線性代數(shù)初步-矩陣（高等數(shù)學(xué)課件）

矩陣的初等變換與秩（二）線性代數(shù)初步1.矩陣的秩的概念知識(shí)點(diǎn)講解2.矩陣的行等價(jià)顯然，矩陣的階子式共有個(gè)。矩陣的秩的概念定義1在矩陣中，任取行列（），位于這些行列交點(diǎn)處的元素（不改變?cè)氐南鄬?duì)位置）所構(gòu)成的階行列式，稱為矩陣的一個(gè)階子式.顯然，矩陣的階子式共有個(gè).顯然，矩陣的階子式共有個(gè)。矩陣的秩的概念定義2在矩陣中，一切非零子式的最高階數(shù)稱為矩陣的秩.即矩陣中至少有一個(gè)階子式不等于零，且所有階子式（若有的話）都等于零，則稱為矩陣的秩，記做.注

（1）零矩陣的秩是零；

（2）.當(dāng)時(shí)，稱為滿秩矩陣；

當(dāng)時(shí)，稱為降秩矩陣.若兩個(gè)矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣。用初等變換求矩陣的秩定理1一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩矩陣經(jīng)過(guò)初等變換后其秩數(shù)不變.凡是行階梯形矩陣，它的非零子式的最高階數(shù)都等于它的非零行的行數(shù)，即行階梯形矩陣的秩等于其非零行的行數(shù).例題一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩求矩陣的秩.例題解故課程小結(jié)本節(jié)介紹了矩陣的秩的概念及利用初等變換求解矩陣的秩.矩陣的初等變換與秩（一）線性代數(shù)初步1.矩陣的初等變換概念知識(shí)點(diǎn)講解2.矩陣行等價(jià)問(wèn)題導(dǎo)入

回顧中學(xué)學(xué)習(xí)的用消元法求解線性方程組的具體作法，就是對(duì)方程反復(fù)實(shí)施以下三種變換：1.交換某兩個(gè)方程組的位置；2.用一個(gè)非零數(shù)乘以某一個(gè)方程的兩邊；3.用一個(gè)非零數(shù)乘以某一個(gè)方程的兩邊加到另一個(gè)方程上去.對(duì)應(yīng)的矩陣是否也有類似的變換？若兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣。矩陣的初等變換概念定義1對(duì)矩陣的行（列）施行下列三種變換，稱為矩陣的初等行（列）變換：（1）交換矩陣的第，兩行（列），記做

；（2）用數(shù)乘以矩陣的第行（列），記做

；矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.（3）用數(shù)乘以矩陣的第行（列）加到第行（列）上，記做.若兩個(gè)矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣。矩陣的行等價(jià)定義2一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩若一個(gè)矩陣中每個(gè)非零行的首元素（第一個(gè)非零元素）出現(xiàn)在上一行非零首元素右邊，同時(shí)沒(méi)有一個(gè)非零行出現(xiàn)在零行之下，則稱這個(gè)矩陣為行階梯形矩陣.若兩個(gè)矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣。矩陣的行等價(jià)定義3一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩每一個(gè)非零行的非零首元素為1，且包含非零首元素的列中，其他元素均為零的行階梯形矩陣，稱為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣.例題一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩用行初等變換將矩陣化為行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)階梯形矩陣

