2023年人教版七年級(jí)上冊(cè)同步講義：05 絕對(duì)值問(wèn)題（含解析）

第第頁(yè)2023年人教版七年級(jí)上冊(cè)同步講義：05絕對(duì)值問(wèn)題（含解析）中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)

2023年人教版七年級(jí)上冊(cè)同步講義：05絕對(duì)值問(wèn)題

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．理解絕對(duì)值的概念及其幾何意義，通過(guò)從數(shù)、形兩個(gè)方面理解絕對(duì)值的意義，初步了解數(shù)形結(jié)合的思想方法；

2．會(huì)求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，知道一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，會(huì)求這個(gè)數(shù)；

3．通過(guò)應(yīng)用絕對(duì)值解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲．

知識(shí)方法解讀

知識(shí)點(diǎn)1.絕對(duì)值

1.概念：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a的絕對(duì)值，記做|a|

2.幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的的距離，離原點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，絕對(duì)值越大；離原點(diǎn)的距離越近，絕對(duì)值越小。

3.絕對(duì)值的性質(zhì)（代數(shù)意義）：

一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.

即（1）如果a＞0，那么|a|=a

（2）如果a=0，那么|a|=0

（3）如果a＜0，那么|a|=-a

知識(shí)點(diǎn)2.利用絕對(duì)值比較兩個(gè)有理數(shù)的方法

1.兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小。

2.兩個(gè)正數(shù)比較，絕對(duì)值大數(shù)越大。

知識(shí)點(diǎn)3.對(duì)含有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)求值

1.首先判斷這個(gè)數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0.

2.再根據(jù)絕對(duì)值的意義判斷去掉絕對(duì)值的符號(hào)。

【知識(shí)拓展】

1）非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于他本身，即a≥0|a|=a。

2）非正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身的相反數(shù)，即a≤0|a|=-a。

3)一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不可能為負(fù)數(shù)。

4)一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。

【知識(shí)總結(jié)】

1.任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，|a|≥0

2.相反數(shù)、絕對(duì)值的聯(lián)系是什么？

（1）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等.

（2）絕對(duì)值相等，符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).

3.幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個(gè)數(shù)都為0.

4.注意絕對(duì)值等于某個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，他們互為相反數(shù)，解題時(shí)不要遺漏負(fù)值.

考點(diǎn)解析

考點(diǎn)1.絕對(duì)值的意義及求法

【類(lèi)型1】求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值

【例題1】－3的絕對(duì)值是()

A．3B．－3C．－D.

【類(lèi)型2】利用絕對(duì)值求有理數(shù)

【例題2】如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于，則這個(gè)數(shù)是__________．

【類(lèi)型3】化簡(jiǎn)絕對(duì)值

【例題3】化簡(jiǎn)：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．

考點(diǎn)2.絕對(duì)值的性質(zhì)及應(yīng)用

【類(lèi)型1】絕對(duì)值的非負(fù)性及應(yīng)用

【例題4】若|a－3|＋|b－2023|＝0，求a，b的值．

【類(lèi)型2】絕對(duì)值在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

【例題5】第53屆世乒賽于2023年4月26日至5月3日在蘇州舉辦，此次比賽中用球的質(zhì)量有嚴(yán)格的規(guī)定，下表是6個(gè)乒乓球質(zhì)量檢測(cè)的結(jié)果(單位：克，超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)重量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)).

一號(hào)球二號(hào)球三號(hào)球四號(hào)球五號(hào)球六號(hào)球

－0.50.10.20－0.08－0.15

(1)請(qǐng)找出三個(gè)誤差相對(duì)較小一些的乒乓球，并用絕對(duì)值的知識(shí)說(shuō)明．

(2)若規(guī)定與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量誤差不超過(guò)0.1g的為優(yōu)等品，超過(guò)0.1g但不超過(guò)0.3g的為合格品，在這六個(gè)乒乓球中，優(yōu)等品、合格品和不合格品分別是哪幾個(gè)乒乓球？請(qǐng)說(shuō)明理由．

考點(diǎn)精練

一、選擇題

1．若數(shù)軸上表示﹣1和3的兩點(diǎn)分別是點(diǎn)A和點(diǎn)B，則點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離是()

A．﹣4B．﹣2C．2D．4

2．（2022廣東）的值等于（）

A.2B.C.D.﹣2

3．下列說(shuō)法正確的是（）

A．一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定比0大

B．一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定比它本身小

C．絕對(duì)值等于它本身的數(shù)一定是正數(shù)

D．最小的正整數(shù)是1

4.若|x|=4，且x+y=0，那么y的值是（）

A．4B．﹣4C．±4D．無(wú)法確定

5.已知，，且，則的值為（）

A．1或7B．1或-7C．±1D．±7

6.-2的絕對(duì)值是（）

A.2B.C.D.

