滬科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè) 1 6　有理數(shù)的乘方 學(xué)案

1.6有理數(shù)的乘方1．有理數(shù)的乘方的意義及有關(guān)名稱(1)一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，記作an，即，這種求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方．(2)冪：乘方的結(jié)果叫做冪．在乘方運(yùn)算an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，an叫做冪，即(如圖)．(3)乘方是一種運(yùn)算，是一種特殊的乘法運(yùn)算(因數(shù)相同的乘法運(yùn)算)，冪是乘方運(yùn)算的結(jié)果．也就是說(shuō)，an既表示n個(gè)a相乘，又表示n個(gè)a相乘的結(jié)果．(4)an看作乘方運(yùn)算時(shí)，讀作a的n次方；當(dāng)an看作a的n次方的結(jié)果時(shí)，讀作a的n次冪．如34中，底數(shù)是3，指數(shù)是4，讀作3的4次方或3的4次冪．又如(－3)4中，底數(shù)是－3，指數(shù)是4，讀作－3的4次方或－3的4次冪．(5)一個(gè)數(shù)可以看作這個(gè)數(shù)本身的一次方．例如：5就是51,51就是5，指數(shù)1通常省略不寫．(6)底數(shù)是分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，要用括號(hào)把底數(shù)括起來(lái)．如(－1)2，分別表示(－1)×(－1)，eq\f(1,2)×eq\f(1,2).【例1】把下列式子寫成乘方的形式，并指出底數(shù)、指數(shù)各是什么？(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)；(2)eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)；(3)分析：5個(gè)－3.14相乘，寫成(－3.14)5,6個(gè)eq\f(2,5)相乘可寫成eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))6,2n個(gè)m相乘，寫成m2n.解：(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)＝(－3.14)5，其中底數(shù)是－3.14，指數(shù)是5.(2)eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))6，其中底數(shù)是eq\f(2,5)，指數(shù)是6.(3)＝m2n，其中底數(shù)是m，指數(shù)是2n.2.有理數(shù)的乘方的運(yùn)算法則(1)乘方運(yùn)算的符號(hào)法則乘方是特殊的乘法，由乘法法則，我們能得出乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：正數(shù)的任何次乘方都取正號(hào)，負(fù)數(shù)的奇次乘方取負(fù)號(hào)，負(fù)數(shù)的偶次乘方取正號(hào)．(2)乘方的運(yùn)算步驟非零有理數(shù)的乘方，先根據(jù)乘方運(yùn)算的符號(hào)法則判斷結(jié)果的符號(hào)，再將其絕對(duì)值乘方；即：①根據(jù)冪指數(shù)的奇、偶性直接確定冪的符號(hào)；②計(jì)算絕對(duì)值的乘方．乘方是特殊的乘法，由乘法法則，我們能把乘方運(yùn)算化歸為我們熟悉的乘法運(yùn)算．如，(－3)4＝(－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝81(不是－3和4相乘)．(－eq\f(2,3)2)＝(－eq\f(2,3))×(－eq\f(2,3))＝eq\f(4,9).(3)幾點(diǎn)注意①－an與(－a)n的意義完全不同，－an表示an的相反數(shù)，(－a)n表示n個(gè)－a相乘．如－14＝－(1×1×1×1)＝－1，底數(shù)是1；(－1)4＝(－1)×(－1)×(－1)×(－1)＝1，底數(shù)是－1.②當(dāng)?shù)讛?shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，必須先化為假分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行乘方計(jì)算．如，(－1eq\f(2,3))2＝(－eq\f(5,3))2＝(－eq\f(5,3))×(－eq\f(5,3))＝eq\f(25,9).③若一個(gè)有理數(shù)的平方(可推廣到偶次方)等于它本身，那么這個(gè)有理數(shù)是0或1.④若一個(gè)有理數(shù)的立方(可推廣到奇次方)等于它本身，那么這個(gè)有理數(shù)是0或±1.

