】解：先將三位女歌手和她們各自的指導(dǎo)老師捆綁在一起，記為三個(gè)不同元素進(jìn)行全排，再將各自女歌手和她的指導(dǎo)老師進(jìn)行全排，則不同的排法數(shù)，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合中的相鄰問(wèn)題，重點(diǎn)考查了捆綁法，屬基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由扇形圖能得到總數(shù)，利用抽樣比較能求出樣本容量；由分層抽樣和條形圖能求出抽取的高中生近視人數(shù).【詳解】用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，樣本容量為：，抽取的高中生近視人數(shù)為：，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有扇形圖與條形圖的應(yīng)用，以及分層抽樣的性質(zhì)，注意對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的靈活應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題目.6、B【解析】

設(shè)，，由橢圓和雙曲線的定義，解方程可得，，再由余弦定理，可得，與的關(guān)系，結(jié)合離心率公式，可得，的關(guān)系，計(jì)算可得所求值．【詳解】設(shè)，，為第一象限的交點(diǎn)，由橢圓和雙曲線的定義可得，，解得，，在三角形中，，可得，即有，可得，即為，由，可得，故選．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，主要是離心率，考查解三角形的余弦定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．7、A【解析】

設(shè)CA＝2，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夾角公式得cos〈，〉＝8、A【解析】

設(shè)所求曲線上任意一點(diǎn)，由關(guān)于直線的對(duì)稱的點(diǎn)在已知曲線上，然后代入已知曲線，即可求解．【詳解】設(shè)所求曲線上任意一點(diǎn)，則關(guān)于直線的對(duì)稱的點(diǎn)在已知曲線，所以，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知曲線關(guān)于直線的對(duì)稱的曲線方程的求解，其步驟是：在所求曲線上任取一點(diǎn)，求得其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，代入已知曲線求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．9、D【解析】

利用余弦定理角化邊后，經(jīng)過(guò)因式分解變形化簡(jiǎn)可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以三角形是等腰三角形或直角三角?故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了利用余弦定理角化邊，考查了利用余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

如圖所示：在直角坐標(biāo)系中，取點(diǎn)，，，得到的軌跡方程為，故，得到答案.【詳解】如圖所示：在直角坐標(biāo)系中，取點(diǎn)，，，則，，滿足，設(shè)，過(guò)點(diǎn)作垂直于所在的直線與，則的最小值為，即，根據(jù)拋物線的定義知的軌跡方程為：.取，故，即，當(dāng)垂直于準(zhǔn)線時(shí)等號(hào)成立.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量和拋物線的綜合應(yīng)用，根據(jù)拋物線的定義得到的軌跡方程是解題的關(guān)鍵.11、D【解析】

利用實(shí)系數(shù)一元二次的虛根成對(duì)原理、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．【詳解】解：∵1i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+bx+c＝0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，∴1i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+bx+c＝0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，∴，解得b＝﹣2，c＝1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)系數(shù)一元二次的虛根成對(duì)原理、根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解析】分析：事件A發(fā)生后，只剩下8個(gè)數(shù)字，其中只有3個(gè)偶數(shù)字，由古典概型概率公式可得．詳解：在事件A發(fā)生后，只有8個(gè)數(shù)字，其中只有3個(gè)偶數(shù)字，∴．故選B．點(diǎn)睛：本題考查條件概率，由于是不放回取數(shù)，因此事件A的發(fā)生對(duì)B的概率有影響，可考慮事件A發(fā)生后基本事件的個(gè)數(shù)與事件B發(fā)生時(shí)事件的個(gè)數(shù)，從而計(jì)算概率．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：利用條件概率公式，即可得出結(jié)論.詳解：由題意，，.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查條件概率，考查正態(tài)分布，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.14、【解析】

由已知，根據(jù)垂直向量的關(guān)系和向量的數(shù)量積公式，建立關(guān)于的方程，即可求解.【詳解】由，又由，得.，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直、向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15、14【解析】，令，則展開(kāi)式中得常數(shù)項(xiàng)為.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式中的指定項(xiàng).根據(jù)通項(xiàng)公式,根據(jù)所求項(xiàng)的要求，解出，再給出所求答案.16、3【解析】