7.（2022廣西百色）﹣2023的絕對(duì)值等于（）

A.﹣2023B.2023C.土2023D.2022

8.（2022黑龍江綏化）化簡(jiǎn)，下列結(jié)果中，正確的是（）

A.B.C.2D.-2

9.（2022湖南邵陽(yáng)）－2022的絕對(duì)值是（）

A.B.C.－2022D.2022

10.（2022四川南充）下列計(jì)算結(jié)果為5的是（）

A.B.C.D.

二、填空題

1．寫(xiě)出一個(gè)負(fù)數(shù)，使這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值小于3__________．

2．計(jì)算：__________.

3.已知|a+2|=0，則a=．

4．在數(shù)軸上點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為5，點(diǎn)P表示的數(shù)是．

5．絕對(duì)值不大于2的所有整數(shù)為．

6.若，則________．

7.化簡(jiǎn)：

（1）；

（2）；

（3）.

8．絕對(duì)值不大于2的所有整數(shù)為_(kāi)_________．

9.﹣的絕對(duì)值是_____．

10.的絕對(duì)值是________．

11.（2022湖南常德）|－6|＝______．

三、解答題

1.求下列各數(shù)的絕對(duì)值.

12，-3/5-7.5，0.

2..判斷對(duì)錯(cuò)

（1）一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是4，則這數(shù)是－4.

（2）|3|＞0.

（3）|－1.3|＞0.

（4）有理數(shù)的絕對(duì)值一定是正數(shù).

（5）若a＝－b，則|a|＝|b|.

（6）若|a|＝|b|，則a＝b.

（7）若|a|＝－a，則a必為負(fù)數(shù).

（8）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等.

3．若|x|=4，且x+y=0，求y的值。

答案解析

考點(diǎn)解析

考點(diǎn)1.絕對(duì)值的意義及求法

【類(lèi)型1】求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值

【例題1】－3的絕對(duì)值是()

A．3B．－3C．－D.

【答案】A

【解析】根據(jù)一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，所以－3的絕對(duì)值是3.故選A.

【方法總結(jié)】一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.

【類(lèi)型2】利用絕對(duì)值求有理數(shù)

【例題2】如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于，則這個(gè)數(shù)是__________．

【答案】或－.

【解析】∵或－的絕對(duì)值都等于，∴絕對(duì)值等于的數(shù)是或－.

【方法總結(jié)】解答此類(lèi)問(wèn)題容易漏解、考慮問(wèn)題不全面，所以一定要記?。航^對(duì)值等于某一個(gè)數(shù)的值有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，0除外．

【類(lèi)型3】化簡(jiǎn)絕對(duì)值

【例題3】化簡(jiǎn)：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．

【答案】見(jiàn)解析。

【解析】|－|＝；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2.

方法總結(jié)：根據(jù)絕對(duì)值的意義解答．即若a＞0，則|a|＝a；若a＝0，則|a|＝0；若a＜0，則|a|＝－a.

考點(diǎn)2.絕對(duì)值的性質(zhì)及應(yīng)用

【類(lèi)型1】絕對(duì)值的非負(fù)性及應(yīng)用

【例題4】若|a－3|＋|b－2023|＝0，求a，b的值．

【答案】a＝3，b＝2023.

【解析】由絕對(duì)值的性質(zhì)可知|a－3|≥0，|b－2023|≥0，則有|a－3|＝|b－2023|＝0.

由絕對(duì)值的性質(zhì)得|a－3|≥0，|b－2023|≥0，又因?yàn)閨a－3|＋|b－2023|＝0，所以|a－3|＝0，|b－2023|＝0，所以a＝3，b＝2023.

【方法總結(jié)】如果幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，那么這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.

【類(lèi)型2】絕對(duì)值在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

【例題5】第53屆世乒賽于2023年4月26日至5月3日在蘇州舉辦，此次比賽中用球的質(zhì)量有嚴(yán)格的規(guī)定，下表是6個(gè)乒乓球質(zhì)量檢測(cè)的結(jié)果(單位：克，超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)重量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)).