⑤0的正數(shù)次方是0.【例2】計(jì)算：(1)(－3)4；(2)－34；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))3；(4)－eq\f(33,4)；(5)(－1)101；(6)(1eq\f(1,2)3).分析：(1)(－3)4表示4個(gè)－3相乘；(2)－34表示34的相反數(shù)，即－34＝－(3×3×3×3)；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))3表示3個(gè)－eq\f(3,4)相乘；(4)－eq\f(33,4)表示33除以4的商的相反數(shù)；(5)(－1)101表示101個(gè)－1相乘，(－1)101＝－1，在進(jìn)行乘方運(yùn)算時(shí)，首先根據(jù)符號(hào)法則確定符號(hào)，然后再計(jì)算絕對(duì)值，冪的絕對(duì)值等于底數(shù)絕對(duì)值的乘方；(6)底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，乘方時(shí)要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)．解：(1)(－3)4＝＋(3×3×3×3)＝81；(2)－34＝－(3×3×3×3)＝－81；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))3＝－(eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(3,4))＝－eq\f(27,64)；(4)－eq\f(33,4)＝－eq\f(3×3×3,4)＝－eq\f(27,4)；(5)(－1)101＝＝－1；(6)(1eq\f(1,2))3＝(eq\f(3,2)3)＝eq\f(27,8).3．有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算(1)有理數(shù)的運(yùn)算，加減叫第一級(jí)運(yùn)算，乘除叫第二級(jí)運(yùn)算，乘方、開(kāi)方(以后再學(xué))叫第三級(jí)運(yùn)算．(2)有理數(shù)混合運(yùn)算的順序①先乘方，再乘除，后加減．②同級(jí)運(yùn)算，按照從左到右的順序進(jìn)行．③如果有括號(hào)，先做括號(hào)里的運(yùn)算(括號(hào)的運(yùn)算順序是：先算小括號(hào)里的，再算中括號(hào)里的，最后算大括號(hào)里的)．(3)在進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，除遵循以上原則外，還要根據(jù)具體的題目的特點(diǎn)，靈活使用運(yùn)算律，使運(yùn)算準(zhǔn)確而快捷．【例3】計(jì)算：(1)3＋50÷22×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))－1；(2).分析：(1)先算乘方，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法，計(jì)算乘除運(yùn)算，最后算加減；(2)此題運(yùn)算順序是：第一步計(jì)算(1－eq\f(4,9))和(1－eq\f(1,6))；第二步做乘法；第三步做乘方運(yùn)算；第四步做除法．解：(1)原式＝3＋50÷4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))－1＝3＋50×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))－1＝3－50×eq\f(1,4)×eq\f(1,5)－1＝3－eq\f(5,2)－1＝－eq\f(1,2).(2)原式＝(eq\f(8,5)×eq\f(5,9)2)÷

＝(eq\f(8,9))2÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))3＝eq\f(64,81)×(－27)＝－eq\f(64,3).4．科學(xué)記數(shù)法(1)大數(shù)的表示方法在日常生活中我們會(huì)遇到一些特別大的數(shù)，這些數(shù)在讀、寫、算時(shí)都不方便，于是用如下的簡(jiǎn)潔方法來(lái)表示這些較大的數(shù)：①用更大的數(shù)量級(jí)來(lái)表示；②根據(jù)10n的特點(diǎn)，來(lái)表示這些較大的數(shù)．(2)科學(xué)記數(shù)法的概念一般地，一個(gè)絕對(duì)值大于10的數(shù)都可記成±a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法．(3)大于10的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)，a，n的確定方法：①10的指數(shù)n比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1，用科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)，只要先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)即可求出10的指數(shù)n.a是整數(shù)位數(shù)只有一位的數(shù)．