.例題解即課程小結(jié)矩陣的初等變換是線性代數(shù)的基本運(yùn)算，熟練地掌握矩陣的初等變換是至關(guān)重要的.對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換后，新矩陣與原來(lái)矩陣不再相等.故原矩陣與新矩陣之間只能用箭頭連接，而不能用等號(hào)連接.矩陣的行階梯形矩陣不是唯一的，但矩陣的行最簡(jiǎn)階梯形矩陣是唯一的.矩陣的定義與運(yùn)算線性代數(shù)初步1.矩陣的定義知識(shí)點(diǎn)講解2.矩陣的運(yùn)算問(wèn)題導(dǎo)入在物資調(diào)運(yùn)中，往往要考慮如何調(diào)運(yùn)物資使得總運(yùn)費(fèi)最低，某地區(qū)某物資調(diào)運(yùn)方案如下表：其中表示產(chǎn)地到銷地的數(shù)量，其實(shí)能反應(yīng)問(wèn)題實(shí)質(zhì)的是其中的數(shù)據(jù)，這個(gè)表可以簡(jiǎn)單表示，在數(shù)學(xué)上稱之為矩陣.若兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣。矩陣的定義定義1稱為一個(gè)行列矩陣，簡(jiǎn)稱矩陣.其中橫排稱行，縱排稱列，

是位于矩陣第行第列的元素.通常用大寫字母表示矩陣.可記做或，也可簡(jiǎn)記做或

.若兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣.若兩個(gè)矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣。矩陣的定義定義2若矩陣與滿足：

若兩個(gè)矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣。矩陣的運(yùn)算定義3矩陣的加法設(shè)有兩個(gè)矩陣和將它們對(duì)應(yīng)元素相加（減）而得到的矩陣，稱為矩陣與矩陣的和（差），即.注意

只有兩個(gè)矩陣具有相同行數(shù)和相同列數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才可以相加減.若兩個(gè)矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣。矩陣的運(yùn)算定義4數(shù)與矩陣的乘法設(shè)有矩陣，為任意實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)與的每一個(gè)元素相乘所得的矩陣，稱為數(shù)與矩陣的乘積，記做，即.若兩個(gè)矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣。矩陣的運(yùn)算矩陣的加減法和數(shù)乘矩陣滿足以下規(guī)律：（1）交換律：;（2）結(jié)合律：,;（3）分配律：，;（4）,,.若兩個(gè)矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣。矩陣的運(yùn)算定義5矩陣乘法設(shè)矩陣矩陣則由元素

(

;

)構(gòu)成矩陣，稱為矩陣與的乘積，記做即.注意1、只有矩陣的列數(shù)等于矩陣的行數(shù)時(shí)，矩陣才有意義.2、若，則的行數(shù)等于的行數(shù)，列數(shù)等于的列數(shù).若兩個(gè)矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣。矩陣的運(yùn)算矩陣運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：;（2）分配律：,;（3）（為常數(shù)）.課程小結(jié)本節(jié)內(nèi)容主要介紹了矩陣的定義和運(yùn)算.矩陣的逆及其求法線性代數(shù)初步1.逆矩陣的定義知識(shí)點(diǎn)講解2.逆矩陣的求法問(wèn)題導(dǎo)入一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩在數(shù)的運(yùn)算中，數(shù)，存在唯一的一個(gè)數(shù)，使或.對(duì)于矩陣，是否也存在類似的計(jì)算？顯然，矩陣的階子式共有個(gè)。逆矩陣的概念定義1一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩對(duì)于階方陣，若存在一個(gè)階方陣,使得

，則稱是可逆的，并稱是的逆矩陣，記做.顯然，矩陣的階子式共有個(gè)。逆矩陣的概念定義2由階方陣的行列式各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣，稱為矩陣的伴隨矩陣.

顯然，矩陣的階子式共有個(gè)。定理1

階方陣可逆的充要條件是，有（為的伴隨矩陣）.定理2如果階方陣可逆，則經(jīng)過(guò)若干次的初等變換將可化為階單位矩陣.逆矩陣的求法若兩個(gè)矩陣(的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣。逆矩陣的求法用初等變換求逆矩陣的方法（1）階方陣和階單位矩陣，構(gòu)成矩陣;（2）對(duì)進(jìn)行行初等變換，初等變換將化為單位矩陣時(shí)，

就變成了，即.例題一元函數(shù)，但在自然科學(xué)和工程兩例一求矩陣的逆矩陣.例題解,故存在.又因?yàn)?;;;;;;;.

例題因此