一號(hào)球二號(hào)球三號(hào)球四號(hào)球五號(hào)球六號(hào)球

－0.50.10.20－0.08－0.15

(1)請(qǐng)找出三個(gè)誤差相對(duì)較小一些的乒乓球，并用絕對(duì)值的知識(shí)說(shuō)明．

(2)若規(guī)定與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量誤差不超過(guò)0.1g的為優(yōu)等品，超過(guò)0.1g但不超過(guò)0.3g的為合格品，在這六個(gè)乒乓球中，優(yōu)等品、合格品和不合格品分別是哪幾個(gè)乒乓球？請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】見(jiàn)解析。

【解析】由絕對(duì)值的幾何定義可知，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越小，離原點(diǎn)越近，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量越小，即絕對(duì)值越小，就越接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量．

(1)四號(hào)球，|0|＝0正好等于標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量，五號(hào)球，|－0.08|＝0.08，比標(biāo)準(zhǔn)球輕0.08克，二號(hào)球，|＋0.1|＝0.1，比標(biāo)準(zhǔn)球重0.1克．

(2)一號(hào)球|－0.5|＝0.5，不合格，二號(hào)球|＋0.1|＝0.1，優(yōu)等品，三號(hào)球|0.2|＝0.2，合格品，四號(hào)球|0|＝0，優(yōu)等品，五號(hào)球|－0.08|＝0.08，優(yōu)等品，六號(hào)球

|－0.15|＝0.15，合格品．

【方法總結(jié)】判斷質(zhì)量、零件尺寸等是否合格，關(guān)鍵是看偏差的絕對(duì)值的大小，而與正、負(fù)數(shù)無(wú)關(guān)．

考點(diǎn)精練

一、選擇題

1．若數(shù)軸上表示﹣1和3的兩點(diǎn)分別是點(diǎn)A和點(diǎn)B，則點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離是()

A．﹣4B．﹣2C．2D．4

【答案】D

【解析】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是要明確兩點(diǎn)之間的距離等于表示這兩點(diǎn)的數(shù)的差的絕對(duì)值．AB=|﹣1﹣3|=4，

2．（2022廣東）的值等于（）

A.2B.C.D.﹣2

【答案】A

【解析】根據(jù)數(shù)軸上某個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)的絕對(duì)值的定義，

在數(shù)軸上，點(diǎn)﹣2到原點(diǎn)的距離是2，

所以，故選A．

3．下列說(shuō)法正確的是（）

A．一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定比0大

B．一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定比它本身小

C．絕對(duì)值等于它本身的數(shù)一定是正數(shù)

D．最小的正整數(shù)是1

【答案】D．

【解析】分別利用絕對(duì)值以及有理數(shù)和相反數(shù)的定義分析得出即可．

A．一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定比0大，有可能等于0，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B．一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定比它本身小，負(fù)數(shù)的相反數(shù)，比它本身大，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C．絕對(duì)值等于它本身的數(shù)一定是正數(shù)，0的絕對(duì)值也等于其本身，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D．最小的正整數(shù)是1，正確．

4.若|x|=4，且x+y=0，那么y的值是（）

A．4B．﹣4C．±4D．無(wú)法確定

【答案】C．

【解析】首先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可得x=±4，再根據(jù)x+y=0分情況計(jì)算即可．

∵|x|=4，

∴x=±4，

∵x+y=0，

∴當(dāng)x=4時(shí)，y=﹣4，

當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=4。

5.已知，，且，則的值為（）

A．1或7B．1或-7C．±1D．±7

【答案】D

【解析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，結(jié)合，求出a、b的值，然后即可得到答案．

∵，，

∴，，

∵，

∴，或，；

∴；

或；

∴；故選：D．

6.-2的絕對(duì)值是（）

A.2B.C.D.

【答案】A

【解析】根據(jù)數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的定義進(jìn)行求解即可．

在數(shù)軸上，點(diǎn)-2到原點(diǎn)的距離是2，所以-2的絕對(duì)值是2，

故選：A．

7.（2022廣西百色）﹣2023的絕對(duì)值等于（）

A.﹣2023B.2023C.土2023D.2022

【答案】B

【解析】利用絕對(duì)值的代數(shù)意義，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，0的絕對(duì)值是0，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，據(jù)此直接計(jì)算即可．

根據(jù)絕對(duì)值的定義可得

【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的代數(shù)意義，掌握絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵．