例如：341257.31的整數(shù)位數(shù)是6，則n＝6－1＝5，所以用科學(xué)記數(shù)法表示為3.4125731×105.②將原數(shù)的小數(shù)點(diǎn)從右向左移動(dòng)，一直移到最高位的后面(即保留一位整數(shù))，這時(shí)得到的數(shù)就是a，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)就是n，如1300000000人＝1.3×109人，38萬(wàn)千米＝380000千米＝3.8×105千米．辨誤區(qū)用科學(xué)記數(shù)法時(shí)應(yīng)注意的幾點(diǎn)(1)不要誤認(rèn)為a就是零前面的數(shù)，如誤把426000記作426×103.(2)n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1.不要誤認(rèn)為n就是該數(shù)后面零的個(gè)數(shù)．(3)a是整數(shù)位數(shù)只有一位的數(shù)．如果原數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)前面的“－”號(hào)不能丟．【例4】用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：(1)687000000；(2)5000000000；(3)－367000.分析：(1)把687000000寫成a×10n時(shí)，a＝6.87，它是將原數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)8位得到的，即n＝8，所以687000000＝6.87×108；(2)把5000000000寫成a×10n時(shí)，a＝5，它是將原來(lái)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)9位得到的，即n＝9，所以5000000000＝5×109；(3)把－367000寫成a×10n時(shí)，a＝－3.67，它是將原來(lái)的絕對(duì)值的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)5位得到的，即n＝5，所以－367000＝－3.67×105.解：(1)687000000＝6.87×108；(2)5000000000＝5×109；(3)－367000＝－3.67×105.5．有理數(shù)乘方的運(yùn)算有理數(shù)乘方運(yùn)算的步驟：確定冪的符號(hào)；計(jì)算冪的絕對(duì)值．有理數(shù)的乘方是一種特殊的乘法運(yùn)算——因數(shù)相同的乘法運(yùn)算，冪是乘方運(yùn)算的結(jié)果．在冪的形式中，底數(shù)是因數(shù)，指數(shù)是相同因數(shù)的個(gè)數(shù)．因此有理數(shù)的乘方運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法來(lái)運(yùn)算，先根據(jù)有理數(shù)乘方的符號(hào)法則確定冪的符號(hào)，再根據(jù)乘方的意義把乘方轉(zhuǎn)化為乘法，來(lái)計(jì)算冪的絕對(duì)值，最后得出冪的結(jié)果．例如計(jì)算(－5)3，先確定冪的符號(hào)為“－”，再計(jì)算53＝125，即(－5)3＝－125.正確理解有理數(shù)乘方的意義是進(jìn)行乘方運(yùn)算的前提，千萬(wàn)不能把底數(shù)與指數(shù)直接相乘．在進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算時(shí)要辨別清楚底數(shù)和指數(shù)，以及符號(hào)問(wèn)題，避免出錯(cuò)．【例5－1】計(jì)算：(1)－33；(2)(－2)2；(3)(－3×2)3；(4)－(－2)3.分析：運(yùn)算時(shí)，先確定符號(hào)，再計(jì)算乘方．(1)負(fù)號(hào)在冪的前面，結(jié)果是負(fù)數(shù)；(2)負(fù)數(shù)的偶次冪，結(jié)果是正數(shù)；(3)先計(jì)算底數(shù)－3×2＝－6，再計(jì)算(－6)3；(4)先計(jì)算(－2)3，其結(jié)果是負(fù)數(shù)，再加上前面的負(fù)號(hào)，最后結(jié)果是正數(shù)．解：(1)－33＝－(3×3×3)＝－27；(2)(－2)2＝4；

