福建省福州市航城中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

福建省福州市航城中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A．－29

B．29

C．30

D．－30參考答案：B∵，∴．考點(diǎn)：并項(xiàng)法求和．2.函數(shù)f（x）=lg的定義域?yàn)?

)A．[0，1] B．（﹣1，1） C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】對(duì)數(shù)的真數(shù)一定要大于0，進(jìn)而構(gòu)造不等式進(jìn)行求解．【解答】解：由知1﹣x2＞0，即x2＜1，進(jìn)而得到﹣1＜x＜1故函數(shù)的定義域?yàn)椋ī?，1）故選B【點(diǎn)評(píng)】考查對(duì)數(shù)真數(shù)的要求，即，真數(shù)要大于0．3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.

B.

C.

D.參考答案：A4.如圖，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，，及拋物線和，若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影部分區(qū)域的概率是（

）A． B． C． D．參考答案：B∵，，，，∴正方形的的面積，根據(jù)積分的幾何意義以及拋物線的對(duì)稱性可知陰影部分的面積：，則由幾何槪型的概率公式可得質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是．故選B．5.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，，若，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

參考答案：B因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為減函數(shù)，所以當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增。因?yàn)?，所以有，解得，即，選B.6.（本小題滿分13分）已知實(shí)數(shù)（且）滿足，記.（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（Ⅲ）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，求的最小值．注：表示中任意兩個(gè)數(shù),（）的乘積之和.參考答案：解：（Ⅰ）由已知得．．

………3分

（Ⅱ）時(shí)，．固定，僅讓變動(dòng)，那么是的一次函數(shù)或常函數(shù)，因此．同理．．以此類推，我們可以看出，的最小值必定可以被某一組取值的所達(dá)到，于是．當(dāng)（）時(shí)，．因?yàn)?，所以，且?dāng)，，時(shí)，因此．

……………7分（Ⅲ）

.固定，僅讓變動(dòng)，那么是的一次函數(shù)或常函數(shù)，因此．同理．．以此類推，我們可以看出，的最小值必定可以被某一組取值的所達(dá)到，于是．當(dāng)（）時(shí)，．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，因?yàn)?，所以，另一方面，若取，，那么，因此．………?3分7.植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號(hào)，為使各位同學(xué)從各自樹坑前來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為

A．（1）和（20）B．（9）和（10）

C．（9）和（11）

D．（10）和（11）參考答案：D本題考查了學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，難度較大

把樹坑編號(hào)為1至20，當(dāng)樹苗放在中間時(shí)所走路程最小，此時(shí)中間位置的樹坑編號(hào)分別為10和11.故選D8.若曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，則實(shí)數(shù)

（

）

參考答案：C9.已知a＞0，b＞0且ab=1，則函數(shù)f（x）=ax與函數(shù)g（x）=﹣logbx的圖象可能是（）A．B．C．D．參考答案：B考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．專題：常規(guī)題型；數(shù)形結(jié)合．分析：由條件ab=1化簡(jiǎn)g（x）的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得正確答案解答：解：∵ab=1，且a＞0，b＞0∴又所以f（x）與g（x）的底數(shù)相同，單調(diào)性相同故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬中檔題10.若實(shí)數(shù)，滿足則的最大值是（

）A．-1

B．1

C.

2

D．3參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)對(duì)于任意的、，當(dāng)時(shí)，恒有成立，則的取值范圍是： ；參考答案：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒有成立，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，令，易知函數(shù)在在內(nèi)單調(diào)遞減，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以……①，又由題意知函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以…………②由①②知：的取值范圍是。12.已知f（x）是定義在R上奇函數(shù)，又f（2）=0，若x＞0時(shí)，xf′（x）+f（x）＞0，則不等式xf（x）＜0的解集是

．參考答案：（﹣2，0）U（0，2）【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】由題意可得F（x）=xf（x）為R上偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，不等式xf（x）＜0等價(jià)于F（x）＜F（2），結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得．【解答】解：∵f（x）是定義在R上奇函數(shù)，∴F（x）=xf（x）為R上偶函數(shù)，又f（2）=0，∴F（2）=0，∵x＞0時(shí)，xf′（x）+f（x）＞0，∴x＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）=xf′（x）+f（x）＞0，∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，不等式xf（x）＜0等價(jià)于F（x）＜0，即F（x）＜F（2），由單調(diào)性可得2＜x＜2，又F（0）=0，不滿足F（x）＜F（2），故所求解集為（﹣2，0）U（0，2）故答案為：（﹣2，0）U（0，2）【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，涉及構(gòu)造函數(shù)以及利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解不等式，屬中檔題．13.函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn),若點(diǎn)在直線上,其中,則的最小值為_______．參考答案：814.若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于___▲_____參考答案：915.已知，則的最小值是__________．參考答案：16.設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為的前項(xiàng)和，已知，且構(gòu)成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：(1)由已知得解得a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q1＝2，q2＝.由題意q>1，∴q＝2，∴a1＝1.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1.(2)由于，n＝1，2，…，由(1)得，∴，∴∴

①

②①－②得:即∴17.已知程序框圖如圖所示，其功能是求一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式

，數(shù)列的前項(xiàng)和為

.

參考答案：，

考點(diǎn)：1.程序框圖；2.裂項(xiàng)抵消法．【方法點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對(duì)程序框圖的識(shí)圖、用圖能力和利用裂項(xiàng)抵消法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題；裂項(xiàng)抵消法是一種非常常見的求和方法，其解決的主要題型有：（1）；（2）；（3）.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在橢圓中，稱過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓所截得的弦為橢圓的“通徑”．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，其離心率為，通徑長(zhǎng)為3．（1）求橢圓的方程；（2）如圖所示，過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，、分別為、的內(nèi)心，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)，求四邊形的面積與的面積的比值；（3）在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：解：（1）由題意可知：，通徑為，解得：，故橢圓的方程為：

（3分）（2）由于、分別為、的內(nèi)心，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)和等面積法可知：點(diǎn)內(nèi)切圓的半徑，同理可得：點(diǎn)內(nèi)切圓的半徑

（5分）根據(jù)韋達(dá)定理可得：，，由于，則整理可得：（為常數(shù)）

（10分）則對(duì)恒成立

略19.點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過點(diǎn)F的直線l與曲線E交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，C，D兩點(diǎn)為曲線E上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且（），求四邊形ACBD面積的取值范圍.參考答案：(1)；(2).【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意，列出方程，整理化簡(jiǎn)即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)出直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式求得，再利用，建立直線與之間的聯(lián)系，再利用點(diǎn)到直線的距離，以及面積公式，將四邊形面積表示為函數(shù)形式，求該函數(shù)的值域即可.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則到直線的距離，由題可知：，即可得，兩邊平方整理可得：故曲線的方程為：.（2）因?yàn)?，故兩點(diǎn)不可能重合，則直線的斜率不可能為0，故可設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，可得，設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則可得，則故可得，因?yàn)?，故可得四點(diǎn)共線，故可得.不妨設(shè)直線方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程可得，設(shè)，則，即則，即則點(diǎn)到直線的距離為：將代入上式即可得：，，故又根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得：故四邊形面積，因?yàn)?，則，，故.故四邊形面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓軌跡方程的求解，以及橢圓中四邊形面積的范圍問題，計(jì)算量相對(duì)較大，屬綜合性困難題.20.已知，其中（）（1）當(dāng)時(shí)，求的定義域。（2）若對(duì)，恒有，求的取值范圍。參考答案：解：（1），的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，，所以