8.（2022黑龍江綏化）化簡(jiǎn)，下列結(jié)果中，正確的是（）

A.B.C.2D.-2

【答案】A

【解析】根據(jù)絕對(duì)值的運(yùn)算法則，求出絕對(duì)值的值即可．

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)絕對(duì)值的意義求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值：①當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，│a│=a；②當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，│a│=-a；③當(dāng)a=0時(shí)，│0│=0．掌握求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的方法是解答本題的關(guān)鍵．

9.（2022湖南邵陽(yáng)）－2022的絕對(duì)值是（）

A.B.C.－2022D.2022

【答案】D

【解析】直接利用絕對(duì)值定義判斷即可．

-2022的絕對(duì)值是2022，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的定義，明確負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)是解題關(guān)鍵．

10.（2022四川南充）下列計(jì)算結(jié)果為5的是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】根據(jù)去括號(hào)法則及絕對(duì)值化簡(jiǎn)依次計(jì)算判斷即可．

A.-（+5）=-5，不符合題意；

B.+（-5）=-5，不符合題意；

C.-(-5)=5，符合題意；

D.，不符合題意；

故選：C．

【點(diǎn)睛】題目主要考查去括號(hào)法則及化簡(jiǎn)絕對(duì)值，熟練掌握去括號(hào)法則是解題關(guān)鍵．

二、填空題

1．寫(xiě)出一個(gè)負(fù)數(shù)，使這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值小于3__________．

【答案】-1

【解析】一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值等于它的本身，零的絕對(duì)值還是零，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)．

根據(jù)絕對(duì)值的定義及有理數(shù)的大小比較方法求解即可．

∵|-1|=1，1<3，∴這個(gè)負(fù)數(shù)可以是-1．故答案為：-1（答案不唯一）．

2．計(jì)算：__________.

【答案】8

【解析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)解答即可．

|﹣8|=8．

3.已知|a+2|=0，則a=．

【答案】2．

【解析】根據(jù)絕對(duì)值的意義得出a+2=0，即可得出結(jié)果．

由絕對(duì)值的意義得：a+2=0，

解得：a=2；

4．在數(shù)軸上點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為5，點(diǎn)P表示的數(shù)是．

【答案】±5．

【解析】根據(jù)數(shù)軸上各點(diǎn)到原點(diǎn)距離的定義進(jìn)行解答．即數(shù)軸上各點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于各點(diǎn)所表示的數(shù)絕對(duì)值．

∵在數(shù)軸上點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為5，即|x|=5，

∴x=±5．

5．絕對(duì)值不大于2的所有整數(shù)為．

【答案】0，±1，±2．

【解析】找出絕對(duì)值不大于2的所有整數(shù)即可．

絕對(duì)值不大于2的所有整數(shù)為0，±1，±2．

6.若，則________．

【答案】-6

【解析】一般地，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為零。

∵，∴，，

∴=2，，∴.故答案為-6.

7.化簡(jiǎn)：

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）-5，（2）5，（3）

【解析】本題考查的是絕對(duì)值、相反數(shù)的意義.

8．絕對(duì)值不大于2的所有整數(shù)為_(kāi)_________．

【答案】0，±1，±2．

【解析】找出絕對(duì)值不大于2的所有整數(shù)即可．

絕對(duì)值不大于2的所有整數(shù)為0，±1，±2．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了絕對(duì)值，熟練掌握絕對(duì)值的意義是解本題的關(guān)鍵．

9.﹣的絕對(duì)值是_____．

【答案】

【解析】絕對(duì)值是指一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，用“||”來(lái)表示．|b-a|或|a-b|表示數(shù)軸上表示a的點(diǎn)和表示b的點(diǎn)的距離.

﹣的絕對(duì)值是|﹣|=

【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對(duì)值，熟練掌握絕對(duì)值的定義是解題的關(guān)鍵.

10.的絕對(duì)值是________．

【答案】

【解析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，實(shí)數(shù)的絕對(duì)值永遠(yuǎn)是非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，即可得解．

根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，得

．

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值，掌握負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．

11.（2022湖南常德）|－6|＝______．

【答案】6

【解析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，直接求解即可．

故答案為6．

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的意義，正數(shù)的絕對(duì)值是其本身，0的絕對(duì)值是0，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；理解絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵．

三、解答題

1.求下列各數(shù)的絕對(duì)值.

12，-3/5-7.5，0.

【答案】見(jiàn)解析。

【解析】正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，|12|=12；

負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，|-3/5|