河南省安陽(yáng)市歐陽(yáng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

河南省安陽(yáng)市歐陽(yáng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若a=20.5，b=logπ3，c=ln，則（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞b＞c D．c＞a＞b參考答案：C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較．【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：∵a=20.5，＞1，0＜b=logπ3＜1，c=ln＜0，∴a＞b＞c．故選：C．2.已知圓交y軸正半軸于點(diǎn)A，在圓O上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則成立的概率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C3.已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，M={﹣1，0，3，4}，則集合P∩M中元素的個(gè)數(shù)為(

)A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專(zhuān)題】計(jì)算題；集合．【分析】求出P中不等式的解集確定出P，找出P與M的交集，即可確定出交集中元素的個(gè)數(shù)．【解答】解：由P中不等式變形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即P={x|﹣1≤x≤2}，∵M(jìn)={﹣1，0，3，4}，∴P∩M={﹣1，0}，則集合P∩M中元素的個(gè)數(shù)為2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．4.函數(shù)y＝cos，x∈R()．A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)C．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)參考答案：C5.函數(shù)f(x)按照下列方式定義:當(dāng)x≤2時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.方程的所有實(shí)數(shù)根之和是（）A.8

B.13

C.18

D.25參考答案：C根據(jù)題意得出函數(shù)的圖像如圖所示，與有6個(gè)交點(diǎn)，從小到大依次設(shè)為，根據(jù)圖像的對(duì)稱性可知，，，所以方程的所有根之和為2+6+10=18。

6.已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y成立，則常數(shù)a的最小值為(A)l

(B)2

(C)3

(D)4參考答案：D略7.設(shè)集合，，若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B． C．

D．或參考答案：B考點(diǎn)：1、集合的表示；2、集合的運(yùn)算.8.（2）已知A=｛x|x+1>0｝，B=｛-2，-1，0，1｝，則（RA）∩B= （ ） （A）｛-2，-1｝ （B）｛-2｝ （C）{-2，0，1} （D）{0，1}參考答案：AA：，，，所以答案選A9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A. B.C. D.π參考答案：D10.已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn).B9B

解析：∵f（x）=g（x）=，∴f[g（x）]=，∵x≥0時(shí)，由，可解得：x=1或1﹣（小于0，舍去）；x＜0時(shí)，由=0，可解得：x=﹣．∴函數(shù)f[g（x）]的所有零點(diǎn)之和是1=．故選：B．【思路點(diǎn)撥】先求得f[g（x）]的解析式，x≥0時(shí)，由，可解得：x=1或1﹣（小于0，舍去）；x＜0時(shí)，由=0，可解得：x=﹣，從而可求函數(shù)f[g（x）]的所有零點(diǎn)之和．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

與直線平行且與拋物線相切的直線方程是

。參考答案：

答案：12.若變量x，y滿足約束條件，則x＝3x＋2y的最大值為_(kāi)______參考答案：1713.設(shè)集合，集合若則集合的真子集的個(gè)數(shù)是__________.參考答案：略14.16．定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離，已知曲線C1：y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2：x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離，則實(shí)數(shù)a=_______。參考答案：15.函數(shù)的極值點(diǎn)為

.參考答案：16.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為

.參考答案：（）在等差數(shù)列中，設(shè)公差為，則由，得，，即，解得，所以。17.已知集合A={－1,1}，B={－3,0,1}，則集合A∩B=

．參考答案：{1}

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知公差的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．參考答案：（1）設(shè)公差為d.由已知得………3分解得，所以………6分（2），…………9分對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立