根據(jù)圓堡瑽（圓柱體）的體積為（底面圓的周長(zhǎng)的平方高）,可得,進(jìn)而可求出的值【詳解】解:設(shè)圓柱底面圓的半徑為,圓柱的高為,由題意知,解得.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的體積公式.只要能看懂題目意思,結(jié)合方程的思想即可求出結(jié)果.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）29524【解析】

（1）由二項(xiàng)式定理求出第4項(xiàng)和第7項(xiàng)的系數(shù)，代入已知可得；（2）令得所有項(xiàng)系數(shù)和，令得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和的差，兩者結(jié)合后可得偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和，是常數(shù)項(xiàng)易求，從而可得，【詳解】（1）因?yàn)?，，依題意得：，因?yàn)?，所以，?（2）令得：.①令得：.②由①②得：，即.又，所以【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和賦值法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.18、(1)，.(2).【解析】分析：(1)先根據(jù)加減消元法得直線的普通方程，再根據(jù)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）先求P直角坐標(biāo)，再設(shè)直線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式，代入曲線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義以及利用韋達(dá)定理得結(jié)果.詳解：(1)的普通方程為:；又,即曲線的直角坐標(biāo)方程為:(2)解法一:在直線上,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程得，即,.解法二:，，，．點(diǎn)睛：直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負(fù)、可為0)若M1，M2是l上的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則(1)M1，M2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若線段M1M2的中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，則t＝，中點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離|MM0|＝|t|＝.(4)若M0為線段M1M2的中點(diǎn)，則t1＋t2＝0.19、（1）可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為消費(fèi)者主要的購(gòu)物方式與年齡有關(guān)；（2）見(jiàn)解析【解析】

(1)先由頻率分布直方圖得到列聯(lián)表，再根據(jù)公式計(jì)算得到卡方值，進(jìn)而作出判斷；（2）消費(fèi)者中40歲以下的人數(shù)為，可能取值為3，4，5，求出相應(yīng)的概率值，再得到分布列和期望.【詳解】（1）根據(jù)直方圖可知40歲以下的消費(fèi)者共有人，40或40歲以上的消費(fèi)者有80人，故根據(jù)數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表如下：主要購(gòu)物方式年齡階段網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)購(gòu)物實(shí)體店購(gòu)物總計(jì)40歲以下754512040歲或40歲以上255580總計(jì)100100200依題意，的觀測(cè)值故可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為消費(fèi)者主要的購(gòu)物方式與年齡有關(guān).（2）從通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)購(gòu)物的消費(fèi)者中隨機(jī)抽取8人，其中40歲以下的有6人，40歲或40歲以上的有2人，從這8名消費(fèi)者抽取5名進(jìn)行答謝，設(shè)抽到的消費(fèi)者中40歲以下的人數(shù)為，則的可能取值為3，4，5且，，，則的分布列為：345故的數(shù)學(xué)期望為3.75.【點(diǎn)睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫(xiě)分布列”，即按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見(jiàn)的典型分布則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式求得.20、（1）；（2）42元.【解析】

（1）分為三種情況，即抽到個(gè)紅球，抽到個(gè)紅球和抽到個(gè)紅球，概率相加得到答案.（2）隨機(jī)變量可能的取值為，計(jì)算每個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)概率，得到分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】(1)記至少抽到個(gè)紅球的事件為,法1：至少抽到個(gè)紅球的事件，分為三種情況，即抽到個(gè)紅球，抽到個(gè)紅球和抽到個(gè)紅球，每次是否取得紅球是相互獨(dú)立的，且每次取到紅球的概率均為，所以，答：至少抽到個(gè)紅球的概率為.法2：至少抽到個(gè)紅球的事件的對(duì)立事件為次均沒(méi)有取到紅球（或次均取到白球），每