(3)(－3×2)3＝(－6)3＝－216；(4)－(－2)3＝－(－8)＝8.辨誤區(qū)進(jìn)行乘方運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題在進(jìn)行乘方運(yùn)算時(shí)，一定要避免出現(xiàn)把底數(shù)與指數(shù)直接相乘的運(yùn)算錯(cuò)誤．如－33＝－(3×3)＝－9，這是由于沒(méi)有理解乘方的意義導(dǎo)致的．【例5－2】計(jì)算(－0.25)10×412的值．分析：直接求(－0.25)10和412比較麻煩，但仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)(－0.25)10＝0.2510，表示10個(gè)0.25相乘，而412表示12個(gè)4相乘，這就提醒我們利用乘法的交換律和結(jié)合律就比較容易求出結(jié)果了．解：(－0.25)10×412＝0.2510×412＝(0.2510×410)×42＝(0.25×4)10×42＝1×16＝16.6.寫出用科學(xué)記數(shù)法表示的原數(shù)把用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)±a×10n“還原”成原數(shù)，原數(shù)的整數(shù)位數(shù)等于n＋1；原數(shù)等于把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位所得的數(shù)，若向右移動(dòng)位數(shù)不夠，應(yīng)用0補(bǔ)上數(shù)位．談重點(diǎn)科學(xué)記數(shù)法的誤區(qū)把一個(gè)數(shù)表示成科學(xué)記數(shù)法的形式及把科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原是兩個(gè)互逆的過(guò)程，這也可以作為檢查用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù)是否正確的方法．【例6】下列用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)，原來(lái)各是什么數(shù)？(1)3×104；(2)2.25×105；(3)－6.32×103；(4)赤道長(zhǎng)約4×104千米；(5)按365天計(jì)算一年有3.1536×107秒．分析：將科學(xué)記數(shù)法a×10n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位所得到的數(shù)．也可以先把10n化成通常表示的數(shù)，再與a相乘即可，但轉(zhuǎn)化時(shí)要注意1后面0的個(gè)數(shù)就是n.解：(1)3×104＝3×10000＝30000；(2)2.25×105＝2.25×100000＝225000；(3)－6.32×103＝－6.32×1000＝－6320；(4)4×104千米＝40000千米；(5)3.1536×107秒＝31536000秒．7.有理數(shù)運(yùn)算中的技巧運(yùn)算順序規(guī)定：先算高級(jí)運(yùn)算，再算低級(jí)運(yùn)算，同級(jí)運(yùn)算，按從左到右的順序進(jìn)行．在進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算時(shí)，若能根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ`活應(yīng)用運(yùn)算律和運(yùn)算法則，可使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易，運(yùn)算過(guò)程迅捷簡(jiǎn)便，起到事半功倍的奇效．對(duì)于較復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題，計(jì)算時(shí)不要急于下手，應(yīng)該先整體觀察，分析算式的結(jié)構(gòu)特征和各數(shù)之間的關(guān)系，尋找簡(jiǎn)捷的解題途徑，進(jìn)行合理、快速的運(yùn)算．在有理數(shù)混合運(yùn)算中，先算乘方，再算乘除．乘除運(yùn)算在一起時(shí)，統(tǒng)一化成乘法往往可以約分而使運(yùn)算簡(jiǎn)化；遇到帶分?jǐn)?shù)通分時(shí)，可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)和的形式，如－eq\f(19,8)＝－2－eq\f(3,8)，而將－eq\f(3,8)化成－eq\f(6,16)，因而避免把－eq\f(19,8)化為－eq\f(38,16)，也可以簡(jiǎn)化運(yùn)算．技巧有理數(shù)的混合運(yùn)算在進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算中，先確定運(yùn)算順序，注意恰當(dāng)使用運(yùn)算定律．分?jǐn)?shù)、小數(shù)的乘除混合運(yùn)算，通常把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)．含有多重括號(hào)時(shí)，去括號(hào)的一般方法是由內(nèi)向外，即依次去掉小、中、大括號(hào)，也可以由外向內(nèi)．計(jì)算過(guò)程中應(yīng)時(shí)時(shí)重視符號(hào)．【例7】計(jì)算：(1)－32eq\f(16,25)÷(－8×4)＋2.52＋(eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)－eq\f(3,4)－eq\f(11,12))×24；(2)1eq\f(1,2)÷eq\f(3,4)÷(－2)＋eq\f(1,2)÷×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－9\f(1,2)))－0.752.