2022-2023學(xué)年福建省福州市高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省福州市高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域求集合B，再結(jié)合交集運算求解.【詳解】由題意可得：，所以.故選：D.2．下列說法正確的是（

）A．命題“，都有”的否定是“，使得”B．函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是C．若不等式的解集為，則D．“”是“”的充要條件【答案】B【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題可判斷A，根據(jù)零點存在性定理可判斷B，根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程根的關(guān)系即可判斷C，根據(jù)分式不等式的解即可判斷D.【詳解】對于A,命題“，都有”的否定是“，使得”,故A錯誤，對于B，由于和均為單調(diào)遞增函數(shù)，故單調(diào)遞增，，由零點存在性定理可得在上有唯一的零點，故B正確，對于C，若不等式的解集為，則是方程的兩個根，所以，故C錯誤，對于D，由可得，故或，故能得到，但是不一定得到，故“”是“”的充分不必要條件，故D錯誤，故選：B3．將6名志愿者分配到兩個社區(qū)參加服務(wù)工作，每名志愿者只分配到1個社區(qū)，每個社區(qū)至少分配兩名志愿者，則有（

）種分配方式.A．35 B．50 C．60 D．70【答案】B【分析】分類討論志愿者的人數(shù)分配情況，結(jié)合組合數(shù)運算求解.【詳解】由題意可知：志愿者的人數(shù)分配有兩種可能：和，則相應(yīng)的分配方式分別有種和種，所以不同的分配方式共有種.故選：B.4．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．若，但，則 D．函數(shù)有且僅有兩個零點【答案】A【分析】畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到ABD選項，不妨設(shè)，從而得到，計算出.【詳解】，畫出的圖象如下，

A選項，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，A正確；B選項，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，B錯誤；C選項，若，但，不妨設(shè)，則，即，由于在上單調(diào)遞增，故，即，C錯誤；D選項，由圖象可知，函數(shù)有且僅有一個零點，D錯誤.故選：A5．有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從這些零件中不放回地任取3個，那么最多有1個是二等品的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分有1個是二等品和3個均為一等品兩種情況進行求解，相加后得到答案.【詳解】當有1個是二等品時，概率為，當3個均為一等品時，概率為，故最多有1個是二等品的概率為.故選：D6．隨著城市經(jīng)濟的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式.某公司員工小明上班出行方式有三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件概率求解即可.【詳解】記小明遲到為事件B，小明自駕遲到為事件A，則，所以.故選:B.7．已知隨機變量，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】先求得，然后求得，進而求得.【詳解】依題意，，解得，所以，所以.故選：A8．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】因為，則，可得，即，且，整理得，又因為，當且僅當時，等號成立，即，整理得，解得或（舍去），所以的最小值為.故選：C.二、多選題9．下面結(jié)論正確的有（

）A．若，且，則 B．若，且，則有最小值C．若，則 D．若，則【答案】AC【分析】對于AB，利用基本不等式分析判斷即可，對于C，作差法分析判斷，對于D，舉例判斷.【詳解】對于A，因為，且，所以，當且僅當，即時取等號，所以A正確，對于B，因為，且，所以，即，當且僅當時取等號，所以有最大值1，所以B錯誤，對于C，因為，所以所以，所以，所以C正確，對于D，若，則滿足，而，則，所以D錯誤，故選：AC10．下列表達式中正確的是（

）A． B．的二項展開式中項的系數(shù)等于15C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)組合數(shù)、排列數(shù)、二項式展開式等知識確定正確答案.【詳解】A選項，，所以A選項正確.B選項，二項式展開式的通項公式為，令，解得，所以項的系數(shù)為，B選項正確.C選項，，所以C選項錯誤.D選項，，所以D選項錯誤.故選：AB11．下列說法正確的有（

