第6節(jié)　空間向量及其運算

第六節(jié)空間向量及其運算第八章內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點核心素養(yǎng)1.了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示,能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.1.空間向量的線性運算2.共線定理、共面定理的應(yīng)用3.空間向量數(shù)量積及應(yīng)用1.直觀想象2.邏輯推理3.數(shù)學(xué)運算強基礎(chǔ)增分策略1.空間向量的有關(guān)概念

名稱定義空間向量在空間中,具有

和

的量,其大小叫作向量的長度或模

相等向量方向

且模

的向量

相反向量方向

且模

的向量

共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相

或

的向量

共面向量平行于

的向量

大小

方向

相同

相等

相反相等

平行

重合

同一個平面

微點撥空間向量是由平面向量拓展而來的,因此空間向量的概念和性質(zhì)與平面向量的概念和性質(zhì)相同或相似.在學(xué)習(xí)空間向量時,與平面向量的相關(guān)內(nèi)容類比進(jìn)行學(xué)習(xí),將達(dá)到事半功倍的效果.微思考“空間中任何兩個向量都是共面向量”,這個結(jié)論是否正確?提示:正確.根據(jù)向量相等的定義,可以把向量進(jìn)行平移,空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi),成為共面向量.2.空間向量中的有關(guān)定理

定理名稱語言描述共線向量定理對空間任意兩個向量a,b(b≠0),a∥b?存在λ∈R,使a=λb

為了使λ存在且唯一共面向量定理如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb空間向量基本定理如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任意

三個向量不共面,可構(gòu)成一組基底{a,b,c}一個向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc微點撥(1)由于0與任意一個非零向量共線,與任意兩個非零向量共面,故0不能作為基向量.(2)基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示.微思考基向量和基底一樣嗎?提示:不一樣.基底是指一個向量組,基向量是基底中的某一個向量.3.空間向量的數(shù)量積及運算律(1)非零向量a,b的數(shù)量積a·b=|a||b|cos<a,b>.

變形式:(1)a⊥b?a·b=0;(2)|a|2=a2(2)空間向量數(shù)量積的運算律:①結(jié)合律:(λa)·b=λ(a·b);②交換律:a·b=b·a;③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.微點撥向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律,但不滿足結(jié)合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.4.空間向量的坐標(biāo)運算(1)設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則②a+b=

.

③a-b=

.

④λa=

.

⑤a·b=

.

(a1+b1,a2+b2,a3+b3)

(a1-b1,a2-b2,a3-b3)

(λa1,λa2,λa3)

a1b1+a2b2+a3b3

(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

微思考空間向量的坐標(biāo)運算與坐標(biāo)原點的位置選取有關(guān)嗎?

提示:無關(guān).這是因為一個確定的幾何體,其“線線”夾角、“點點”距離都是固定的,坐標(biāo)系的位置不同,只會影響其計算的繁簡,不會影響結(jié)果.常用結(jié)論1.證明空間任意三點共線的方法對空間三點P,A,B可通過證明下列結(jié)論成立來證明三點共線:2.證明空間四點共面的方法對空間四點P,M,A,B,可通過證明下列結(jié)論成立來證明共面:增素能精準(zhǔn)突破考點一空間向量的線性運算典例突破例1.(1)(2021江西師大附中模擬)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M答案:(1)A

(2)C

突破技巧空間向量線性運算中的三個關(guān)鍵點

對點訓(xùn)練1(2021吉林白城一中月考)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為答案:D

考點二共線定理、共面定理的應(yīng)用典例突破例2.(1)(2021浙江舟山中學(xué)月考)若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三點共線,則m+n=(

)A.0 B.1

C.2

D.3②判斷點M是否在平面ABC內(nèi).

答案:(1)A

突破技巧證明三點共線和空間四點共面的方法

對點訓(xùn)練2(1)(2021福建廈門一中月考)已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),點P(x,-1,3)在平面ABC內(nèi),則x的值為(

)A.-4 B.1

C.10

D.11答案:(1)D

考點三空間向量數(shù)量積及應(yīng)用(多考向探究)考向1.求空間向量的數(shù)量積典例突破A.-1 B.0

C.1 D.不確定答案:B

=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.突破技巧空間向量的數(shù)量積運算的兩條途徑

考向2.空間向量數(shù)量積的應(yīng)用典例突破例4.(1)(2021全國高二課時練習(xí))已知空間向量a,b,c兩兩夾角均為60°,其模均為1,則|a-b+2c|=(

)(2)(2021河北曹妃甸一中模擬)空間向量a=(2,3,-2),b=(2,-m,-1),如果a⊥b,則|b|=

.

(3)(2021廣東深圳高三質(zhì)量評估)已知a=(1,2,3),b=(2,3,5),則以a,b所對應(yīng)的有向線段為鄰邊的平形四邊形的面積是

.

(2)∵向量a=(2,3,-2),b=(2,-m,-1),且a⊥b,∴a·b=0,∴2×2-3m+2=0,解得m=2,∴b=(2,-2,-1),突破技巧空間向量數(shù)量積的3個應(yīng)用

求夾角設(shè)向量a,b夾角為θ,則cos

θ=

,進(jìn)而可求兩異面直線所成的角求長度(距離)利用公式|a|2=a·a,可將線段長度的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題解決垂直問題利用a⊥b?a·b=0(a≠0,b≠0),可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的