概率論§24-隨機(jī)變量函數(shù)的分布課件

§2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布

在實(shí)際應(yīng)用中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣。求截面面積A=

的分布例如，已知圓軸截面直徑d的分布，1§2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布在實(shí)際應(yīng)用中，人們常常對(duì)方法：將與Y

有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成X

的事件問(wèn)題：設(shè)隨機(jī)變量X

的分布已知，Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由X

的分布求出Y

的分布？2方法：將與Y有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成X的事件問(wèn)題：設(shè)隨機(jī)變量X求:(1)Y=3X+2的分布律

(2)Y=(X1)2的分布律

例1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為

X

1012

P

0.20.30.10.4

離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

3求:(1)Y=3X+2的分布律例1設(shè)離散型隨機(jī)變量解:(1)

X分別取值1,0,1,2時(shí)

Y相應(yīng)的取值互不相同:

1,2,5,8

故

P(Y=1)=P(X=-1)=0.2P(Y=2)=P(X=0)=0.3P(Y=5)=P(X=1)=0.1P(Y=8)=P(X=2)=0.4即Y的分布律為:Y

1258P

0.20.30.10.4

4解:(1)X分別取值1,0,1,2時(shí)Y相應(yīng)的取值(2)Y的所有取值:0,1,4

P(Y=0)=P(X=1)=0.1P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.3+0.4=0.7P(Y=4)=P(X=1)=0.2即Y的分布律為:Y

014P0.10.70.25(2)Y的所有取值:0,1,4P(Y=0)=P(X

一般,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為:

P(X=xk)=pk(k=1,2,…)

令

Y=g(X)是一元單值實(shí)函數(shù),則Y也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量:離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布一般求法6一般,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布即Y=g(X)如果g(xk)中有一些是相同的，那么把這些相同的項(xiàng)合并（看作是一項(xiàng)），并把相應(yīng)的概率相加，即可得隨機(jī)變量Y=g(X)的分布律。7即Y=g(X)如果g(xk)中有一些是相同連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)(或分布函數(shù))求Y=g(X)的密度函數(shù)或分布函數(shù)。方法：I從分布函數(shù)出發(fā)(分布函數(shù)求導(dǎo)法)II從密度函數(shù)出發(fā)(用公式)8連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f例2設(shè)X～N(0,1),試求Y=eX的概率密度

解:(1)y<0(2)y≥0

FY(y)=P(Y≤y)=P(eX≤y)FY(y)=P()=0fY(y)=FY(y)=0FY(y)=P(X≤lny)9例2設(shè)X～N(0,1),試求Y=eX的概率密度本例用到變限的定積分的求導(dǎo)公式:10本例用到變限的定積分的求導(dǎo)公式:10例3設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為fX(x),試求X的線性函數(shù)Y=aX+b(a≠0)的概率密度解:(1)

a>0,得:FY(y)=P(Y≤y)=P(aX+b≤y)11例3設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度解:(1)a>0(2)

a<0

令

即12(2)a<0令即12應(yīng)用：設(shè)X~N(,2)，Y=aX+b,則Y~N(a+b,a22)特別地，若X~N(,2)則有13應(yīng)用：設(shè)X~N(,2)，Y=aX+b,方法II（用公式）定理

設(shè)X

是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為fX(x).若y=g(x)為一嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)x=h(y)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則Y=g(X)也是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，且概率密度為其中=min{g(),g(+)},=max{g(),g(+)}14方法II（用公式）定理設(shè)X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概其反函數(shù)為x=h(y)=lny.

注：當(dāng)fX(x)在有限區(qū)間[a,b]之外取值為零時(shí),只需假設(shè)在[a,b]上g(x)嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo),則上述定理同樣成立,此時(shí)

=min{g(a),g(b)}

=max{g(a),g(b)}另解例2:y=g(x)=ex

嚴(yán)格單調(diào)增且可導(dǎo),15其反函數(shù)為x=h(y)=lny.注：當(dāng)fX(x則

即

16則即16解I：設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y)例4設(shè)X

~求Y=2X+8的概率密度.FY(y)=P{Y≤y}=P(2X+8≤

y)=P{X

}=FX()于是Y的密度函數(shù)17解I：設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y)例4設(shè)X~求Y=所以可得注意到0<x<4

時(shí)，

即8<y<16

此時(shí)18所以可得注意到0<x<4時(shí)，即8<y解II：Y=2X+8嚴(yán)格單調(diào)遞增且可導(dǎo)

19解II：Y=2X+8嚴(yán)格單調(diào)遞增且可導(dǎo)19例5設(shè)X～N(0,1),求Y=X2的概率密度

解I:y=x2在(,+)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)

(1)y≤0

(2)y>0

FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)FY(y)=P(X2≤y)=0fY(y)=020例5設(shè)X～N(0,1),求Y=X2的概率密度解I即

21即21解II:

y=x2

在(,0]上嚴(yán)格單調(diào)減在(0,+)上嚴(yán)格單調(diào)增

反函數(shù)反函數(shù)(,+)=(,0]∪(0,+)x(,0]時(shí),x(0,+)時(shí),22解II:y=x2在(,0]上嚴(yán)格單調(diào)減反函數(shù)反函得:

fY(y)

23得:fY(y)23定理若g(x)在不相重疊的區(qū)間I1,I2,…上逐段嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)分別為h1(y),h2(y),…均為連續(xù)函數(shù)，那么Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為:

fY(y)=fX[h1(y)]|h1(y)|+fX[h2(y)]|h2(y)|+…推廣形式24定理若g(x)在不相重疊的區(qū)間I1,I2,…上逐段嚴(yán)格單調(diào)小結(jié)1引進(jìn)了隨機(jī)變量的概念，要會(huì)用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件。2給出了分布函數(shù)的定義及性質(zhì)，要會(huì)利用分布函數(shù)求事件的概率。3給出了離散型隨機(jī)變量及其分布律的定義、性質(zhì)