）A．在研究成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時，相關(guān)關(guān)系越強，相關(guān)系數(shù)越接近于1B．獨立性檢驗是在零假設(shè)之下，如果出現(xiàn)一個與相矛盾的小概率事件，就推斷不成立，且該推斷犯錯誤的概率不超過這個小概率C．已知一組樣本數(shù)據(jù)，根據(jù)這組數(shù)據(jù)的散點圖分析與之間的具有線性相關(guān)關(guān)系，若求得其線性回歸方程為，則在樣本點處的殘差為D．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則的值分別是和0.3【答案】BCD【分析】對于A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義即可；對于B，根據(jù)獨立性檢驗的定義即可；對于C，利用殘差的計算公式即可；對于D，利用對數(shù)的公式，將進行轉(zhuǎn)換即可.【詳解】對于A,相關(guān)關(guān)系越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，故A錯；對于B，獨立性檢驗是在零假設(shè)之下，如果出現(xiàn)一個與相矛盾的小概率事件，就推斷不成立，且該推斷犯錯誤的概率不超過這個小概率，故B正確；對于C，當時，，殘差：，故C正確；對于D，，，即，即故D正確.故選：BCD.12．設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．在上為減函數(shù)C．點是函數(shù)的一個對稱中心 D．方程僅有3個實數(shù)解【答案】CD【分析】利用奇偶函數(shù)的定義分析、探討函數(shù)的性質(zhì)，并判斷選項ABC；作出函數(shù)的部分圖象，數(shù)形結(jié)合判斷D作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，由為奇函數(shù)，得，即，由為偶函數(shù)，得，即，則，即，于是，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，當時，，對于A，，A錯誤；對于B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，知函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此在上單調(diào)遞增，B錯誤；對于C，由及，得，即，因此函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，C正確；對于D，當時，，由函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，知當時，，則當時，，由，知函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則當時，，于是當時，，而函數(shù)的周期是，因此函數(shù)在R上的值域為，方程，即，因此的根即為函數(shù)與圖象交點的橫坐標，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)與的部分圖象，如圖，觀察圖象知，函數(shù)與圖象在上有且只有3個公共點，而當時，，即函數(shù)與圖象在無公共點，所以方程僅有3個實數(shù)解，D正確.故選：CD【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的定義域為D，，(1)存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.(2)存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.三、填空題13．已知扇形的面積是，半徑是，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是.【答案】2【分析】由扇形的面積公式帶入求解.【詳解】由扇形的面積公式：，得，故答案為：2.14．我校高二年級人參加了期中數(shù)學(xué)考試，若數(shù)學(xué)成績，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在分以上的人數(shù)為總?cè)藬?shù)的，則此次期初中學(xué)業(yè)水平考試中考試中數(shù)學(xué)成績在分到分之間的學(xué)生有人.【答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解概率，進而可求人數(shù).【詳解】由于正態(tài)分布曲線的對稱軸為105，故，由題意可知，根據(jù)對稱性可得，所以數(shù)學(xué)成績在分到分之間的學(xué)生有，故答案為：15．二項式的展開式中，末尾兩項的系數(shù)之和為9，且二項式系數(shù)最大的一項的值為，則x在內(nèi)的值為.【答案】或【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式結(jié)合二項式系數(shù)運算求解.【詳解】因為的展開式的通項公式為，令，可得；令，可得；由題意可得：，解得，所以二項式系數(shù)最大的為第5項，則，且，則，可得，所以或.故答案為：或.16．=.【答案】【分析】先找到，再將原式帶入，運算求解即可.【詳解】因為，故原式.故答案為：.【點睛】方法點睛：此題的關(guān)鍵是找到裂項.四、解答題17．已知函數(shù).(1)求的值；(2)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)(2)，單調(diào)遞增區(qū)間是【分析】（1）利用二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡，再代入計算可得；（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1），即，所以.（2）因為，所以的最小正周期，令，，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.18．計算下列各式的值.(1)；(2)若，求的值.【答案】(1)15(2)【分析】（1）利用對數(shù)的運算性質(zhì)和分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解，（2）由求出的值，再由化簡計算即可.【詳解】（1）（2）因為，所以，因為，，所以，，則19．某校高二年級共有學(xué)生名，將數(shù)學(xué)和語文期中檢測成績整理如表1：表1語文成績合計數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀不優(yōu)秀優(yōu)秀123104227不優(yōu)秀111262373合計234366600表2語文成績合計數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀不優(yōu)秀優(yōu)秀511不優(yōu)秀719合計131730(1)根據(jù)表1數(shù)據(jù)，從600名學(xué)生中隨機選擇一人做代表.