人教版初三數(shù)學(xué)：投影與視圖-知識(shí)講解

PAGE投影與視圖—知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.以分析實(shí)際例子為背景，認(rèn)識(shí)投影和視圖的基本概念和基本性質(zhì)；

2.通過(guò)討論簡(jiǎn)單立體圖形(包括相應(yīng)的表面展開(kāi)圖)與它的三視圖的相互轉(zhuǎn)化，經(jīng)歷畫(huà)圖、識(shí)圖等過(guò)程，分析立體圖形和平面圖形之間的聯(lián)系，提高空間想象能力；

3.通過(guò)制作立體模型的學(xué)習(xí)，在實(shí)際動(dòng)手中進(jìn)一步加深對(duì)投影和視圖知識(shí)的認(rèn)識(shí)，在實(shí)踐活動(dòng)中培養(yǎng)實(shí)際操作能力.

【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行投影

1.一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面(地面或墻壁等)上得到的影子，叫做物體的投影.只要有光線，有被光線照到的物體，就存在影子.太陽(yáng)光線可看做平行的，象這樣的光線照射在物體上，所形成的投影叫做平行投影.由此我們可得出這樣兩個(gè)結(jié)論：

(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽(yáng)光下，它們的影子一樣長(zhǎng).

(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度.

2.物高與影長(zhǎng)的關(guān)系（1）在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻，物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長(zhǎng)也是由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).

（2）在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例.

即：.

利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長(zhǎng)計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測(cè)量?jī)晌矬w在同一時(shí)刻的影長(zhǎng).

要點(diǎn)詮釋：

1．平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識(shí)解題要分清不同時(shí)刻和同一時(shí)刻.

2．物體與影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的就說(shuō)明是平行光線.

要點(diǎn)二、中心投影

若一束光線是從一點(diǎn)發(fā)出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影.這個(gè)“點(diǎn)”就是中心，相當(dāng)于物理上學(xué)習(xí)的“點(diǎn)光源”.生活中能形成中心投影的點(diǎn)光源主要有手電筒、路燈、臺(tái)燈、投影儀的燈光、放映機(jī)的燈光等.相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).

(2)等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.

在中心投影的情況下，還有這樣一個(gè)重要結(jié)論：點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.

要點(diǎn)詮釋：

光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).

要點(diǎn)三、中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系

1.聯(lián)系：

（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過(guò)平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽(yáng)光線、月光等，而中心投影是從一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點(diǎn)發(fā)射出來(lái)的光線.

（2）在平行投影中，同一時(shí)刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發(fā)生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發(fā)生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發(fā)生變化.

2.區(qū)別：

（1）太陽(yáng)光線是平行的，故太陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)度都與物體高度成比例；燈光是發(fā)散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例.

（2）同一時(shí)刻，太陽(yáng)光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.

要點(diǎn)詮釋：

在解決有關(guān)投影的問(wèn)題時(shí)必須先判斷準(zhǔn)確是平行投影還是中心投影，然后再根據(jù)它們的具體特點(diǎn)進(jìn)一步解決問(wèn)題.

要點(diǎn)四、正投影正投影的定義：

如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對(duì)著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.

(1)線段的正投影分為三種情況.如圖所示.

①線段AB平行于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長(zhǎng)相等；

②線段AB傾斜于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A2B2，長(zhǎng)小于線段AB的長(zhǎng)；

③線段AB垂直于投影面P時(shí)，它的正投影是一個(gè)點(diǎn).

(2)平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.

①當(dāng)平面圖形平行于投影面Q時(shí)，它的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個(gè)平面圖形全等；

②當(dāng)平面圖形傾斜于投影面Q時(shí)，平面圖形的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會(huì)縮小，是類似圖形但不一定相似.

③當(dāng)平面圖形垂直于投影面Q時(shí)，它的正投影是直線或直線的一部分.

(3)立體圖形的正投影.

物體的正投影的形狀、大小與物體相對(duì)于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過(guò)立體圖形的最大截面全等.

要點(diǎn)詮釋：

(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.

(2)由線段、平面圖形和立體圖形的正投影規(guī)律，可以識(shí)別或畫(huà)出物體的正投影.