又∴的最小值為……………13分19.（13分）甲、乙兩超市同時(shí)開(kāi)業(yè)，第一年的年銷(xiāo)售額都為a萬(wàn)元，甲超市前n（n∈N+）年的總銷(xiāo)售額為（n2﹣n+2）萬(wàn)元；從第二年開(kāi)始，乙超市第n年的銷(xiāo)售額比前一年的銷(xiāo)售額多（）n﹣1a萬(wàn)元．（Ⅰ）設(shè)甲、乙兩超市第n年的銷(xiāo)售額分別為an，bn萬(wàn)元，求an，bn的表達(dá)式；（Ⅱ）若在同一年中，某一超市的年銷(xiāo)售額不足另一超市的年銷(xiāo)售額的50%，則該超市將被另一超市收購(gòu)．若今年為第一年，問(wèn)：在今后若干年內(nèi)，乙超市能否被甲超市收購(gòu)？若能，請(qǐng)推算出在哪一年底被收購(gòu)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：考點(diǎn)： 數(shù)列與函數(shù)的綜合．專(zhuān)題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： （Ⅰ）假設(shè)甲超市前n年總銷(xiāo)售額為Sn，則Sn=（n2﹣n+2）（n≥2），從而an=，由此能求出bn=[3﹣2（）n﹣1]a．（n∈N*）．（2）當(dāng)n=2時(shí)，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3時(shí)，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；當(dāng)n≥4時(shí)，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被甲超市收購(gòu)．由此能求出2020年年底乙超市將被甲超市收購(gòu)．解答： 解：（Ⅰ）假設(shè)甲超市前n年總銷(xiāo)售額為Sn，則Sn=（n2﹣n+2）（n≥2），因?yàn)閚=1時(shí)，a1=a，則n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣n+2）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）+2]=a（n﹣1），故an=，又b1=a，n≥2時(shí)，bn﹣bn﹣1=（）n﹣1a，故bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）=a+a+（）2a+…+（）n﹣1a=[1++（）2+…+（）n﹣1]a=a=[3﹣2（）n﹣1]a，顯然n=1也適合，故bn=[3﹣2（）n﹣1]a．（n∈N*）．（2）當(dāng)n=2時(shí)，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3時(shí)，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；當(dāng)n≥4時(shí)，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被甲超市收購(gòu)．當(dāng)n≥4時(shí)，令an＞bn，則（n﹣1）a＞[3﹣2（）n﹣1]an﹣1＞6﹣4?（）n﹣1．即n＞7﹣4?（）n﹣1．又當(dāng)n≥7時(shí)，0＜4?（）n﹣1＜1，故當(dāng)n∈N*且n≥7時(shí)，必有n＞7﹣4?（）n﹣1．即第7年乙超市的年銷(xiāo)售額不足甲超市的一半，即2020年年底乙超市將被甲超市收購(gòu)．點(diǎn)評(píng)： 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查在今后若干年內(nèi)，乙超市能否被甲超市收購(gòu)的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．20.已知函數(shù)f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．參考答案：【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【專(zhuān)題】三角函數(shù)的求值．【分析】（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．（2）由函數(shù)的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化簡(jiǎn)可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，從而求得cosα﹣sinα的值．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函數(shù)的增區(qū)間為，k∈Z．（2）由函數(shù)的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）即（sinα+cosα）=?（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，當(dāng)sinα+cosα=0時(shí)，此時(shí)cosα﹣sinα=﹣．當(dāng)sinα+cosα≠0時(shí)，此時(shí)cosα﹣sinα=﹣．綜上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的恒等變換，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．21.如圖,已知四邊形內(nèi)接于,且是的直徑,過(guò)點(diǎn)的的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).（I）若，，求的長(zhǎng)；（II）若，求的大小.參考答案：(Ⅰ)因?yàn)镸D為的切線,由切割線定理知,MD2=MAMB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB,

所以MA=3，AB=12－3=9.

（Ⅱ）因?yàn)锳M=AD，所以∠AMD=∠ADM,連接DB，又MD為的切線,由弦切角定理知,∠ADM=∠ABD，

又因?yàn)锳B是的直徑,所以∠ADB為直角，即∠BAD=90°-∠ABD.

又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD,于是90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°.又四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,所以∠BAD+∠DCB=180°,所以∠DCB=120°略22.（12分）橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P（2，1）的距離為．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．參考答案：考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．專(zhuān)題： 圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．分析： （Ⅰ）利用兩點(diǎn)間的距離公式可得c，再利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出a，b；（Ⅱ）把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D，可得kAD?kBD=﹣1，即可得出m與k的關(guān)系，從而得出答案．解答： 解：（Ⅰ）∵左焦點(diǎn)（﹣c，0）到點(diǎn)P（2，1）的距離為，∴，解得c=1．又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．∴所求橢圓C的方程為：．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化為3+4k2＞m2．∴，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．∵以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），kAD