工業(yè)系統(tǒng)工程層次分析

工業(yè)系統(tǒng)工程層次分析第1頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月一問題的提出例1購物買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實用性、價格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。買飯，則要依據(jù)色、香、味、價格等方面的因素選擇某種飯菜。決策是指在面臨多種方案時需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。第2頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

假期旅游，是去風(fēng)光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會依據(jù)景色、費用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個地方。例2旅游例3擇業(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素?fù)駱I(yè)。第3頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月由于經(jīng)費等因素，有時不能同時開展幾個課題，一般依據(jù)課題的可行性、應(yīng)用價值、理論價值、被培養(yǎng)人才等因素進(jìn)行選題。

面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評價、最后作出決策。這個過程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用數(shù)學(xué)方法解決問題帶來不便。T.L.saaty等人在20世紀(jì)七十年代提出了一種能有效處理這類問題的實用方法。例4科研課題的選擇第4頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月

層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。

過去研究自然和社會現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng)計分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。第5頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月層次分析法的基本思路：與人們對某一復(fù)雜決策問題的思維、判斷過程大體一致。選擇鋼筆質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用進(jìn)行排序?qū)⒏鱾€鋼筆的質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用進(jìn)行排序經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆第6頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月二層次分析法的基本步驟買鋼筆質(zhì)量顏色價格外形實用可供選擇的筆建立層次結(jié)構(gòu)模型一般分為三層，最上面為目標(biāo)層，最下面為方案層，中間是準(zhǔn)則層(指標(biāo)層)。準(zhǔn)則層方案層目標(biāo)層第7頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例2層次結(jié)構(gòu)模型準(zhǔn)則層A方案層B目標(biāo)層Z若上層的每個因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，稱為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱為不完全層次結(jié)構(gòu)。景色費用居住飲食旅途杭州蘇州桂林選擇旅游地第8頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)某層有n個因素，,要比較它們對上一層某一準(zhǔn)則（或目標(biāo)）的影響程度，確定在該層中相對于某一準(zhǔn)則所占的比重。（即把n個因素對上層某一目標(biāo)的影響程度排序）2構(gòu)造成對比較矩陣用aij表示第i個因素相對于第j個因素的比較結(jié)果，則A則稱為成對比較矩陣。上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較，比較時取1~9尺度。第9頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月１３５７９尺度第i個因素與第j個因素的影響相同第i個因素比第j個因素的影響稍強(qiáng)第i個因素比第j個因素的影響強(qiáng)第i個因素比第j個因素的影響明顯強(qiáng)第i個因素比第j個因素的影響絕對地強(qiáng)含義比較尺度：（1~9尺度的含義）2,4,6,8表示第i個因素相對于第j個因素的影響介于上述兩個相鄰等級之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義，根據(jù)。第10頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月由上述定義知，成對比較矩陣則稱為正互反陣。比如，例2的旅游問題中，第二層A的各因素對目標(biāo)層Z的影響兩兩比較結(jié)果如下：滿足以下性質(zhì)ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。第11頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月由上表，可得成對比較矩陣旅游問題的成對比較矩陣共有6個（一個5階，5個3階）。問題：兩兩進(jìn)行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對上層某因素的影響程度的排序結(jié)果呢？第12頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月3層次單排序及一致性檢驗層次單排序：確定下層各因素對上層某因素影響程度的過程。用權(quán)值表示影響程度，先從一個簡單的例子看如何確定權(quán)值。例如:一塊石頭重量記為1，打碎分成n小塊，各塊的重量分別記為：則可得成對比較矩陣由右面矩陣可以看出，第13頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月即，但在例2的成對比較矩陣中，在正互反矩陣A中，若aik·akj=aij,則稱A為一致陣。一致陣的性質(zhì)：5.A的任一列(行)都是對應(yīng)于特征根n的特征向量。第14頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月若成對比較矩陣是一致陣，則我們自然會取對應(yīng)于最大特征根n的歸一化特征向量{w1,w2,…,wn}，且定理：n階互反陣A的最大特征根，當(dāng)且僅當(dāng)時，A為一致陣。wi表示下層第i個因素對上層某因素影響程度的權(quán)值。若成對比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大特征根對應(yīng)的歸一化特征向量作為權(quán)向量W，則這樣確定權(quán)向量的方法稱為特征根法.第15頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月由于連續(xù)的依賴于aij，則比n大得越多，A的不一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對應(yīng)的特征向量作為被比較因素對上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用數(shù)值的大小來衡量A的不一致程度。定義一致性指標(biāo)其中n為A的對角線元素之和，也為A的特征根之和。第16頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月則可得一致性指標(biāo)定義隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)構(gòu)造500個成對比較矩陣隨機(jī)一致性指標(biāo)RI的數(shù)值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51第17頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月一致性檢驗：利用一致性指標(biāo)和一致性比率<0.1及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對A進(jìn)行檢驗的過程。一般，當(dāng)一致性比率的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對比較矩陣，對A加以調(diào)整。時，認(rèn)為A第18頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月4層次總排序及其一致性檢驗

