第三章-概率論習題課課件

第三章多維隨機變量及其分布習題課第三章多維隨機變量及其分布習題課1例

1

為了進行吸煙與肺癌關系的研究，隨機調(diào)查了23000個40歲以上的人，其結果列在下表之中.X=1若被調(diào)查者不吸煙,X=0若被調(diào)查者吸煙,Y=1若被調(diào)查者未患肺癌,Y=0若被調(diào)查者患肺癌.例1為了進行吸煙與肺癌關系的研究，X=12令:從表中的每一種情況出現(xiàn)的次數(shù)計算出它們的頻率,就產(chǎn)生了二維隨機向量(X,Y)的概率分布:P{X=0,Y=0}≈3/23000=0.00013,P{X=1,Y=0}≈1/23000=0.00004,P{X=0,Y=1}≈4597/23000=0.19987,P{X=1,Y=1}≈18399/23000=0.79996.令:從表中的每一種情況出現(xiàn)的次數(shù)計算出它們的頻率,就產(chǎn)生了二3例2

一個袋中有三個球,依次標有數(shù)字1,2,2,從中任取一個,不放回袋中,再任取一個,設每次取球時,各球被取到的可能性相等,以X,Y分別記第一次和第二次取到的球上標有的數(shù)字,求(X,Y)的分布律與分布函數(shù).

(X,Y)的可能取值為解例2一個袋中有三個球,依次標有數(shù)字1,2,2,4故(X,Y)的分布律為下面求分布函數(shù).故(X,Y)的分布律為下面求分布函數(shù).5第三章-概率論習題課ppt課件6第三章-概率論習題課ppt課件7所以(X,Y)

的分布函數(shù)為所以(X,Y)的分布函數(shù)為8例3

二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布為:X-101Y012

0.050.10.10.10.20.1a0.20.05求:(1)常數(shù)a的取值;(2)P(X≥0,Y≤1);(3)P(X≤1,Y≤1)例3二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布為:XY9(1)由∑pij=1得:a=0.1(2)由P{(X,Y)∈D}=得P(X≥0,Y≤1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P(X≤1,Y≤1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.75(1)由∑pij=1得:a=0.1(2)由P{(X,10XY-10121P{X≥0,Y≤1}P(X≤1,Y≤1}XY-10121P{X≥0,Y≤1}P(X≤1,Y≤1}11例4

例412解解13(2)將(X,Y)看作是平面上隨機點的坐標,即有(2)將(X,Y)看作是平面上隨機點的坐標,即有14例5

若(X,Y)～試求:(1)常數(shù)A;(3)P（X≤x,Y≤y）；(4)P{(X,Y)∈D},其中D為2x+3y≤6.(2)P{X<2,Y<1};例5若(X,Y)～試求:(1)常數(shù)A;(3)P15所以,A=6=A/6=1所以,A=6=A/6=116XY0P{X<2,Y<1}21{X<2,Y<1}XY0P{X<2,Y<1}21{X<2,Y<1}17(3)xXY0y所以,當x≥0,y≥0時,(3)xXY0y所以,當x≥0,y≥0時,18(4)P{(X,Y)∈D},其中D為2x+3y≤6.322x+3y=6XY0(4)P{(X,Y)∈D},其中D為2x+3y≤6.32219解:

(1)例

6設(X,Y)的概率密度函數(shù)為其中A是常數(shù).(1)求常數(shù)A.(2)求(X,Y)的分布函數(shù)；(3)計算P{0<X<4,0<Y<5}.解:(1)例6設(X,Y)的概率密度函數(shù)為其中A是常數(shù)20第三章-概率論習題課ppt課件21(3)P{0<X<4,0<Y<5}(3)P{0<X<4,0<Y<5}22解:例

7

設(X,Y)的分布律為求:分量X和Y的邊緣分布.解:例7設(X,Y)的分布律為求:分量X和Y的邊23把這些數(shù)據(jù)補充到前面表上:把這些數(shù)據(jù)補充到前面表上:24例8

已知(X,Y)的分布函數(shù)為求FX(x)與FY(y)。例8已知(X,Y)的分布函數(shù)為求FX(x)與FY(y25解例9

解例926第三章-概率論習題課ppt課件27第三章-概率論習題課ppt課件28例10設(X,Y)的聯(lián)合密度為其中k為常數(shù).求常數(shù)k;

