新人教版九上《2124一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》課件

21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系張集一中陳建河21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系張集一中11.一元二次方程的解法復(fù)習(xí)提問2.求根公式1.一元二次方程的解法復(fù)習(xí)提問2.求根公式2

方程

x1x2

x1+x2

x1?x2

x2-3x+2=0

X2-2x-3=0X2-5x+4=0問題：你發(fā)現(xiàn)這些一元二次方程的兩根x1+x2，x1?

x2與系數(shù)有什么規(guī)律？

猜想：當(dāng)二次項系數(shù)為1時，方程

x2+px+q=0的兩根為x1,,x22

132-1

3

2-31

4

54方程x1x2x1+x2x13方程-2x1+x2，x1?x2與系數(shù)有什么規(guī)律?方程-2x1+x2，x1?x2與系數(shù)有什么4猜想：

如果一元二次方程

ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)且a≠0）的兩根為x1、x2，則：

x1+x2和x1.x2與系數(shù)a，b，c的關(guān)系.猜想：5

6任何一個一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是X1,X2,那么X1+X2=,X1

·X2=-（韋達定理）注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2-4ac≥0任何一個一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+7韋達（1540－1603）

韋達是法國十六世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一。第一個引進系統(tǒng)的代數(shù)符號，并對方程論做了改進。

他生于法國的普瓦圖。年青時學(xué)習(xí)法律當(dāng)過律師，后從事政治活動，當(dāng)過議會的議員，在對西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達還致力于數(shù)學(xué)研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達定理”）。

韋達在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”。韋達（1540－1603）韋達是法國十六世紀(jì)最有影響8一、直接運用根與系數(shù)的關(guān)系例1、不解方程，求下列方程兩根的和與積.知識源于悟一、直接運用根與系數(shù)的關(guān)系例1、不解方程，求下列方程兩根的和9在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用X1+X2=－時，注意“－”不要漏寫.在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意：10例1、不解方程，求方程兩根的和與兩根的積：①②解：①②

我能行1原方程可化為：二次項不是1，可以先把它化為1例1、不解方程，求方程兩根的和與兩根的積：②解：①②11∴答：方程的另一個根是，的值是。例2、已知方程求它的另一個根及的一個根是2的值。原方程可化為：想一想，還有其他方法嗎？還可以把代入方程的兩邊，求出

解：，那么設(shè)方程的另一根是∴又∵

我能行2∴答：方程的另一個根是，的值是。例2、已知方程求它的另一個根12例3、不解方程，求一元二次方程兩個根的①平方和；②倒數(shù)和。設(shè)方程的兩根是，那么①②解：

我能行3例3、不解方程，求一元二次方程兩個根的①平方和；②倒數(shù)和。設(shè)13二、求關(guān)于兩根的對稱式或代數(shù)式的值例2、設(shè)是方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值.

二、求關(guān)于兩根的對稱式或代數(shù)式的值例2、設(shè)14關(guān)于兩根幾種常見的求值關(guān)于兩根幾種常見的求值15小結(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2-4ac≥0小結(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提16再見再見17三、構(gòu)造新方程例3、求一個一元二次方程，使它的兩個根是2和3，且二

次項系數(shù)為1.變式：且二次項系數(shù)為5三、構(gòu)造新方程例3、求一個一元二次方程，使18三、構(gòu)造新方程例4、已知關(guān)于x的方程x2-5x-2=0（1）,且關(guān)于y的方程的兩根分別是方程（1）的兩根的平方.求關(guān)于y的方程.的倒數(shù).的相反數(shù).比都大2.三、構(gòu)造新方程例4、已知關(guān)于x的方程x2-5x-2=0（1）19例5、小明和小敏解同一個一元二次方程時，小明看錯了一次項系數(shù)所求出的根為-9和-1；小敏看錯了常數(shù)項所求出的根是8和2。你知道原來的方程是什么嗎？

三、構(gòu)造新方程例5、小明和小敏解同一個一元二次方程時，小明看錯了一次項系數(shù)20練習(xí)、甲、乙二人解同一個一元二次方程時，甲看錯了常數(shù)項所求出的根為1，4；乙看錯了一次項系數(shù)所求出的根是-2，-3。則這個一元二次方程為__________________

三、構(gòu)造新方程x2-5x+6=0練習(xí)、甲、乙二人解同一個一元二次方程時，甲看錯了常數(shù)項所求出21四、求方程中的待定系數(shù)

例6、如果－1是方程的一個根，則另一個根是____ｍ=____。（還有其他解法嗎？)-3練習(xí)：已知3是方程的一根，求m及另一根四、求方程中的待定系數(shù)

例6、如果－1是方程的一個根，（還22例7、方程的兩根同為正數(shù)，求p、q的取值范圍.四、求方程中的待定系數(shù)

例7、方程四、求方程中的待定系數(shù)

23變式:方程有一個正根，一個負根，求m的取值范圍.解:由已知,△=即m>0m-1<0∴0<m<1四、求方程中的待定系數(shù)

變式:方程解:由已知,△=即m>0∴0<m<1四、求方程中的24一正根，一負根△＞0X1X2＜0兩個正根△≥0X1X2＞0X1+X2＞0兩個負根△≥0X1X2＞0X1+X2＜0一正根，一負根△＞0兩個正根△≥0兩個負根△≥025例8、已知方程的兩個實數(shù)根是且求k的值。四、求方程中的待定系數(shù)

注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2-4ac≥0例8、已知方程的兩四、求方程中的待定系26小結(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2-4ac≥0小結(jié)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提27再見再見28

已知兩個數(shù)的和是1，積是-2，則兩個數(shù)是

解法(一):設(shè)兩數(shù)分別為x,y則:{解得:x=2

y=－1{或

ｘ＝－1y=2{解法(二):設(shè)兩數(shù)分別為一個一元二次方程的兩根則:求得∴兩數(shù)為2,－１*已知兩個數(shù)的和與積，求兩數(shù)

已知兩個數(shù)的和是1，積是-2，則兩個數(shù)是29*求未知系數(shù)的取值范圍*例題:已知關(guān)于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0.(1)求證:無論k取何值時,方程總有兩不相等的實數(shù)根.(2)當(dāng)k取何值時,方程的一根大于1,另一根小于1?分析:(1)列出△的代數(shù)式,證其恒大于零(2)(x1-1)(x2-1)<0解:(1)∵△=(m+7)2-4(m-3)=(m+5)2+36>0∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根(2)由題意得:解得:當(dāng)時方程的一根大于1,另一根小于1*求未知系數(shù)的取值范圍*例題:已知關(guān)于x的方程9x2+(m+30*1.當(dāng)a取什么值時,關(guān)于未知數(shù)x的方程ax2+4x-1=0,只有正實數(shù)根?*2.已知:x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的兩個非零實根,問x1,x2能否同號?若能同號,請求出相應(yīng)m的取值范圍;若不能同號,請說明理由.*1.當(dāng)a取什么值時,關(guān)于未知數(shù)x的方程ax2+4x-1=031

***題9

在△ABC中a,b,c分別為∠A,∠B,∠C

的對邊,且c=,若關(guān)于x的方程

有兩個相等的實數(shù)根,又方程的兩實數(shù)根的平方和為6,求△ABC的面積.五綜合***題9在△ABC中a,b,c分別為∠A,∠B,∠32拓廣探索1、當(dāng)k為何值時，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1。解：設(shè)方程兩根