分析：(1)此題是有理數(shù)的混合運(yùn)算，有小括號(hào)可以先做小括號(hào)內(nèi)的，把－32eq\f(16,25)化成假分?jǐn)?shù)，可以寫成(－32－eq\f(16,25))的形式，而(eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)－eq\f(3,4)－eq\f(11,12))×24，若用分配律又較為方便．(2)在運(yùn)算的同時(shí)把前兩個(gè)除法轉(zhuǎn)化為乘法．去掉絕對(duì)值、把小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，然后進(jìn)一步計(jì)算即可．

解：(1)－32eq\f(16,25)÷(－8×4)＋2.52＋×24＝(－32－eq\f(16,25))×(－eq\f(1,32))＋6.25＋12＋16－18－22＝1＋eq\f(1,50)＋6.25－12＝1.02＋6.25－12＝－4.73.(2)1eq\f(1,2)÷eq\f(3,4)÷(－2)＋eq\f(1,2)÷×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－9\f(1,2)))－0.752＝eq\f(3,2)×eq\f(4,3)×(－eq\f(1,2))＋eq\f(1,2)÷(eq\f(1,4)－eq\f(9,4))×eq\f(19,2)－eq\f(9,16)＝－1＋eq\f(1,2)×(－eq\f(1,2))×eq\f(19,2)－eq\f(9,16)＝－1－eq\f(19,8)－eq\f(9,16)＝－1－2－eq\f(6,16)－eq\f(9,16)＝－3eq\f(15,16).8．有理數(shù)乘方運(yùn)算的應(yīng)用有理數(shù)的乘方運(yùn)算在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用，給生活中經(jīng)常出現(xiàn)的大數(shù)的讀寫帶來(lái)了極大的方便．比如，一層樓高約3米，一張紙的厚度只有0.1毫米，0.1毫米與3米相比幾乎可以忽略不計(jì)，如果我們將紙對(duì)折、再對(duì)折，如此這樣對(duì)折20次后，其厚度將比30層樓房還要高，這就是有理數(shù)乘方的神奇魔力，在現(xiàn)實(shí)生活中有著很廣泛的應(yīng)用．【例8】據(jù)科學(xué)家測(cè)算，用1噸廢紙?jiān)斐龅脑偕眉埾喈?dāng)于0.3～0.4畝森林木材的造紙量．某市今年大約有6.7×104名初中畢業(yè)生，每個(gè)畢業(yè)生離校時(shí)大約有12千克廢紙，若他們都把廢紙送到回收站生產(chǎn)再生好紙，則至少可使森林免遭砍伐的畝數(shù)為_(kāi)_________(用科學(xué)記數(shù)法表示)．解析：本題可分步計(jì)算出廢紙回收的數(shù)量，再算出因廢紙回收使森林免遭砍伐的最少畝數(shù)：廢紙回收的數(shù)量：6.7×104×12＝8.04×105(千克)＝804(噸)；因廢紙回收使森林免遭砍伐的最少畝數(shù)是804×0.3＝241.2(畝)，用科學(xué)記數(shù)法表示為2.412×102畝．答案：2.412×1029.利用乘方解決規(guī)律性問(wèn)題乘方運(yùn)算是新學(xué)的一種重要的計(jì)算方法，乘方運(yùn)算中有很多規(guī)律性變化，目前主要有三種：①一個(gè)數(shù)的乘方運(yùn)算中，個(gè)位數(shù)字總是呈現(xiàn)一定的循環(huán)規(guī)律．②乘方運(yùn)算中的數(shù)或數(shù)列的變化呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，如：－2,4，－8，16，－32，….③等式運(yùn)算中的規(guī)律性變化，如：12－02＝1,22－12＝3，32－22＝5，42－32＝7，….乘方運(yùn)算中規(guī)律性變化靈活多樣，有時(shí)還伴有符號(hào)的變化，并與和、差、等式相結(jié)合，更不容易發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，因此識(shí)別較難．由特殊到一般，發(fā)現(xiàn)探索規(guī)律，是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，要注意觀察：一是看參與計(jì)算的數(shù)與順序間的變化規(guī)律，二是看結(jié)果的變化與順序之間的規(guī)律．由特殊入手，猜想、驗(yàn)證，得出正確結(jié)論．與有理數(shù)的乘方有關(guān)的探究題主要有以下幾種：(1)個(gè)位數(shù)字是幾，在中考中經(jīng)常涉及到，例如3n的個(gè)位數(shù)字是3,9,7,1,3,9,7,1，…依次循環(huán)；(2)拉面的條數(shù)、折紙的張數(shù)、握手的次數(shù)、繩子的長(zhǎng)度、細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)等