第2節(jié)　基本不等式

第七章第二節(jié)基本不等式內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)增分策略增素能精準突破課標解讀衍生考點核心素養(yǎng)1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.1.利用基本不等式求最值2.基本不等式的實際應(yīng)用3.基本不等式的綜合應(yīng)用1.數(shù)學運算2.邏輯推理3.數(shù)學建模強基礎(chǔ)增分策略(1)基本不等式成立的條件:

.

(2)等號成立的條件:當且僅當a=b時,等號成立.在運用基本不等式及其變形時,一定要驗證等號是否成立a≥0,b≥0微點撥(1)基本不等式應(yīng)用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正數(shù),“二定”指求最值時和或積為定值,“三相等”指等號成立.(2)連續(xù)使用基本不等式時,牢記等號要同時成立.2.兩個重要的不等式(1)a2+b2≥

(a,b∈R),當且僅當a=b時,等號成立.

3.利用基本不等式求最值已知x≥0,y≥0,則微點撥和定積最大,積定和最小:兩個正數(shù)的和為定值時,則可求其積的最大值;積為定值時,可求其和的最小值.2ab

x=y

小

x=y

大

微思考若兩個正數(shù)的和為定值,則這兩個正數(shù)的積一定有最大值嗎?

提示:不一定.若這兩個正數(shù)能相等,則這兩個正數(shù)的積一定有最大值;若這兩個正數(shù)不相等,則這兩個正數(shù)的積無最大值.常用結(jié)論

增素能精準突破考點一利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1.配湊法求最值典例突破A.最大值-1 B.最小值-1 C.最大值1 D.最小值1(3)已知0<x<1,則當x(4-3x)取得最大值時x的值為

.

突破技巧通過配湊法利用基本不等式求最值的實質(zhì)及關(guān)鍵點配湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進行適當?shù)淖冃?通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配湊法的實質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.答案:(1)A

(2)C

解析:(1)∵x>y>0,∴x-y>0,考向2.常數(shù)代換法求最值典例突破例2.(1)(2021貴州遵義一模)若正數(shù)x,y滿足x+2y-2xy=0,則x+2y的最小值為(

)A.9 B.8

C.5

D.4(2)(2021湖北漢陽一中高三月考)已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,則

的最小值是(

)A.1 B.2

C.4

D.8答案:(1)D

(2)C

突破技巧通過常數(shù)代換法利用基本不等式求解最值的基本步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù));(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1;(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除,進而構(gòu)造和或積為定值的形式;(4)利用基本不等式求解最值.考向3.消元法求最值典例突破例3.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為

.

答案:6

解析:(方法1

換元消元法)由已知得x+3y=9-xy,因為x>0,y>0,所以x+3y≥2,當且僅當x=3y,即x=3,y=1時取等號,所以(x+3y)2-12xy=(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0.令x+3y=t,則t>0且t2+12t-108≥0,得t≥6,即x+3y的最小值為6.突破技巧通過消元法利用基本不等式求最值的策略當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時,通常是考慮利用已知條件消去部分變量后,湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”,最后利用基本不等式求最值.答案:(1)B

(2)9

∴x(10-x)≥9,即x2-10x+9≤0,解得1≤x≤9,滿足0<x<10,∴a+b的最大值為9.考點二基本不等式的實際應(yīng)用典例突破例4.某樓盤的建筑成本由土地使用權(quán)費和材料工程費構(gòu)成,已知土地使用權(quán)費為6000元/m2.材料工程費在建造第一層時為500元/m2,以后每增加一層費用增加30元/m2(每一層的建筑面積都相同).(1)若把樓盤的樓房設(shè)計成x層,平均每平方米建筑面積的成本為y元,將y表示成x的函數(shù).(2)若平均每平方米建筑面積的成本不高于1235元,求樓房設(shè)計層數(shù)最少為多少層?(3)應(yīng)把樓盤的樓房設(shè)計成多少層,才能使平均每平方米建筑面積的成本費最低?解:(1)設(shè)每層的面積為z

m2,則該樓盤材料工程總費用為p=500z+(500+30)z+(500+60)z+…+[500+(x-1)×30]z解得10≤x≤40,所以樓層設(shè)計層數(shù)最少為10層.故應(yīng)把樓房設(shè)計成20層,才能使平均每平方米建筑面積的成本費最低.突破技巧1.利用基本不等式解決實際問題時,應(yīng)先仔細閱讀題目信息,理解題意,明確其中的數(shù)量關(guān)系,并引入變量,依題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,然后用基本不等式求解.2.在用基本不等式求所列函數(shù)的最值時,若等號取不到,則可利用函數(shù)單調(diào)性求解.3.在求函數(shù)的最值時,一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.對點訓(xùn)練4某品牌飲料原來每瓶成本為10元,售價為15元,月銷售8萬瓶.(1)據(jù)市場調(diào)查,若售價每提高1元,月銷售量將相應(yīng)減少2000瓶,要使月總利潤不低于原來的月總利潤(月總利潤=月銷售總收入-月總成本),該飲料每瓶售價最多為多少元?解:(1)設(shè)每瓶定價為t元,依題意,有[8-(t-15)×0.2](t-10)≥5×8,整理得t2-65t+750≤0,解得15≤t≤50.因此要使月總利潤不低于原來的月總利潤,每瓶定價最多為50元.考點三基本不等式的綜合應(yīng)用典例突破例5.(1)(2021廣東中山模擬)在等比數(shù)列{an}中,a2a6+a5a11=16,則a3a9的最大值是(

)A.4 B.8

C.16

D.32(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為

.

答案:(1)B

(2)9

解析:(1)由等比數(shù)列性質(zhì)知a3a9=a4a8,∵a2a6+a5a11==16≥2a4a8(當且僅當a4=a8時取等號),∴a4a8≤8,∴a3a9≤8,即a3a9的最大值為8.(2)(方法1)依題意畫出圖形,如圖所示.(方法2)以B為原點,BD所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系,則D(1,0),解題心得基本不等式的應(yīng)用非常廣泛,它可以和數(shù)學的其他知識交匯考查,解決這類問題的策略是:(1)先根據(jù)所交匯的知識進行變形,通過換元、配湊、巧換“1”等手段把最值問題轉(zhuǎn)化為用基本不等式求解,這是難點.(2)要有利用基本不等式求最值的意識,善于把條件轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式的形式.(3)檢驗等號是否成立,完成后續(xù)問題.對點訓(xùn)練5(1)(2021西藏拉薩中學月考)已知F1,F2是橢圓C:

的兩個焦點,點M在C上,則|MF1|·|MF2|的最大值為(

)A.13 B.12

C.9

D.6(2)(2021河北石家莊一中月考)命題p:存在x∈{x|1≤x≤9},x2-ax+36≤0,若p是真命題,則實數(shù)a的取值范圍為(

)A.[37,+∞) B