2023學年九年級數學上冊重要考點題精講精練(人教版) 切線的判定與性質及切線長定理（10大題型）（原卷版）

切線的判定與性質及切線長定理（原卷）切線的判定定理

經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.注意：切線的判定方法：（1）定義：直線和圓有唯一公共點時，這條直線就是圓的切線；（2）定理：和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（3）判定定理：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.（切線的判定定理中強調兩點：一是直線與圓有一個交點，二是直線與過交點的半徑垂直，缺一不可）.題型1：切線的判定-連半徑證垂直1.如圖，AB為⊙O的直徑，AC平分∠BAD交⊙O于點C，CD⊥AD，垂足為點D．求證：CD【變式1-1】如圖，在⊙O中，AB為直徑，BP為⊙O的弦，AC與BP的延長線交于點C，且AB=AC，PE⊥AC于點E，求證：PE【變式1-2】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD.求證：CD是題型2：切線的判定-作垂直證半徑2.ΔABC為等腰三角形，O為底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切于點D．求證：AC是⊙O的切線．【變式2-1】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分線交BC于D，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D．求證：AC與⊙D相切.【變式2-2】如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，弧AC＝12弧BC，經過點C與⊙O相切的直線CE交BA的延長線于點D，連接BC，過點D作DF∥BC．求證：DF是⊙O的切線．題型3：切線的判定多選項問題3.下列說法中，不正確的是（）A．與圓只有一個交點的直線是圓的切線B．經過半徑的外端，且垂直于這條半徑的直線是圓的切線C．與圓心的距離等于這個圓的半徑的直線是圓的切線D．垂直于半徑的直線是圓的切線【變式3-1】下列命題中：①相等的圓心角所對的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③垂直于半徑的直線是圓的切線；④E，F是∠AOB的兩邊OA，OB上的兩點，則不同的E，O，F三點確定一個圓：其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個【變式3-2】如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝AC，AC交⊙O于點E，BC交⊙O于點D，F為CE的中點，連接DF.給出以下五個結論：①BD＝DC；②AD＝2DF；③BD=DE；④DF是⊙O的切線.A．4 B．3 C．2 D．1切線的性質定理：

圓的切線垂直于過切點的半徑.注意：切線的性質：（1）切線和圓只有一個公共點；（2）切線和圓心的距離等于圓的半徑；（3）切線垂直于過切點的半徑；（4）經過圓心垂直于切線的直線必過切點；（5）經過切點垂直于切線的直線必過圓心.題型4：切線的性質-求長度4.如圖，⊙C與∠AOB的兩邊分別相切，其中OA邊與⊙C相切于點P．若∠AOB=90°，OPA．8 B．162 C．42 D【變式4-1】如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，DC切⊙O于點C．若∠D=30°，A．6 B．4 C．23 D．【變式4-2】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，點O在AB上，OB=2，以OB為半徑的⊙O與AC相切于點D，交BC于點E，求弦BE的長．題型5：切線的性質-求角度5.如圖，AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，PB交⊙O于點C，點D在⊙O上，若∠ADC＝40°，則∠P的度數是（）A．35° B．40° C．45° D．50°【變式5-1】如圖，已知PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，C為⊙O上一點．若∠P=70°，求【變式5-2】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦過點C的切線交AB的延長線于點D，若CA=CD，試求題型6：切線的性質-求半徑6.如圖，在Rt中，∠A=90°，點O在AC上，⊙O切BC于點E，A在⊙O上，若AB=5，AC=12，求⊙O的半徑．【變式6-1】如圖，BE是⊙O的直徑，點A和點D是⊙O上的兩點，過點A作⊙O的切線交BE延長線于點C．（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度數；（2）若AC＝23，CE＝2，求⊙O半徑的長．【變式6-2】如圖，O為正方形ABCD對角線上一點，以O為圓心，OA的長為半徑的⊙O與CD相切于點M，（1）求證：BC與⊙O相切；（2）若正方形的邊長為1，求⊙O的半徑.切線長定理

切線長：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.