(3)由于正投影的投影線垂直于投影面，一個(gè)物體的正投影與我們沿投影線方向觀察這個(gè)物體看到的圖象之間是有聯(lián)系的.

要點(diǎn)五、三視圖1.三視圖的概念

（1）視圖

從某一角度觀察一個(gè)物體時(shí)，所看到的圖象叫做物體的一個(gè)視圖.

（2）正面、水平面和側(cè)面

用三個(gè)互相垂直的平面作為投影面，其中正對(duì)我們的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右邊的面叫做側(cè)面.

（3）三視圖

一個(gè)物體在三個(gè)投影面內(nèi)同時(shí)進(jìn)行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.

2.三視圖之間的關(guān)系（1）位置關(guān)系

三視圖的位置是有規(guī)定的，主視圖要在左邊，它的下方應(yīng)是俯視圖，左視圖在其右邊，如圖(1)所示.

（2）大小關(guān)系

三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示.

要點(diǎn)詮釋：

物體的三視圖的位置是有嚴(yán)格規(guī)定的，不能隨意亂放.三視圖把物體的長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方面反映到各個(gè)視圖上，具體地說(shuō)，主視圖反映物體的長(zhǎng)和高；俯視圖反映物體的長(zhǎng)和寬，左視圖反映物體的高和寬，抓住這些特征能為畫(huà)物體的三視圖打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

要點(diǎn)六、畫(huà)幾何體的三視圖畫(huà)圖方法：

畫(huà)一個(gè)幾何體的三視圖時(shí)，要從三個(gè)方面觀察幾何體，具體畫(huà)法如下：

(1)確定主視圖的位置，畫(huà)出主視圖；

(2)在主視圖的正下方畫(huà)出俯視圖，注意與主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”；

(3)在主視圖的正右方畫(huà)出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.

幾何體上被其他部分遮擋而看不見(jiàn)的部分的輪廓線應(yīng)畫(huà)成虛線.

要點(diǎn)詮釋：

畫(huà)一個(gè)幾何體的三視圖，關(guān)鍵是把從正面、上方、左邊三個(gè)方向觀察時(shí)所得的視圖畫(huà)出來(lái)，所以，首先要注意觀察時(shí)視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確地用虛線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實(shí)踐，多與同學(xué)交流探討，多總結(jié)；最后，按三視圖的位置和大小要求從整體上畫(huà)出幾何體的三視圖.

要點(diǎn)七、由三視圖想象幾何體的形狀

由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面，然后綜合起來(lái)考慮整體圖形.

要點(diǎn)詮釋：

由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度，可以從如下途徑進(jìn)行分析：(1)根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高；(2)根據(jù)實(shí)線和虛線想象幾何體看得見(jiàn)和看不見(jiàn)的輪廓線；(3)熟記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖會(huì)對(duì)復(fù)雜幾何體的想象有幫助；(4)利用由三視圖畫(huà)幾何體與由幾何體畫(huà)三視圖為互逆過(guò)程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法.