確定某層所有因素對于總目標(biāo)相對重要性的排序權(quán)值過程，稱為層次總排序

從最高層到最低層逐層進(jìn)行。設(shè)：對總目標(biāo)Z的排序為的層次單排序為第19頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月即B層第i個因素對總目標(biāo)的權(quán)值為：B層的層次總排序為：B層的層次總排序AB第20頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月層次總排序的一致性檢驗設(shè)B層B1,B2,…,Bn對上層(A層)中因素Aj(j=1,2,3…,m)的層次單排序一致性指標(biāo)為CIj，隨機(jī)一致性指為RIj，則層次總排序的一致性比率為：當(dāng)CR＜0.1時，認(rèn)為層次總排序通過一致性檢驗。到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。第21頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月1.建立層次結(jié)構(gòu)模型該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。層次分析法的基本步驟歸納如下3.計算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗2.構(gòu)造成對比較矩陣從第二層開始用成對比較矩陣和1~9尺度。對每個成對比較矩陣計算最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過，需要重新構(gòu)造成對比較矩陣。第22頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月計算最下層對最上層總排序的權(quán)向量。4.計算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗進(jìn)行檢驗。若通過，則可按照總排序權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對比較矩陣。利用總排序一致性比率第23頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月層次分析法建模舉例

一、旅游問題

(1)建模分別分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。第24頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）構(gòu)造成對比較矩陣第25頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)計算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗成對比較矩陣A的最大特征值表明A通過了一致性驗證。故則該特征值對應(yīng)的歸一化特征向量第26頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月對成對比較矩陣B1,B2,B3,B4,B5,可以求層次總排序的權(quán)向量并進(jìn)行一致性檢驗，結(jié)果如下：計算CRk,可知B1,B2,B3,B4,B5,通過一致性檢驗。第27頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月B1對總目標(biāo)的權(quán)值為：（4）計算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗又決策層對總目標(biāo)的權(quán)向量為：{0.3,0.246,0.456}同理得，B2,B3對總目標(biāo)的權(quán)值分別為：0.246,0.456故，層次總排序通過一致性檢驗。第28頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月{0.3,0.246,0.456}可作為最后的決策依據(jù)。又B1,B2,B3分別表示蘇杭、北戴河、桂林，故最后的決策應(yīng)為去桂林。即各方案的權(quán)重排序為B3＞B1＞B2第29頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月層次分析法AnalyticHierarchyProcessAHPT.L.saaty第30頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月1.建立層次結(jié)構(gòu)模型該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。層次分析法的基本步驟歸納如下3.計算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗2.構(gòu)造成對比較矩陣從第二層開始用1~9尺度構(gòu)造成對比較矩陣。4.計算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗求最大特征對應(yīng)的歸一化特征向量，做一致性比率檢驗。利用層次單排序，計算層次總排序，并做一致性檢驗。第31頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月某工廠有一筆企業(yè)留成利潤，要由領(lǐng)導(dǎo)決定如何利用?？晒┻x擇的方案有：以獎金名義發(fā)給職工；擴(kuò)建集體福利設(shè)施；購進(jìn)新設(shè)備等。為了進(jìn)一步促進(jìn)企業(yè)發(fā)展，比如調(diào)動職工的積極性、提高企業(yè)的技術(shù)水平、引進(jìn)新設(shè)備等。如何合理使用這筆利潤。2合理分配資金問題

第32頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月合理分配資金問題層次結(jié)構(gòu)模型合理利用企業(yè)利潤Z調(diào)動職工的積極性C1提高企業(yè)的技術(shù)水平C2改善職工的生活條件C3

發(fā)獎金P1

擴(kuò)建福利事業(yè)P2

引進(jìn)新設(shè)備P3

第33頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月2求解Z-C矩陣ZC1C2C3WC1C2C311/51/351331/310.1050.6370.258CIRICR3.0380.0190.580.0033<0.1OK第34頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月C-P矩陣C1P1P2

WP1P2131/310.750.25CI1RI200OKC2P2P3

WP2P311/5510.1670.833CI2RI200OK{0.75,0.25,0}{0,0.167,0.833}第35頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月C3P1P2

WP1P2121/210.6670.333CI3RI200OK{0.667,0.333,0}第36頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Z-P矩陣ZPC1C2C30.1050.6370.258總排序權(quán)值P1P2P30.7500.6670.250.1670.33300.83300.2510.2180.531CIRICR0.105CI1+0.637CI2+0.258CI3=000<0.1OK{0.251,0.218,0.531}P3>P1>P2第37頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月1系統(tǒng)性

