第一節(jié)　任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念

第一節(jié)任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念第五章內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)固本增分研考點精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.了解任意角的概念和弧度制,能進行弧度與角度的互化,體會引入弧度制的必要性.2.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義,并能利用三角函數(shù)的定義解決相關(guān)問題.強基礎(chǔ)固本增分1.角的概念的推廣(1)定義:角可以看成一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.(3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合

S={β|β=α+k·360°,k∈Z}

.

微點撥

對終邊相同角的理解:(1)相等的角終邊一定相同,但終邊相同的角不一定相等,它們之間相差360°的整數(shù)倍;(2)若角β與α的終邊關(guān)于x軸對稱,則β=-α+2kπ(k∈Z);(3)若角β與α的終邊關(guān)于y軸對稱,則β=π-α+2kπ(k∈Z);(4)若角β與α的終邊關(guān)于原點對稱,則β=π+α+2kπ(k∈Z).2.弧度制的定義和有關(guān)公式(1)定義:長度等于

半徑長

的圓弧所對的圓心角為1弧度的角,記作1rad.

(2)公式微點撥

有關(guān)弧度制的注意點:(1)角度制與弧度制可利用180°=π

rad進行互化,在同一個式子中,采用的度量制度必須一致,不可混用.(2)注意扇形圓心角弧度數(shù)的取值范圍是0<θ<2π,實際問題中注意根據(jù)這一范圍進行取舍.3.任意角的三角函數(shù)

弧度制下,任意一個實數(shù)都表示一個角,角與實數(shù)之間一一對應(yīng)微思考

已知角α的終邊上的任意一點P到原點的距離為r(r>0),那么如何確定P點的坐標(biāo)?提示

由三角函數(shù)的定義可知P點的坐標(biāo)為P(rcos

α,rsin

α).常用結(jié)論1.象限角的集合2.軸線角的集合

自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.第二象限角一定比第一象限角大.(

)3.若一個角的終邊上有一點的坐標(biāo)為(rcosθ,rsinθ)(r>0),則該角的大小為θ.(

)4.不存在角θ,使得sinθ<0,cosθ<0,tanθ<0.(

)×√×√題組二

雙基自測5.已知α是銳角,那么2α是(

)A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°的正角D.第一或第二象限角答案

C解析

依題意0°<α<90°,所以0°<2α<180°,因此2α是小于180°的正角.6.

已知角θ的終邊過點P(-12,5),求θ的三角函數(shù)值.研考點精準(zhǔn)突破考點一象限角與終邊相同的角A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案

(1)D

(2)C

(3)BD規(guī)律方法1.象限角的判斷方法(1)圖象法:在平面直角坐標(biāo)系中作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角.(2)轉(zhuǎn)化法:將已知角化為α+2kπ(k∈Z,0≤α<2π)的形式,即找出與已知角終邊相同的角α,由α所在象限判斷已知角所在象限.2.判斷角

或nα(n∈N*)所在象限的方法步驟(1)將角α的范圍用不等式表示(含有k,k∈Z);(2)在不等式兩邊同除以n或乘n(n∈N*);(3)對k進行分類討論,確定

或nα所在象限.考點二扇形的弧長與扇形面積公式例題(2023·浙江紹興高三模擬)數(shù)學(xué)中處處存在著美,機械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法:先畫等邊三角形ABC,再分別以點A,B,C為圓心,線段AB長為半徑畫圓弧,便得到萊洛三角形(如圖所示).若萊洛三角形的周長為2π,則其面積是(

)答案

D規(guī)律方法

弧長與扇形面積計算中的常用技巧(1)注意弧長、弦長、圓心角、圓周角等的區(qū)別與聯(lián)系;(2)注意合理運用圓心角所在的三角形及其中的邊角關(guān)系和面積公式;(3)弓形的面積等于扇形的面積與三角形的面積之差.對點訓(xùn)練(2023·廣東惠州高三月考)擲鐵餅是一項體育競技活動.如圖,這是一位擲鐵餅運動員在準(zhǔn)備擲出鐵餅的瞬間,張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓”.經(jīng)測量,此時兩手掌心之間的弧長是

米,“弓”所在圓的半徑為1.05米,則這位擲鐵餅運動員兩手掌心之間的距離約為(參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732)(

)A.1.819米

B.1.485米C.1.649米

D.1.945米考向1三角函數(shù)定義的應(yīng)用

(2)(2023·河北石家莊高三月考)已知點A(,2),B(1,-3)是圓O:x2+y2=10上兩點,動點P從A出發(fā),沿著圓周按逆時針方向走到B,其路徑長度的最小值為(

)答案

(1)A

(2)CA.5 B.-5C.π-5 D.π+5答案

C引申探究2在本題組(1)中,若角θ的終邊在直線x+2y=0上,試求sin2θ的值.引申探究3在本題組(2)中,若動點P從A出發(fā),沿著圓周按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到達點M,試求點M的坐標(biāo).規(guī)律方法

考向2三角函數(shù)值符號的判斷題組(1)(2023·山西太原高三月考)設(shè)θ是第二象限角,則點P(sin(cosθ),cos(sinθ))在(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)(2023·陜西西安高三模擬)若α是第二象限角,則下列不等式正確的是(

)A.cos(-α)>0 B.tan>0C.sin2α>0 D.sin(-α)>0答案

(1)B

(2)B解析

(1)因為θ是第二象限角,所以0<sin

θ<1,-1<cos

θ<0,于是角sin

θ是第一象限角,cos

θ是第四象限角,因此sin(cos

θ)<0,cos(sin

θ)>0,所以點P(sin(cos

θ),cos(sin

θ))在第二象限,故選B.(2)由于α是第二象限角,所以-α是第三象限角,因此sin(-α)<0,cos(-α)<0,故選項A,D均不正確;又因為

是第一或第三象限角,因此tan>