P(X+Y1),P(X<0.5);聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);邊緣密度與邊緣分布函數(shù)例10設(X,Y)的聯(lián)合密度為其中k為常數(shù).29y=x10xy解令D(1)y=x10xy解令D(1)30x+y=1y=x10xy(2)0.5x+y=1y=x10xyy=x10xy0.5x+y=1y=x10xy(2)0.5x+y=1y=31的分段區(qū)域y=x10xyD的分段區(qū)域y=x10xyD32當0

x<

1,0y<

x時，1(3)當x<0或y<0時,F(x,y)=0當0

x<1,xy<1時，v=u10uv當0x<1,0y<x時，1(3)當x<0或33當0

x<1,y1時，v=u10uv1當0x<1,y1時，v=u10uv134當x

1,0y<1時，v=u10uv1當x

1,y1時，當x1,0y<1時，v=u10uv1當x35F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0

x<1,0y<

x2x2y2–y4,

0

x<1,x

y<12x2–x4,0x<1,y1y4,x

1,0y<11,x

1,y1F(x,y)=0,x<036(4)=0,x<0，2x2–x4,0

x<

1,1,x

10,y<0y4,0y<

1,

1,y1=(4)=0,x<0，2x2–37第三章-概率論習題課ppt課件38當然也可直接由聯(lián)合密度求邊緣密度，例如v=u10uv1當然也可直接由聯(lián)合密度求邊緣密度，例如v=u10uv139解:例11設隨機變量(X,Y)的分布律為:P{X=0}P{Y=0}=0.20.00017≠0.00013=P{X=0,Y=0}∴X和Y不相互獨立.討論隨機變量X與Y的獨立性.解:例11設隨機變量(X,Y)的分布律為:40解例12

解例1241(1)由分布律的性質(zhì)知(1)由分布律的性質(zhì)知42特別有又(2)因為X與Y相互獨立,所以有特別有又(2)因為X與Y相互獨立,所以有43例13設二維隨機變量(X，Y)具有密度函數(shù)試求（1）常數(shù)C；（2）(X，Y)落在如下圖所示的三角區(qū)域內(nèi)D的概率；（3）關于X,Y的邊緣分布并判斷X,Y是否相互獨立．解(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)，可得例13設二維隨機變量(X，Y)具有密度函數(shù)試求（1）常數(shù)C；44故(2)故(2)45(3)關于X的邊緣密度函數(shù)為當時，當時，故有(3)關于X的邊緣密度函數(shù)為當時，當時46同理可求得關于Y的邊緣密度函數(shù)為因為對任意的實數(shù)x,y，都有所以X,Y相互獨立.同理可求得關于Y的邊緣密度函數(shù)為因為對任意的實數(shù)x,y47例14設二維隨機變量(X，Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，求關于X,Y的邊緣分布并判斷X,Y是否相互獨立．解由均勻分布的定義，(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)則關于X的邊緣密度函數(shù)為例14設二維隨機變量(X，Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，48關于Y的邊緣密度函數(shù)為所以X,Y不相互獨立.關于Y的邊緣密度函數(shù)為所以X,Y不相互獨立.49例15

已知(X,Y)~Z=X+Y,求fZ(z)解法一分布函數(shù)法解法二圖形定限法解法三不等式組法例15已知(X,Y)~Z=X+Y,求50解法一（分布函數(shù)法）

x+y=z當z<0時，1yx1解法一（分布函數(shù)法）x+y=z當z<0時，1yx151當0z<1時，yx11x+y=z?z?z當0z<1時，yx11x+y=z?z?z52x+y=z當1

z<2時，z-11yx1?z?zx+y=z當1z<2時，z-11yx1?z?z531yx1x+y=z22當2

z時，1yx1x+y=z22當2z時，54解法二（圖形定限法）顯然X,Y相互獨立,且解法二（圖形定限法）顯然X,Y相互獨立,且55z1z=xz-1=xx21z1z=xz-1=xx2156解法三（不等式組法）顯然X,Y相互獨立,且解法三（不等式組法）顯然X,Y相互獨立,且57x10z-1zz-1zz-1zz-1zx10z-1zz-1zz-1zz-1z58例16已知(X,Y)的聯(lián)合密度為Z=X+Y,求fZ(z)解法一（圖形定限法）例16已知(X,Y)的聯(lián)合密度為Z=X+59zxz=xz=2xx=112當z<0或z≥2,zzzz當0≤z<1,當1≤z<2,fZ

(z)=0zxz=xz=2xx=112當z<0或60第三章-概率論習題課ppt課件61解法二（不等式組法）考慮被積函數(shù)取非零值的區(qū)域令不等式邊邊相等,解得z軸上的三個分界點0,1,2當或時不等式組無解當時不等式組解為當時不等式組解為解法二（不等式組法）考慮被積函數(shù)取非零值的區(qū)域令不等式邊62第三章-概率論習題課ppt課件63解法三（積分換元法）令解法三（積分換元法）令642uzz=2uz=u+1z=u112uzz=2uz=u+1z=u1165z=2u