第5節(jié)　函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像及三角函數(shù)的應(yīng)用

第四章第五節(jié)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像及

三角函數(shù)的應(yīng)用內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點(diǎn)核心素養(yǎng)1.結(jié)合具體實(shí)例,了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的實(shí)際意義;能畫出y=Asin(ωx+φ)的圖像,了解參數(shù)A,ω,φ對(duì)函數(shù)圖像變化的影響.2.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際問題,體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.1.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像及變換2.確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式3.三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用4.三角函數(shù)模型的應(yīng)用1.直觀想象2.邏輯推理3.數(shù)學(xué)建模強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略1.y=Asin(ωx+φ)的有關(guān)概念

2.用五點(diǎn)法畫y=Asin(ωx+φ)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí),要找出的五個(gè)特征點(diǎn)如下表所示3.由y=sinx的圖像得y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像的兩種方法

微點(diǎn)撥無論哪種變換,每一個(gè)變換總是針對(duì)自變量x而言的,即圖像變換要看“自變量x”發(fā)生多大變化,而不是看角“ωx+φ”的變化.微思考先平移變換再周期變換和先周期變換再平移變換有什么聯(lián)系與區(qū)別?提示:兩種變換方法都是針對(duì)x而言的,即x本身加減多少,而不是ωx加減多少.先平移變換(左右平移)再周期變換(伸縮變換),平移的量是|φ|個(gè)單位長度,而先周期變換(伸縮變換)再平移變換(左右平移),平移的量是

個(gè)單位長度.常用結(jié)論1.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k圖像平移的規(guī)律:“左加右減,上加下減”.2.在正弦、余弦函數(shù)圖像中,相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心以及相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離均為

個(gè)周期.3.若直線x=a為正(余)弦曲線的對(duì)稱軸,則正(余)弦函數(shù)一定在x=a處取得最值.增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像及變換典例突破

答案:(1)A

(2)B

突破技巧1.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像的兩種作法:(1)五點(diǎn)法:用“五點(diǎn)法”作y=Asin(ωx+φ)的簡圖,主要是通過變量代換,設(shè)z=ωx+φ,由z取0,,2π來求出相應(yīng)的x,通過列表,計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖像.(2)圖像變換法:由函數(shù)y=sin

x的圖像通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖像,有兩種主要途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.2.變換法作圖像的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移,對(duì)于后者可利用ωx+φ=ω來確定平移單位.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖像,列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表所示.(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式;(2)將y=f(x)的圖像上所有點(diǎn)向左平移θ(θ>0)個(gè)單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖像,若y=g(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為

,求θ的最小值;(3)作出函數(shù)f(x)在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖像.解:(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得A=5,ω=2,φ=-

.數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整如下表考點(diǎn)二確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式典例突破

突破技巧由圖像確定y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式的步驟和方法

(3)求φ:①把圖像上的一個(gè)已知點(diǎn)代入來求.②尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)來求,具體如下:“第一點(diǎn)”(即圖像上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí),ωx+φ=0;“第二點(diǎn)”(即圖像的“峰點(diǎn)”)時(shí),ωx+φ=;“第三點(diǎn)”(即圖像下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí),ωx+φ=π;“第四點(diǎn)”(即圖像的“谷點(diǎn)”)時(shí),ωx+φ=;“第五點(diǎn)”時(shí),ωx+φ=2π.答案:D

考點(diǎn)三三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用典例突破

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若將f(x)的圖像向左平移m(m>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)的圖像恰好解題心得解決三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合問題的關(guān)鍵是首先正確的將已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解析式和圖像,然后再根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性).(1)求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間;考點(diǎn)四三角函數(shù)模型的應(yīng)用典例突破例4.(2021山西臨汾適應(yīng)性測試)海水受日月的引力,在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮,一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情況下,船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道,靠近碼頭;卸貨后,在落潮時(shí)返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表:時(shí)刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/米4.56.54.52.54.56.54.52.54.5(1)已知該港口的水深與時(shí)間滿足函數(shù)y=Acos(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,b>0,-π<φ<π),畫出函數(shù)圖像,并求出函數(shù)解析式.(2)現(xiàn)有一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4米,安全條例規(guī)定至少要有1.5米的間隙(船底與洋底的距離),該船何時(shí)能進(jìn)入港口?在港口能待多久?即1+12k≤x≤5+12k.當(dāng)k=0時(shí),x∈[1,5];當(dāng)k=1時(shí),x∈[13,17],所以,該船在1:00或13:00點(diǎn)可以進(jìn)入港口,每次在港口可以停留4個(gè)小時(shí).突破技巧三角函數(shù)模型在實(shí)際應(yīng)用中的2種類型及解題策略1.已知函數(shù)模型,利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題,其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)法則;2.把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,建立三角函數(shù)模型,再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題,其關(guān)鍵是建模.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2021四川成都診斷測試)水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具,是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明,也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個(gè)半徑為R的水車,以水車的中心為原點(diǎn),過水車的中心且平行于水平面的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,一個(gè)水斗從點(diǎn)A(3,-3

)出發(fā),