①求選到的同學(xué)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀且語文成績優(yōu)秀的概率；②在選到同學(xué)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的條件下，求選到同學(xué)語文成績優(yōu)秀的概率.(2)從600名學(xué)生中獲取容量為30的簡單隨機樣本，樣本數(shù)據(jù)整理如表2，請?zhí)顚懲暾?數(shù)據(jù)，并根據(jù)表2數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？（，）【答案】(1)①；②(2)列聯(lián)表見解析，不能【分析】（1）①根據(jù)獨立事件的乘法公式求解；②根據(jù)條件概率公式求解.（2）計算可得表2；根據(jù)公式計算，結(jié)合臨界值可得結(jié)論.【詳解】（1）記事件“選到同學(xué)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀”，記事件“選到同學(xué)語文成績優(yōu)秀”，則與相互獨立，①.②.（2）表2整理如下：語文成績合計數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀不優(yōu)秀優(yōu)秀6511不優(yōu)秀71219合計131730零假設(shè)：數(shù)學(xué)成績與語文成績無關(guān)聯(lián)，在犯錯誤的概率不超過前提下，不能認為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián).20．某醫(yī)用口罩生產(chǎn)廠家生產(chǎn)醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩三種產(chǎn)品，為了解各種產(chǎn)品的比例，檢測員從流水線上隨機抽取100件產(chǎn)品進行檢驗，檢驗結(jié)果如下表所示：產(chǎn)品類型醫(yī)用普通口罩醫(yī)用外科口罩醫(yī)用防護口罩樣本數(shù)量（件）404020(1)已知三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為40%，50%，60%.若從該廠生產(chǎn)的口罩中任選一個，用頻率估計概率，求選到綁帶式口罩的概率；(2)從該流水線上隨機抽取3件產(chǎn)品，記其中醫(yī)用普通口罩的件數(shù)為X，用頻率估計概率，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)0.48(2)分布列見解析，1.2【分析】（1）先找到每一種口罩被選到的概率，再找到每一種口罩里面綁帶式口罩被選到的概率，利用全概率公式求解.(2)由題，，，即可求解.【詳解】（1）記事件分別表示選到醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩，則，且兩兩互斥，由題意：，記事件為“選到綁帶式口罩”，則，所以由全概率公式可得選到綁帶式口罩的概率為：..（2）由題意知，，，，，，，故的分布列為：01230.2160.4320.2880.064.21．某工廠參加甲項目的工人有500人，平均每人每年創(chuàng)造利潤萬元.現(xiàn)在從甲項目中調(diào)出人參加乙項目的工作，平均每人每年創(chuàng)造利潤萬元（），甲項目余下的工人平均每人每年創(chuàng)造利潤需要提高%.(1)若要保證甲項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來500名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)出多少人參加乙項目工作？(2)在（1）的條件下，當從甲項目調(diào)出的人數(shù)不超過總?cè)藬?shù)的時，甲項目余下工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)250(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件列不等式，由此求得最多調(diào)出的人數(shù)；（2）根據(jù)“甲項目余下工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤”列不等式，分離常數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)從甲項目調(diào)出人參加乙項目工作，由題意得：，即，又，所以.即最多調(diào)出250人參加乙項目工作.（2）由題知，乙項目工作的工人創(chuàng)造的年總利潤為萬元，甲項目余下工人創(chuàng)造的年總利潤為萬元，則，所以，即恒成立，因為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.又，所以，22．某企業(yè)擬對手機芯片進行科技升級，根據(jù)市場調(diào)研，得到科技升級投入（億元）與科技升級直接收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

序號1234567891023469111315171913223142505658626365根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，當時，建立了與的兩個回歸模型：模型①：；模型②：；當時，確定與滿足的線性回歸方程為.(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當時，模型①、②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型；回歸模型模型①模型②回歸方程（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)）(2)為鼓勵科技創(chuàng)新，當科技升級的投入不少于億元時，國家給予公司補貼億元，比較根據(jù)市場調(diào)研科技升級投入億元直接收益與投入億元時科技升級實際收益的預(yù)測值的大小；（附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)：）(3)科技升級后，芯片的效率大幅提高，經(jīng)實際試驗得大致服從正態(tài)分布.公司對科技升級團隊的獎勵方案如下：若芯片的效率不超過，不予獎勵；若芯片的效率超過，但不超過，每部芯片獎勵元；若芯片的效率超過，每部芯片獎勵元，記為每部芯片獲得的獎勵額，求（精確到）.

（附：若隨機變量，，.）【答案】(1)模型②的相關(guān)指數(shù)大于模型①的相關(guān)指數(shù)，模型②(2)技術(shù)升級投入億元時，公司的實際收益更大(3)【分析】（1）比較兩個模型相關(guān)指數(shù)