線性代數(shù)初步-矩陣（高等數(shù)學(xué)課件）

矩陣的初等變換與秩（二）線性代數(shù)初步1.矩陣的秩的概念知識點講解2.矩陣的行等價顯然，矩陣的階子式共有個。矩陣的秩的概念定義1在矩陣中，任取行列（），位于這些行列交點處的元素（不改變元素的相對位置）所構(gòu)成的階行列式，稱為矩陣的一個階子式.顯然，矩陣的階子式共有個.顯然，矩陣的階子式共有個。矩陣的秩的概念定義2在矩陣中，一切非零子式的最高階數(shù)稱為矩陣的秩.即矩陣中至少有一個階子式不等于零，且所有階子式（若有的話）都等于零，則稱為矩陣的秩，記做.注

（1）零矩陣的秩是零；

（2）.當(dāng)時，稱為滿秩矩陣；

當(dāng)時，稱為降秩矩陣.若兩個矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個矩陣為同型矩陣。用初等變換求矩陣的秩定理1一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩矩陣經(jīng)過初等變換后其秩數(shù)不變.凡是行階梯形矩陣，它的非零子式的最高階數(shù)都等于它的非零行的行數(shù)，即行階梯形矩陣的秩等于其非零行的行數(shù).例題一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩求矩陣的秩.例題解故課程小結(jié)本節(jié)介紹了矩陣的秩的概念及利用初等變換求解矩陣的秩.矩陣的初等變換與秩（一）線性代數(shù)初步1.矩陣的初等變換概念知識點講解2.矩陣行等價問題導(dǎo)入

回顧中學(xué)學(xué)習(xí)的用消元法求解線性方程組的具體作法，就是對方程反復(fù)實施以下三種變換：1.交換某兩個方程組的位置；2.用一個非零數(shù)乘以某一個方程的兩邊；3.用一個非零數(shù)乘以某一個方程的兩邊加到另一個方程上去.對應(yīng)的矩陣是否也有類似的變換？若兩個矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個矩陣為同型矩陣。矩陣的初等變換概念定義1對矩陣的行（列）施行下列三種變換，稱為矩陣的初等行（列）變換：（1）交換矩陣的第，兩行（列），記做

；（2）用數(shù)乘以矩陣的第行（列），記做

；矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.（3）用數(shù)乘以矩陣的第行（列）加到第行（列）上，記做.若兩個矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個矩陣為同型矩陣。矩陣的行等價定義2一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩若一個矩陣中每個非零行的首元素（第一個非零元素）出現(xiàn)在上一行非零首元素右邊，同時沒有一個非零行出現(xiàn)在零行之下，則稱這個矩陣為行階梯形矩陣.若兩個矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個矩陣為同型矩陣。矩陣的行等價定義3一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩每一個非零行的非零首元素為1，且包含非零首元素的列中，其他元素均為零的行階梯形矩陣，稱為行最簡階梯形矩陣.例題一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩用行初等變換將矩陣化為行階梯形矩陣和行最簡階梯形矩陣

.例題解即課程小結(jié)矩陣的初等變換是線性代數(shù)的基本運算，熟練地掌握矩陣的初等變換是至關(guān)重要的.對矩陣進行初等變換后，新矩陣與原來矩陣不再相等.故原矩陣與新矩陣之間只能用箭頭連接，而不能用等號連接.矩陣的行階梯形矩陣不是唯一的，但矩陣的行最簡階梯形矩陣是唯一的.矩陣的定義與運算線性代數(shù)初步1.矩陣的定義知識點講解2.矩陣的運算問題導(dǎo)入在物資調(diào)運中，往往要考慮如何調(diào)運物資使得總運費最低，某地區(qū)某物資調(diào)運方案如下表：其中表示產(chǎn)地到銷地的數(shù)量，其實能反應(yīng)問題實質(zhì)的是其中的數(shù)據(jù)，這個表可以簡單表示，在數(shù)學(xué)上稱之為矩陣.若兩個矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個矩陣為同型矩陣。矩陣的定義定義1稱為一個行列矩陣，簡稱矩陣.其中橫排稱行，縱排稱列，

是位于矩陣第行第列的元素.通常用大寫字母表示矩陣.可記做或，也可簡記做或

.若兩個矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個矩陣為同型矩陣.若兩個矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個矩陣為同型矩陣。矩陣的定義定義2若矩陣與滿足：

若兩個矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個矩陣為同型矩陣。矩陣的運算定義3矩陣的加法設(shè)有兩個矩陣和將它們對應(yīng)元素相加（減）而得到的矩陣，稱為矩陣與矩陣的和（差），即.注意

只有兩個矩陣具有相同行數(shù)和相同列數(shù)時，兩個矩陣才可以相加減.若兩個矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個矩陣為同型矩陣。矩陣的運算定義4數(shù)與矩陣的乘法設(shè)有矩陣，為任意實數(shù)，實數(shù)與的每一個元素相乘所得的矩陣，稱為數(shù)與矩陣的乘積，記做，即.若兩個矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個矩陣為同型矩陣。矩陣的運算矩陣的加減法和數(shù)乘矩陣滿足以下規(guī)律：（1）交換律：;（2）結(jié)合律：,;（3）分配律：，;（4）,,.若兩個矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個矩陣為同型矩陣。矩陣的運算定義5矩陣乘法設(shè)矩陣矩陣則由元素

(

;

)構(gòu)成矩陣，稱為矩陣與的乘積，記做即.注意1、只有矩陣的列數(shù)等于矩陣的行數(shù)時，矩陣才有意義.2、若，則的行數(shù)等于的行數(shù)，列數(shù)等于的列數(shù).若兩個矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個矩陣為同型矩陣。矩陣的運算矩陣運算規(guī)律：（1）結(jié)合律：;（2）分配律：,;（3）（為常數(shù)）.課程小結(jié)本節(jié)內(nèi)容主要介紹了矩陣的定義和運算.矩陣的逆及其求法線性代數(shù)初步1.逆矩陣的定義知識點講解2.逆矩陣的求法問題導(dǎo)入一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩在數(shù)的運算中，數(shù)，存在唯一的一個數(shù)，使或.對于矩陣，是否也存在類似的計算？顯然，矩陣的階子式共有個。逆矩陣的概念定義1一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩對于階方陣，若存在一個階方陣,使得

，則稱是可逆的，并稱是的逆矩陣，記做.顯然，矩陣的階子式共有個。逆矩陣的概念定義2由階方陣的行列式各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣，稱為矩陣的伴隨矩陣.

顯然，矩陣的階子式共有個。定理1

階方陣可逆的充要條件是，有（為的伴隨矩陣）.定理2如果階方陣可逆，則經(jīng)過若干次的初等變換將可化為階單位矩陣.逆矩陣的求法若兩個矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個矩陣為同型矩陣。逆矩陣的求法用初等變換求逆矩陣的方法（1）階方陣和階單位矩陣，構(gòu)成矩陣;（2）對進行行初等變換，初等變換將化為單位矩陣時，

就變成了，即.例題一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩例一求矩陣的逆矩陣.例題解,故存在.又因為;;;;;;;;.

例題因此