層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。2實用性層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實際問題，應(yīng)用范圍很廣，同時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性。四層次分析法的優(yōu)點和局限性第38頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月3簡潔性具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，計算也非常簡便，并且所得結(jié)果簡單明確，容易被決策者了解和掌握。以上三點體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點，該法的局限性主要表現(xiàn)在以下幾個方面：第一只能從原有的方案中優(yōu)選一個出來，沒有辦法得出更好的新方案。第39頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第二該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計算過程都是粗糙的，不適用于精度較高的問題。第三從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人主觀因素對整個過程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓所有的決策者接受。當(dāng)然采取專家群體判斷的辦法是克服這個缺點的一種途徑。第40頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月正互反陣的最大特征值是大與零的嗎？有幾個？它對應(yīng)的特征向量各分量是正的嗎？五正互反陣最大特征值和特征向量實用算法

成對比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的結(jié)果，對它的精確計算是沒有必要的。尋找簡便的近似方法。用定義計算矩陣的特征值和特征向量相當(dāng)困難，特別是階數(shù)較高時。第41頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月定理對于正矩陣A（A的所有元素為正）1）A的最大特征根為正單根；2）對應(yīng)正特征向量w（w的所有分量為正）；3）其中是對應(yīng)的歸一化特征向量。第42頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月1冪法步驟如下a)任取n維歸一化初始向量b)計算c)歸一化，即令第43頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月d)對于預(yù)先給定的精度，當(dāng)下式成立時即為所求的特征向量；否則返回b；e)計算最大特征值這是求特征根對應(yīng)特征向量的迭代方法，其收斂性由定理的3）保證。第44頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月2和法步驟如下a)將A的每一列向量歸一化得b)對c)歸一化按行求和得d)計算第45頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月3根法步驟與和法基本相同，只是將步驟b改為對按行求積并開n次方，即三方法中，和法最為簡便?？聪铝欣印)計算，最大特征值的近似值。第46頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月列向量歸一化求和歸一化精確計算，得第47頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月六遞階層次結(jié)構(gòu)與更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)以上層次結(jié)構(gòu)模型有兩個共同特點：模型所涉及的各因素可以組合為屬性基本相同的若干層次，層次內(nèi)部因素之間不存在相互影響或支配作用，或者這種影響作用可以忽略。層次之間存在自上而下、逐層傳遞的支配關(guān)系，沒有下層對上層的反饋作用，或?qū)哟伍g的循環(huán)作用。遞階層次結(jié)構(gòu)第48頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)層次內(nèi)部因素之間存在相互影響。下層對上層有支配作用，形成循環(huán)，無法區(qū)分上下層。既在層次內(nèi)部因素之間存在相互影響，，又在層次間存在反饋作用。要用層次分析法解決這樣的問題，還需引入新概念，并建立相應(yīng)的算法。思考第49頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月?lián)駱I(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，也可直接選擇考研，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素?fù)駱I(yè)。用層次分析法，選擇適合自己的理想工作。課堂練習(xí)：第50頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月補(bǔ)充：特征值與特征向量定義：成立，則稱數(shù)為方陣的特征值（根），非零列向量稱為屬于特征值的特征向量。特征值滿足的條件：齊次線性方程組齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是第51頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月A的特征方程A的特征多項式記為表示的n次多項式，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個解，即有n個特征值。設(shè)A的特征值為則第52頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月特征值和特征向量的計算方法給定矩陣先求其特征值，即解特征方程再求對應(yīng)于各特征值的特征向量，即解線性齊次方程組的非零解。（注：若為實數(shù)，則為實向量，若為復(fù)數(shù)，則為復(fù)向量）第53頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2對于正矩陣A(A的所有元素為正)，1）A的最大特征值是正單根；2）最大特征值對應(yīng)有特征向量所有分量為正的特征向量。定理1屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。正向量的歸一化向量為正向量，它的歸一化向量是歸一化有關(guān)定理第54頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例1求的特征值和特征向量。解：基礎(chǔ)解系為則屬于2的特征向量為第55頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月基礎(chǔ)解系為則屬于4的特征向量為求非負(fù)向量歸一化向量一般地，第56頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例2求的特征值和特征向量。解：第57頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，解空間的維數(shù)為3-2=1即，基礎(chǔ)解系為則屬于2的特征向量為第58頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，解空間的維數(shù)為3-2=1第59頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月基礎(chǔ)解系為則屬于1的特征向量為第60頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例3求的特征值和特征向量。解：第61頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月基礎(chǔ)解系為則屬于-1的特征向量為第62頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，解空間的維數(shù)為3-