【典型例題】類型一、投影的作圖問(wèn)題1．如何才能使如圖所示的兩棵樹(shù)在同一時(shí)刻的影長(zhǎng)分別與它們的原長(zhǎng)相等，試畫(huà)圖說(shuō)明．【答案與解析】(1)如圖所示．可在同一方向上畫(huà)出與原長(zhǎng)相等的影長(zhǎng)，此時(shí)為平行投影．(2)如圖所示，可在兩樹(shù)外側(cè)不同方向上畫(huà)出與原長(zhǎng)相等的影子，連結(jié)影子的頂點(diǎn)與樹(shù)的頂點(diǎn)．相交于點(diǎn)P．此時(shí)為中心投影，P點(diǎn)即為光源位置．【總結(jié)升華】連結(jié)物體頂點(diǎn)與其影長(zhǎng)的頂點(diǎn)，如果得到的是平行線，即為平行投影；如果得到相交直線，則為中心投影，這是判斷平行投影與中心投影的方法，也是確定中心投影光源位置的基本做法．但若中心投影光源在兩樹(shù)同側(cè)時(shí)，圖中的兩棵樹(shù)的影長(zhǎng)不可能同時(shí)與原長(zhǎng)相等，所以點(diǎn)光源可以選在兩樹(shù)之間．特別提醒：易錯(cuò)認(rèn)為只有平行投影才能使兩棵樹(shù)在同一時(shí)刻的影長(zhǎng)分別與它們的原長(zhǎng)相等，從而漏掉上圖這一情形．舉一反三：【變式】與一盞路燈相對(duì)，有一玻璃幕墻，幕墻前面的地面上有一盆花CD和一棵樹(shù)AB．晚上，幕墻反射路燈，燈光形成那盆花的影子DF，樹(shù)影BE是路燈燈光直接形成的，如圖所示，你能確定此時(shí)路燈光源的位置嗎?【答案】作法如下：①連結(jié)FC并延長(zhǎng)交玻璃幕墻于O點(diǎn)；②過(guò)點(diǎn)O作直線OG垂直于玻璃幕墻面；③在OC另一側(cè)作∠POG＝∠FOG且交EA延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．P點(diǎn)即此時(shí)路燈光源位置，如圖所示．類型二、投影的應(yīng)用2．某數(shù)學(xué)興趣小組，利用樹(shù)影測(cè)量樹(shù)高，如圖（1），已測(cè)出樹(shù)AB的影長(zhǎng)AC為12米，并測(cè)出此時(shí)太陽(yáng)光線與地面成30°夾角．（1）求出樹(shù)高AB；（2）因水土流失，此時(shí)樹(shù)AB沿太陽(yáng)光線方向倒下，在傾倒過(guò)程中，樹(shù)影長(zhǎng)度發(fā)生了變化，假設(shè)太陽(yáng)光線與地面夾角保持不變．求樹(shù)的最大影長(zhǎng)．（用圖（2）解答）【答案與解析】解：（1）AB=ACtan30°=12×=4（米）．答：樹(shù)高約為4米．（2）如圖（2），B1N=AN=AB1sin45°=4×=2（米）．NC1=NB1tan60°=2×=6（米）．AC1=AN+NC1=2+6．當(dāng)樹(shù)與地面成60°角時(shí)影長(zhǎng)最大AC2（或樹(shù)與光線垂直時(shí)影長(zhǎng)最大或光線與半徑為AB的⊙A相切時(shí)影長(zhǎng)最大）AC2=2AB2=；【總結(jié)升華】此題考查了平行投影；通過(guò)作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題，當(dāng)太陽(yáng)光線與圓弧相切時(shí)樹(shù)影最長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．類型三、由三視圖描述物體的形狀3．如圖所示，這是個(gè)由小立方體搭成的幾何體從上面看的視角，小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方體的個(gè)數(shù)，請(qǐng)畫(huà)出從正面看和左面看的視圖．【思路點(diǎn)撥】由已知條件可知，從正面看有4列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為2，2，3，2；從左面看有2列，每列小正方形數(shù)目分別為3，2．據(jù)此可畫(huà)出圖形．【解析】解：如圖所示：．【總結(jié)升華】此題主要考查了幾何體的三視圖畫(huà)法．由幾何體的俯視圖及小正方形內(nèi)的數(shù)字，可知主視圖的列數(shù)與俯視數(shù)的列數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中該列小正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中相應(yīng)行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．類型四、三視圖的有關(guān)計(jì)算4．某工廠要對(duì)一機(jī)器零件表面進(jìn)行噴漆，設(shè)計(jì)者給出了該零件的三視圖(如圖所示)，請(qǐng)你根據(jù)三視圖確定其噴漆的面積．【答案與解析】長(zhǎng)方體的表面積為(30×40+40×25+25×30)×2＝5900(cm2)，圓柱體的側(cè)面積為3.14×20×32＝2010(cm2)，其噴漆的面積為5900+2010＝7910(cm2)．【總結(jié)升華】由該機(jī)械零件的三視圖，可想象它是一個(gè)組合體，是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)圓柱體組成．其表面積是一個(gè)長(zhǎng)方體的六個(gè)面與圓柱體的側(cè)面構(gòu)成．(圓柱體的上表面補(bǔ)在長(zhǎng)方體的上表面被圓柱體遮擋的部分).該組合體是由一長(zhǎng)方體與一圓柱體組合而成，但不能認(rèn)為組合體的表面積就是兩幾何體的表面積之和．舉一反三：【高清課程名稱：投影與視圖高清ID號(hào)：398414關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：課題學(xué)習(xí)】【變式】某工廠要加工一批密封罐，設(shè)計(jì)者給出了密封罐的三視圖(如圖所示)，請(qǐng)你按照三視圖確定制作每個(gè)密封罐所需鋼板的面積(單位：mm)．【答案】由三視圖可知，密封罐的形狀是正六棱柱(如圖(1)所示)．密封罐的高為50mm，底面正六邊形的對(duì)角線為100mm，邊長(zhǎng)為50mm，如圖(2)所示．由展開(kāi)圖可知，制作一個(gè)密封罐所需鋼板的面積為S＝6×50×50+2×6××50×50×sin60°＝6×50°×≈27990(mm2)．附錄資料：弧長(zhǎng)和扇形面積、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖—知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)復(fù)習(xí)圓的周長(zhǎng)、圓的面積公式，探索n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)和扇形面積