切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.圓外切四邊形的性質：圓外切四邊形的兩組對邊之和相等.注意：

切線長是指圓外一點和切點之間的線段的長，不是“切線的長”的簡稱.切線是直線，而非線段；切線長定理包含兩個結論：線段相等和角相等.題型7：切線長定理-求周長7.如圖，△ABC是一張周長為18cm的三角形紙片，⊙O是它的內切圓，小明準備用剪刀在⊙O的右側沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，若剪下的三角形的周長為8cm，則BC為（）A．8cm B．5cm C．6.5cm D．無法確定【變式7-1】如圖，PA、PB分別切⊙O于點A、B，且PA＝8，CD切⊙O于點E，交PA、PB于C、D兩點，則△PCD的周長為（）A．32 B．24 C．16 D．8【變式7-2】如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O與△ABC的三邊相切于點D、E、F，若⊙O的半徑為2，則△ABC的周長為（）A．14 B．20 C．24 D．30三角形的內切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓.

三角形的內心：三角形內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心.注意：

(1)任何一個三角形都有且只有一個內切圓，但任意一個圓都有無數個外切三角形；

(2)解決三角形內心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內切圓半徑乘積的一半，即S=12Cr(S為三角形的面積，C為三角形的周長，r為內切圓的半徑題型8：三角形的內切圓-求半徑8.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，⊙O是A．1 B．3 C．2 D．2【變式8-1】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，則其內切圓半徑為（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式8-2】若方程x2-7x+12=0的兩個根分別是直角三角形兩直角邊的長，則這個直角三角形的內切圓半徑為.題型9：三角形的內切圓-求面積9.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的內切圓，三個切點分別為D、E、F，若BF＝2，AF＝3，則△ABC的面積是．【變式9-1】一直角三角形的斜邊長為c，其內切圓半徑是r，則三角形面積與其內切圓的面積之比是（）A．c+2rπr B．c+rπr C【變式9-2】正三角形外接圓面積是64πcm2A．32πcm2 B．8πcm2 C題型10：三角形的內切圓-求角度10.已知⊙O是△ABC的內切圓，且∠ABC=50°，∠A．125° B．120° C．115° D．110°【變式10-1】如圖，點I是△ABC的內心，點O是△ABC的外心，若∠BOA=140°，則∠BIA的度數是（）A．100° B．120° C．125° D．135°【變式10-2】如圖，△ABC的內切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點D，E，A．50° B．100° C．90° D．80°一、單選題1．已知⊙O的半徑為4，點O到直線m的距離為d，若直線m與⊙O公共點的個數為2個，則d可取（）A．5 B．4.5 C．4 D．02．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C為圓心r為半徑畫⊙C，使⊙C與線段AB有且只有兩個公共點，則r的取值范圍是（）A．6≤r≤8 B．6≤r＜8 C．245＜r≤6 D．2453．如圖所示，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，CA，CD是⊙O的切線，A，D為切點，連接BD，AD．若∠ACD=30°，則∠DBA的大小是（）A．15° B．30° C．60° D．75°4．在平面直角坐標系中，以點(-1，2)為圓心，1為半徑的圓必與()A．x軸相交 B．y軸相交 C．x軸相切 D．y軸相切5．如圖，過⊙O外一點P引⊙O的兩條切線PA、PB，切點分別是A、B，OP交⊙O于點C，點D是ABC上不與點A、點C重合的一個動點，連接AD、CD，若∠APB=80°，則∠ADC的度數是（）A．15° B．20° C．25° D．30°6．已知Rt△ACB，∠ACB=90°，I為內心，CI交AB于D，BD=157，AD=207，則S△ACBA．12 B．6 C．3 D．7.57．如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，點C在⊙O上，如果∠P＝50°，那么∠ACB等于（）A．40° B．50° C．65° D．130°二、填空題8．已知在直角坐標平面內，以點P（﹣3，4）為圓心，r為半徑畫圓，⊙P與坐標軸恰好有三個交點，那么r的取值是．9．如圖，△ABC內接于圓，點D是AC上一點，將∠A沿BD翻折，點A正好落在圓上點E處.若∠C=50°，則∠ABE的度數為.10．如圖，∠O=30°，C為OB上一點，且OC=6，以點C為圓心，半徑為22的圓與直線OA的位置關系是．11．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O外一點，過C作⊙O的切線，切點為B，連接AC交⊙O于點D，∠C＝42°．點E在AB右側的半圓周上運動（不與A，B重合），則∠AED的度數為．三、解答題12．在△ABC中，∠C=90°，以邊AB上一點O為圓心，OA為半徑的圈與BC相切于點D，分別交AB，AC（1）如圖①，連接AD，若∠CAD=25°（2）如圖②，若點F為AD的中點，⊙O的半徑為2，求AB的長．13．已知PA、PB、DE是⊙O的切線，切點分別為A、B、F，PO=13cm，⊙O的半徑為5cm，求△PDE的周長．?14．如圖，已知A