的計(jì)算公式，并應(yīng)用這些公式解決問(wèn)題；

2.了解圓錐母線的概念，理解圓錐側(cè)面積計(jì)算公式，理解圓錐全面積的計(jì)算方法，會(huì)應(yīng)用公式解決問(wèn)題；3.能準(zhǔn)確計(jì)算組合圖形的面積.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、弧長(zhǎng)公式

半徑為R的圓中

360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)(圓的周長(zhǎng))公式：

n°的圓心角所對(duì)的圓的弧長(zhǎng)公式：(弧是圓的一部分)

要點(diǎn)詮釋：

(1)對(duì)于弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

(3)弧長(zhǎng)公式所涉及的三個(gè)量：弧長(zhǎng)、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

要點(diǎn)二、扇形面積公式

1.扇形的定義

由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.

2.扇形面積公式

半徑為R的圓中

360°的圓心角所對(duì)的扇形面積(圓面積)公式：

n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式：

要點(diǎn)詮釋：

(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.

要點(diǎn)三、圓錐的側(cè)面積和全面積

連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.

圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為r，側(cè)面展開(kāi)圖中的扇形圓心角為n°，則

圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積.

要點(diǎn)詮釋：

扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長(zhǎng)就是圓錐底面圓的周長(zhǎng).因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開(kāi)圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.

【典型例題】類型一、弧長(zhǎng)和扇形的有關(guān)計(jì)算1．如圖（1），AB切⊙O于點(diǎn)B，OA=，AB=3，弦BC∥OA，則劣弧的弧長(zhǎng)為（）．A． CBAO B． C． D．CBAO圖（1）【答案】A.【解析】連結(jié)OB、OC，如圖（2）則，OB=，，，由弦BC∥OA得，所以△OBC為等邊三角形，.則劣弧的弧長(zhǎng)為，故選A.圖（2）【總結(jié)升華】主要考查弧長(zhǎng)公式：.舉一反三：【變式】制作彎形管道時(shí)，需要先按中心線計(jì)算“展直長(zhǎng)度”再下料，試計(jì)算如圖所示的管道的展直長(zhǎng)度，即的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.1mm)

【答案】R=40mm，n=110

∴的長(zhǎng)==≈76.8(mm)

因此，管道的展直長(zhǎng)度約為76.8mm．

【高清ID號(hào)：359387高清課程名稱：弧長(zhǎng)扇形圓柱圓錐關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：經(jīng)典例題1-2】2．如圖，⊙O的半徑等于1，弦AB和半徑OC互相平分于點(diǎn)M.求扇形OACB的面積（結(jié)果保留π）【答案與解析】∵弦AB和半徑OC互相平分，

∴OC⊥AB，

OM=MC=OC=OA．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S扇形=．【總結(jié)升華】運(yùn)用了垂徑定理的推論，考查扇形面積計(jì)算公式.舉一反三：【高清ID號(hào)：359387高清課程名稱：弧長(zhǎng)扇形圓柱圓錐關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：經(jīng)典例題1-2】【變式】如圖（1），在△ABC中，BC=4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的⊙A與BC相切于點(diǎn)D，交AB于E，交AC于F，點(diǎn)P是⊙A上的一點(diǎn)，且∠EPF=40°，則圖中陰影部分的面積是（）．A．B